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一、根据算式把题目补充完整。
1. 某小学五年级有 150 名学生，。
四年级学生是五年级的几分之几？$120 ÷ 150$
2. 某小学五年级有 100 名学生，。
四年级有多少名学生？$100 ÷ \dfrac{4}{5}$
3. 某小学五年级有 200 名学生，。
四年级有多少名学生？$200 × \dfrac{4}{5}$
1. 某小学五年级有 150 名学生，。
四年级学生是五年级的几分之几？$120 ÷ 150$
2. 某小学五年级有 100 名学生，。
四年级有多少名学生？$100 ÷ \dfrac{4}{5}$
3. 某小学五年级有 200 名学生，。
四年级有多少名学生？$200 × \dfrac{4}{5}$
答案
1. 四年级有120名学生
2. 五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$
3. 四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$
2. 五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$
3. 四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
这道题是结合算式、已知信息和问题补全条件，解题时可按以下思路推导：
1. 第一题问题是求四年级学生是五年级的几分之几，这类问题的计算规则是“四年级人数÷五年级人数”，已知五年级有150名学生，算式被除数是120，可直接推出120是四年级的人数；
2. 第二题用除法求四年级人数，分数除法的应用场景是单位“1”未知，对应量÷对应分率=单位“1”的量，已知五年级100人是对应量，$\dfrac{4}{5}$是对应分率，说明单位“1”是四年级人数，即五年级人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$；
3. 第三题用乘法求四年级人数，分数乘法的应用场景是单位“1”已知，单位“1”的量×对应分率=对应量，已知五年级200人是单位“1”，$\dfrac{4}{5}$就是四年级人数占五年级人数的分率，即四年级人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$。
【解析】
1. 求“四年级学生是五年级的几分之几”的计算公式为：$\mathrm{四年级人数} ÷ \mathrm{五年级人数}$，已知五年级有150名学生，给出的算式是$120÷150$，因此缺失的条件是四年级的人数为120名；
2. 算式$100÷\dfrac{4}{5}$是用除法求四年级人数，说明单位“1”为四年级人数，五年级的100名学生对应四年级人数的$\dfrac{4}{5}$，因此缺失的条件是五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$；
3. 算式$200×\dfrac{4}{5}$是用乘法求四年级人数，说明单位“1”为五年级人数，分率$\dfrac{4}{5}$代表四年级人数占五年级人数的比例，因此缺失的条件是四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$。
【答案】
1. 四年级有120名学生
2. 五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$
3. 四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
分数乘除法应用，单位“1”的识别，求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
本题反向考察分数乘除法的应用逻辑，要求学生熟练区分单位“1”已知、未知时的计算规则，能有效锻炼逆向思维，加深对分数乘除法实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
这道题是结合算式、已知信息和问题补全条件，解题时可按以下思路推导：
1. 第一题问题是求四年级学生是五年级的几分之几，这类问题的计算规则是“四年级人数÷五年级人数”，已知五年级有150名学生，算式被除数是120，可直接推出120是四年级的人数；
2. 第二题用除法求四年级人数，分数除法的应用场景是单位“1”未知，对应量÷对应分率=单位“1”的量，已知五年级100人是对应量，$\dfrac{4}{5}$是对应分率，说明单位“1”是四年级人数，即五年级人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$；
3. 第三题用乘法求四年级人数，分数乘法的应用场景是单位“1”已知，单位“1”的量×对应分率=对应量，已知五年级200人是单位“1”，$\dfrac{4}{5}$就是四年级人数占五年级人数的分率，即四年级人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$。
【解析】
1. 求“四年级学生是五年级的几分之几”的计算公式为：$\mathrm{四年级人数} ÷ \mathrm{五年级人数}$，已知五年级有150名学生，给出的算式是$120÷150$，因此缺失的条件是四年级的人数为120名；
2. 算式$100÷\dfrac{4}{5}$是用除法求四年级人数，说明单位“1”为四年级人数，五年级的100名学生对应四年级人数的$\dfrac{4}{5}$，因此缺失的条件是五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$；
3. 算式$200×\dfrac{4}{5}$是用乘法求四年级人数，说明单位“1”为五年级人数，分率$\dfrac{4}{5}$代表四年级人数占五年级人数的比例，因此缺失的条件是四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$。
【答案】
1. 四年级有120名学生
