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四、解决问题。
1.端午节是中华民族的传统节日,这一天会有包粽子、赛龙舟、挂艾草、系五彩绳等风俗。
(1)粽子的主要材料是糯米、馅料。将一袋糯米的$\frac{8}{9}$平均分成6份,每份是这袋糯米的几分之几?
(2)两支队伍赛龙舟,扬帆队15分划了全程的$\frac{3}{10}$,起航队12分划了全程的$\frac{1}{4}$,哪一队划得更快?
1.端午节是中华民族的传统节日,这一天会有包粽子、赛龙舟、挂艾草、系五彩绳等风俗。
(1)粽子的主要材料是糯米、馅料。将一袋糯米的$\frac{8}{9}$平均分成6份,每份是这袋糯米的几分之几?
(2)两支队伍赛龙舟,扬帆队15分划了全程的$\frac{3}{10}$,起航队12分划了全程的$\frac{1}{4}$,哪一队划得更快?
答案
1.(1)$\frac{4}{27}$ (2)起航队划得更快。
解析
【分析】
(1) 本题是把一个分数平均分成若干份求每份占比的问题，解题时先明确要平均分的对象是整袋糯米的$\frac{8}{9}$，平均分成6份，求每份占整袋糯米的几分之几，直接用除法计算即可。
(2) 要判断哪队划得更快，需要先根据“速度=划行路程占比÷划行时间”，分别算出两支队伍每分钟划行全程的分率，再比较两个分率的大小，分率更大的队伍划行速度更快。
【解析】
(1) 把$\frac{8}{9}$平均分成6份，求每份的占比，列式计算：
$\frac{8}{9} ÷ 6 = \frac{8}{9} × \frac{1}{6} = \frac{4}{27}$
(2) 计算扬帆队的划行速度：
$\frac{3}{10} ÷ 15 = \frac{3}{10} × \frac{1}{15} = \frac{1}{50}$
计算起航队的划行速度：
$\frac{1}{4} ÷ 12 = \frac{1}{4} × \frac{1}{12} = \frac{1}{48}$
比较两个速度的大小：分子相同的分数，分母越小分数越大，因此$\frac{1}{48}＞\frac{1}{50}$，起航队速度更快。
【答案】
(1)$\frac{4}{27}$ (2)起航队划得更快。
【知识点】
分数除法应用，分数大小比较
【点评】
本题结合传统节日场景出题，贴近生活，侧重考查分数除法的计算和实际应用，只要掌握分数除法计算规则、分数大小比较方法，理清数量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是把一个分数平均分成若干份求每份占比的问题，解题时先明确要平均分的对象是整袋糯米的$\frac{8}{9}$，平均分成6份，求每份占整袋糯米的几分之几，直接用除法计算即可。
(2) 要判断哪队划得更快，需要先根据“速度=划行路程占比÷划行时间”，分别算出两支队伍每分钟划行全程的分率，再比较两个分率的大小，分率更大的队伍划行速度更快。
【解析】
(1) 把$\frac{8}{9}$平均分成6份，求每份的占比，列式计算：
$\frac{8}{9} ÷ 6 = \frac{8}{9} × \frac{1}{6} = \frac{4}{27}$
(2) 计算扬帆队的划行速度：
$\frac{3}{10} ÷ 15 = \frac{3}{10} × \frac{1}{15} = \frac{1}{50}$
计算起航队的划行速度：
$\frac{1}{4} ÷ 12 = \frac{1}{4} × \frac{1}{12} = \frac{1}{48}$
比较两个速度的大小：分子相同的分数，分母越小分数越大，因此$\frac{1}{48}＞\frac{1}{50}$，起航队速度更快。
【答案】
(1)$\frac{4}{27}$ (2)起航队划得更快。
【知识点】
分数除法应用，分数大小比较
【点评】
本题结合传统节日场景出题，贴近生活，侧重考查分数除法的计算和实际应用，只要掌握分数除法计算规则、分数大小比较方法，理清数量关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.笑笑和爸爸去登山,用20分走完了全程的$\frac{2}{5}$,又用25分走了全程的一半,最后用5分登上了山顶。最后5分走的路程是全程的几分之几?
