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1. 同分母分式的加减法法则
(1)文字叙述：同分母分式相加减，不变，把相加减。
(2)式子表示：$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$。
(1)文字叙述：同分母分式相加减，不变，把相加减。
(2)式子表示：$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$。
答案
分母；分子
解析
根据同分母分式加减法法则，文字叙述为：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
2. 异分母分式的加减法法则
(1)文字叙述：异分母分式相加减，先，变为的分式，再加减。
(2)式子表示：$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\_\_\_\_\_\pm\_\_\_\_\_=$。
(1)文字叙述：异分母分式相加减，先，变为的分式，再加减。
(2)式子表示：$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\_\_\_\_\_\pm\_\_\_\_\_=$。
答案
(1) 通分；同分母
(2)$\frac{ad}{bd}$，$\frac{bc}{bd}$，$\frac{ad\pm bc}{bd}$
(2)$\frac{ad}{bd}$，$\frac{bc}{bd}$，$\frac{ad\pm bc}{bd}$
解析
(1) 文字叙述：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
(2) 式子表示根据分式的基本性质，先将异分母分式化为同分母分式，再进行加减。对于$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}$，先找到$b$和$d$的最简公分母，设最简公分母为$bd$（当$b$、$d$互质时），则$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pm bc}{bd}$。
(2) 式子表示根据分式的基本性质，先将异分母分式化为同分母分式，再进行加减。对于$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}$，先找到$b$和$d$的最简公分母，设最简公分母为$bd$（当$b$、$d$互质时），则$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pm bc}{bd}$。
【例1】计算：
(1)$\frac{m + n}{n}-\frac{m - n}{n}$；
(2)$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{b^{2}}{b - a}$。
(1)$\frac{m + n}{n}-\frac{m - n}{n}$；
(2)$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{b^{2}}{b - a}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&\frac{m + n}{n} - \frac{m - n}{n} \\=&\frac{(m + n) - (m - n)}{n} \\=&\frac{m + n - m + n}{n} \\=&\frac{2n}{n} \\=& 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - a} \\=&\frac{a^{2}}{a - b} - \frac{b^{2}}{a - b} \\=&\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b} \\=&\frac{(a + b)(a - b)}{a - b} \\=& a + b\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\frac{m + n}{n} - \frac{m - n}{n} \\=&\frac{(m + n) - (m - n)}{n} \\=&\frac{m + n - m + n}{n} \\=&\frac{2n}{n} \\=& 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - a} \\=&\frac{a^{2}}{a - b} - \frac{b^{2}}{a - b} \\=&\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b} \\=&\frac{(a + b)(a - b)}{a - b} \\=& a + b\end{aligned}$
【变式1】计算：
(1)$\frac{2a + b}{3a^{2}b}+\frac{a - 2b}{3a^{2}b}-\frac{a - b}{3a^{2}b}$；
(2)$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$。
(1)$\frac{2a + b}{3a^{2}b}+\frac{a - 2b}{3a^{2}b}-\frac{a - b}{3a^{2}b}$；
(2)$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$。
答案
(1)
$\frac{2a + b}{3a^{2}b}+\frac{a - 2b}{3a^{2}b}-\frac{a - b}{3a^{2}b}$
$=\frac{(2a + b)+(a - 2b)-(a - b)}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a + b + a - 2b - a + b}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a}{3a^{2}b}$
$=\frac{2}{3ab}$
(2)
因为$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，$1 - a=-(a - 1)$
$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$
$=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2}{a - 1}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2 + a + 1}{a - 1}$
$=\frac{a + 3}{a - 1}$
$\frac{2a + b}{3a^{2}b}+\frac{a - 2b}{3a^{2}b}-\frac{a - b}{3a^{2}b}$
$=\frac{(2a + b)+(a - 2b)-(a - b)}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a + b + a - 2b - a + b}{3a^{2}b}$
$=\frac{2a}{3a^{2}b}$
$=\frac{2}{3ab}$
(2)
因为$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，$1 - a=-(a - 1)$
$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$
$=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2}{a - 1}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2 + a + 1}{a - 1}$
$=\frac{a + 3}{a - 1}$
【例2】(1)$\frac{1}{y - 1}-\frac{1}{y}$；
(2)$\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{1 + x}$。
(2)$\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{1 + x}$。
答案
(1)
$\begin{aligned} \frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y} &= \frac{y}{(y - 1)y} - \frac{y - 1}{(y - 1)y} \\ &= \frac{y - (y - 1)}{(y - 1)y} \\ &= \frac{y - y + 1}{(y - 1)y} \\ &= \frac{1}{y(y - 1)} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} &= \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{2x}{x^2 - 1} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y} &= \frac{y}{(y - 1)y} - \frac{y - 1}{(y - 1)y} \\ &= \frac{y - (y - 1)}{(y - 1)y} \\ &= \frac{y - y + 1}{(y - 1)y} \\ &= \frac{1}{y(y - 1)} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} &= \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{2x}{x^2 - 1} \end{aligned}$