2. 五年级学生人数是四年级的$\dfrac{4}{5}$
3. 四年级学生人数是五年级的$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
分数乘除法应用，单位“1”的识别，求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
本题反向考察分数乘除法的应用逻辑，要求学生熟练区分单位“1”已知、未知时的计算规则，能有效锻炼逆向思维，加深对分数乘除法实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
二、我会画。
1. 画图表示“$\frac{1}{2} × \frac{2}{3}$”。
1. 画图表示“$\frac{1}{2} × \frac{2}{3}$”。
答案
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
画图步骤：
1. 画一个长方形，将其平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，该部分代表整个图形的$\frac{1}{2}$。
2. 把浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就表示$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
答：按上述步骤操作，最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，即可表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$的含义。
画图步骤：
1. 画一个长方形，将其平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，该部分代表整个图形的$\frac{1}{2}$。
2. 把浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就表示$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
答：按上述步骤操作，最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，即可表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$的含义。
解析
【分析】
要表示$\frac{1}{2} × \frac{2}{3}$，首先要明确分数乘分数的意义：这个算式表示求$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$是多少。所以画图分两步思考：第一步先表示出整体的$\frac{1}{2}$，第二步再在得到的$\frac{1}{2}$的基础上，找出它的$\frac{2}{3}$，两次涂色重叠的部分就可以表示这个算式的含义，还能直观看出计算结果。
【解析】
1. 先计算算式结果：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1×2}{2×3}=\frac{1}{3}$。
2. 画图操作：
① 画一个长方形，将它平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，这部分占整个长方形的$\frac{1}{2}$。
② 把刚才涂的浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就是$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，对应表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
3. 验证：最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，和计算结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
画图步骤：
1. 画一个长方形，将其平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，该部分代表整个图形的$\frac{1}{2}$。
2. 把浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就表示$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
答：按上述步骤操作，最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，即可表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$的含义。
【知识点】
1. 分数乘法的意义
2. 分数的图形表示
【点评】
本题借助画图的方式考查对分数乘分数算理的理解，掌握数形结合的方法，理解分数的意义和分数乘法的含义就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要表示$\frac{1}{2} × \frac{2}{3}$，首先要明确分数乘分数的意义：这个算式表示求$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$是多少。所以画图分两步思考：第一步先表示出整体的$\frac{1}{2}$，第二步再在得到的$\frac{1}{2}$的基础上，找出它的$\frac{2}{3}$，两次涂色重叠的部分就可以表示这个算式的含义，还能直观看出计算结果。
【解析】
1. 先计算算式结果：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1×2}{2×3}=\frac{1}{3}$。
2. 画图操作：