答案
2.$\frac{1}{10}$
解析
【分析】
解题时首先把登山的全程总路程看作单位“1”，要求最后5分走的路程占全程的几分之几，只需用单位“1”减去前20分走的全程占比，再减去中间25分走的全程占比即可，计算异分母分数加减时要先通分再计算。
【解析】
我们将全程总路程看作单位“1”，可列算式计算：
$1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$
$= \frac{10}{10} - \frac{4}{10} - \frac{5}{10}$
$= \frac{1}{10}$
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
1. 单位“1”的应用
2. 异分母分数加减法
【点评】
本题是分数加减法的典型基础应用题，核心是找准整体的单位“1”，掌握异分母分数的通分、加减计算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先把登山的全程总路程看作单位“1”，要求最后5分走的路程占全程的几分之几，只需用单位“1”减去前20分走的全程占比，再减去中间25分走的全程占比即可，计算异分母分数加减时要先通分再计算。
【解析】
我们将全程总路程看作单位“1”，可列算式计算：
$1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$
$= \frac{10}{10} - \frac{4}{10} - \frac{5}{10}$
$= \frac{1}{10}$
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
1. 单位“1”的应用
2. 异分母分数加减法
【点评】
本题是分数加减法的典型基础应用题，核心是找准整体的单位“1”，掌握异分母分数的通分、加减计算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
《九章算术》中介绍分数除法(称之为“经分”)时采用了先将两个分数通分,使分子相除的方法,如:
$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{15} = \frac{12}{15} ÷ \frac{2}{15} = 12 ÷ 2 = 6$
$\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{15}{20} ÷ \frac{8}{20} = 15 ÷ 8 = \frac{15}{8}$
请用两个分数通分的方法计算:
$\frac{5}{8} ÷ \frac{1}{12}$
$\frac{4}{5} ÷ \frac{2}{15} = \frac{12}{15} ÷ \frac{2}{15} = 12 ÷ 2 = 6$
$\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{5} = \frac{15}{20} ÷ \frac{8}{20} = 15 ÷ 8 = \frac{15}{8}$
请用两个分数通分的方法计算:
$\frac{5}{8} ÷ \frac{1}{12}$
答案
$\frac{5}{8} ÷ \frac{1}{12} = \frac{15}{24} ÷ \frac{2}{24} = 15 ÷ 2 = \frac{15}{2}$
解析
【分析】
题目要求使用通分后分子相除的方法计算分数除法，解题思路如下：该方法的原理是同分母分数的分数单位相同，两个同分母分数相除，商就等于被除数的分子除以除数的分子的结果。首先找到两个分数分母8和12的最小公倍数作为公分母；接着将两个分数都转化为以该公分母为分母的等值分数，完成通分；最后用通分后两个分数的分子相除，得到的商就是原式的计算结果。
【解析】
先找分母8和12的最小公倍数是24，将两个分数通分：
$\frac{5}{8}=\frac{5×3}{8×3}=\frac{15}{24}$，$\frac{1}{12}=\frac{1×2}{12×2}=\frac{2}{24}$
代入原式计算：
$\frac{5}{8} ÷ \frac{1}{12} = \frac{15}{24} ÷ \frac{2}{24} = 15 ÷ 2 = \frac{15}{2}$
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
分数通分、最小公倍数、分数除法
【点评】
本题依托《九章算术》中的传统分数除法方法出题，既考查了通分、最小公倍数等基础知识点的应用，又能帮助学生理解分数除法的算理，拓展了分数除法的计算思路。
【难度系数】
0.8
题目要求使用通分后分子相除的方法计算分数除法，解题思路如下：该方法的原理是同分母分数的分数单位相同，两个同分母分数相除，商就等于被除数的分子除以除数的分子的结果。首先找到两个分数分母8和12的最小公倍数作为公分母；接着将两个分数都转化为以该公分母为分母的等值分数，完成通分；最后用通分后两个分数的分子相除，得到的商就是原式的计算结果。
【解析】
先找分母8和12的最小公倍数是24，将两个分数通分：
$\frac{5}{8}=\frac{5×3}{8×3}=\frac{15}{24}$，$\frac{1}{12}=\frac{1×2}{12×2}=\frac{2}{24}$
代入原式计算：
$\frac{5}{8} ÷ \frac{1}{12} = \frac{15}{24} ÷ \frac{2}{24} = 15 ÷ 2 = \frac{15}{2}$
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
分数通分、最小公倍数、分数除法
【点评】
本题依托《九章算术》中的传统分数除法方法出题，既考查了通分、最小公倍数等基础知识点的应用，又能帮助学生理解分数除法的算理，拓展了分数除法的计算思路。
【难度系数】
0.8