① 画一个长方形，将它平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，这部分占整个长方形的$\frac{1}{2}$。
② 把刚才涂的浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就是$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，对应表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
3. 验证：最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，和计算结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
画图步骤：
1. 画一个长方形，将其平均分成2份，用浅色阴影涂出其中1份，该部分代表整个图形的$\frac{1}{2}$。
2. 把浅色阴影部分再平均分成3份，用深色阴影涂出这3份中的2份，深色阴影区域就表示$\frac{1}{2}$的$\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。
答：按上述步骤操作，最终深色阴影部分占整个长方形的$\frac{1}{3}$，即可表示$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$的含义。
【知识点】
1. 分数乘法的意义
2. 分数的图形表示
【点评】
本题借助画图的方式考查对分数乘分数算理的理解，掌握数形结合的方法，理解分数的意义和分数乘法的含义就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
2. 画图表示“$\dfrac{4}{7} ÷ 2$”。
答案
$\frac{4}{7}÷2=\frac{2}{7}$
画图操作：
1. 绘制代表单位“1”的长方形，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格，涂色部分表示$\frac{4}{7}$。
2. 将涂色的4个小格平均分为2组，每组2个小格，把其中一组用其他标记标出，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
答：按上述步骤画出的图形即可表示$\frac{4}{7}÷2$，运算结果为$\frac{2}{7}$。
画图操作：
1. 绘制代表单位“1”的长方形，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格，涂色部分表示$\frac{4}{7}$。
2. 将涂色的4个小格平均分为2组，每组2个小格，把其中一组用其他标记标出，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
答：按上述步骤画出的图形即可表示$\frac{4}{7}÷2$，运算结果为$\frac{2}{7}$。
解析
【分析】
解题时需结合分数的意义和除法平均分的含义思考：首先要表示出被除数$\frac{4}{7}$，可选择长方形作为单位“1”，将其平均分成7份，涂色其中4份表示$\frac{4}{7}$；再根据$\frac{4}{7}÷2$表示把$\frac{4}{7}$平均分成2份、取其中1份的含义，将涂色的4份再平均分成2组，标出其中1组，即可直观表示该算式，同时可直接得出计算结果。
【解析】
1. 计算推导：$\frac{4}{7}$的含义是4个$\frac{1}{7}$，把4个$\frac{1}{7}$平均分成2份，每份为2个$\frac{1}{7}$，也就是$\frac{2}{7}$，因此$\frac{4}{7}÷2=\frac{2}{7}$。
2. 画图步骤：
① 绘制一个长方形代表单位“1”，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格，涂色部分就表示$\frac{4}{7}$；
② 将已经涂色的4个小格平均分为2组，每组有2个小格，用其他标记（如斜线、打勾等）标出其中1组，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
【答案】
$\frac{4}{7}÷2=\frac{2}{7}$，画图按以下步骤操作即可：1. 绘制代表单位“1”的长方形，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格表示$\frac{4}{7}$；2. 将涂色的4个小格平均分为2组，每组2个小格，把其中一组用其他标记标出，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
【知识点】
分数的意义、分数除以整数
【点评】
本题将分数除法和画图操作结合，考查对分数除以整数含义的理解，能帮助学生直观掌握分数除以整数的算理，加深对分数除法运算的认识。
【难度系数】
0.7
解题时需结合分数的意义和除法平均分的含义思考：首先要表示出被除数$\frac{4}{7}$，可选择长方形作为单位“1”，将其平均分成7份，涂色其中4份表示$\frac{4}{7}$；再根据$\frac{4}{7}÷2$表示把$\frac{4}{7}$平均分成2份、取其中1份的含义，将涂色的4份再平均分成2组，标出其中1组，即可直观表示该算式，同时可直接得出计算结果。
【解析】
1. 计算推导：$\frac{4}{7}$的含义是4个$\frac{1}{7}$，把4个$\frac{1}{7}$平均分成2份，每份为2个$\frac{1}{7}$，也就是$\frac{2}{7}$，因此$\frac{4}{7}÷2=\frac{2}{7}$。
2. 画图步骤：
① 绘制一个长方形代表单位“1”，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格，涂色部分就表示$\frac{4}{7}$；
② 将已经涂色的4个小格平均分为2组，每组有2个小格，用其他标记（如斜线、打勾等）标出其中1组，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
【答案】
$\frac{4}{7}÷2=\frac{2}{7}$，画图按以下步骤操作即可：1. 绘制代表单位“1”的长方形，将其平均分成7个大小相等的小格，涂色其中4个小格表示$\frac{4}{7}$；2. 将涂色的4个小格平均分为2组，每组2个小格，把其中一组用其他标记标出，该标记部分就表示$\frac{4}{7}÷2$。
【知识点】
分数的意义、分数除以整数
【点评】
本题将分数除法和画图操作结合，考查对分数除以整数含义的理解，能帮助学生直观掌握分数除以整数的算理，加深对分数除法运算的认识。
【难度系数】
0.7
3. 画图表示信息:妈妈早上喝了 500 mL 水,是她全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
答案
1. 画一条线段，标注：妈妈全天饮水量，将这条线段平均分成长度相等的5小段。
2. 用大括号括出从左数的前2小段，标注：早上喝的水为500 mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
2. 用大括号括出从左数的前2小段，标注：早上喝的水为500 mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的单位“1”是妈妈全天的饮水量，$\frac{2}{5}$的含义是把全天饮水量平均分成5份，早上喝的水量占其中的2份，对应500mL。我们可以用线段图来表示这个关系：先画线段代表单位“1”也就是全天饮水量，再按分母平均分出对应份数，最后标出部分量对应的份数和具体数值即可。
【解析】
步骤1：先画一条完整的线段，标注该线段代表“妈妈全天饮水量”，接着把这条线段平均分成长度相等的5小段。
步骤2：用大括号括出从左数的前2小段，标注清楚这部分对应的水量是500mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
【答案】
1. 画一条线段，标注：妈妈全天饮水量，将这条线段平均分成长度相等的5小段。
2. 用大括号括出从左数的前2小段，标注：早上喝的水为500 mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
【知识点】
单位“1”的确定、分数的意义、线段图画法
【点评】
本题侧重考察对分数占比关系的理解，通过绘制线段图的方式能将抽象的分数关系具象化，有助于理清部分量和总量之间的逻辑关系，是解决分数应用题的基础技能。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的单位“1”是妈妈全天的饮水量，$\frac{2}{5}$的含义是把全天饮水量平均分成5份，早上喝的水量占其中的2份，对应500mL。我们可以用线段图来表示这个关系：先画线段代表单位“1”也就是全天饮水量，再按分母平均分出对应份数，最后标出部分量对应的份数和具体数值即可。
【解析】
步骤1：先画一条完整的线段，标注该线段代表“妈妈全天饮水量”，接着把这条线段平均分成长度相等的5小段。
步骤2：用大括号括出从左数的前2小段，标注清楚这部分对应的水量是500mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
【答案】
1. 画一条线段，标注：妈妈全天饮水量，将这条线段平均分成长度相等的5小段。
2. 用大括号括出从左数的前2小段，标注：早上喝的水为500 mL，占全天饮水量的$\frac{2}{5}$。
【知识点】
单位“1”的确定、分数的意义、线段图画法
【点评】
本题侧重考察对分数占比关系的理解，通过绘制线段图的方式能将抽象的分数关系具象化，有助于理清部分量和总量之间的逻辑关系，是解决分数应用题的基础技能。
【难度系数】
0.8
三、解决问题。
1. 某汽车厂8月份比7月份多生产500辆汽车，已知8月份比7月份增产$\frac{1}{9}$。
7月份生产汽车多少辆？
1. 某汽车厂8月份比7月份多生产500辆汽车，已知8月份比7月份增产$\frac{1}{9}$。
7月份生产汽车多少辆？
答案
1. 4500辆
解析
【分析】
解题时首先要找准单位“1”，本题中“8月份比7月份增产$\frac{1}{9}$”，是把7月份的产量看作单位“1”。增产的500辆对应的分率就是$\frac{1}{9}$，因为单位“1”（7月份产量）是未知量，我们可以用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”这个关系来求解。
【解析】
把7月份生产汽车的数量看作单位“1”，增产的500辆对应的分率为$\frac{1}{9}$，求单位“1”的量用除法计算：
$500 ÷ \frac{1}{9} = 500 × 9 = 4500$（辆）
【答案】
4500辆
【知识点】
单位“1”的判定；量率对应；分数除法应用
【点评】
本题是典型的分数除法基础应用题，解题核心是准确找到单位“1”，匹配已知数量对应的分率，利用量率对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找准单位“1”，本题中“8月份比7月份增产$\frac{1}{9}$”，是把7月份的产量看作单位“1”。增产的500辆对应的分率就是$\frac{1}{9}$，因为单位“1”（7月份产量）是未知量，我们可以用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”这个关系来求解。
【解析】
把7月份生产汽车的数量看作单位“1”，增产的500辆对应的分率为$\frac{1}{9}$，求单位“1”的量用除法计算：
$500 ÷ \frac{1}{9} = 500 × 9 = 4500$（辆）
【答案】
4500辆
【知识点】
单位“1”的判定；量率对应；分数除法应用
【点评】
本题是典型的分数除法基础应用题，解题核心是准确找到单位“1”，匹配已知数量对应的分率，利用量率对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
