14. 已知 $m + n - 3 = 0$，求代数式$\frac{3(m - n) + 6n}{m^{2} + n^{2} + 2mn}$的值.

解：
1. 由已知 $ m + n - 3 = 0 $，得 $ m + n = 3 $。
2. 化简代数式分子：
$ 3(m - n) + 6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m + n) $。
3. 化简代数式分母：
$ m^2 + n^2 + 2mn = (m + n)^2 $（完全平方公式）。
4. 代入化简后的分子分母：
原式 $ = \frac{3(m + n)}{(m + n)^2} = \frac{3}{m + n} $。
5. 将 $ m + n = 3 $ 代入，得 $ \frac{3}{3} = 1 $。
答案：1

解：
1. 由已知 $ m + n - 3 = 0 $，得 $ m + n = 3 $。
2. 化简代数式分子：
$ 3(m - n) + 6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m + n) $。
3. 化简代数式分母：
$ m^2 + n^2 + 2mn = (m + n)^2 $（完全平方公式）。
4. 代入化简后的分子分母：
原式 $ = \frac{3(m + n)}{(m + n)^2} = \frac{3}{m + n} $。
5. 将 $ m + n = 3 $ 代入，得 $ \frac{3}{3} = 1 $。

15. 计算：
(1)$\frac{2x + 2y}{5a^{2}b} · \frac{10ab^{2}}{x^{2} - y^{2}}$；
(2)$(xy - x^{2}) ÷ \frac{x - y}{xy}$.

(1)
原式$= \frac{2(x + y)}{5a^{2}b} · \frac{10ab^{2}}{(x + y)(x - y)}$
$= \frac{2×10 · (x + y) · ab^{2}}{5a^{2}b·(x + y)(x - y)}$
$ = \frac{4b}{a(x - y)}$
(2)
原式$=x(y - x) · \frac{xy}{x - y}$
$= -x(x - y) · \frac{xy}{x - y}$
$ = - x^{2}y$

16. 甲、乙两地间的公路全长 $100$ km，某人骑自行车从甲地到乙地每小时行驶 $m$ km，用代数式表示：
(1) 此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(2) 如果此人每小时多行驶 $5$ km，那么此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(3) 此人从甲地到乙地的原行驶速度为 $20$ km/h，在(2) 的条件下，此人从甲地到乙地少用多长时间？

(1) 时间 = 路程÷速度，所以需要行驶的时间为 $\frac{100}{m}$ 小时。
(2) 速度变为每小时 $(m + 5)$ km，所需时间为 $\frac{100}{m + 5}$ 小时。
(3) 原速度 $m = 20$ km/h，原时间为 $\frac{100}{20} = 5$ 小时；提速后速度为 $20 + 5 = 25$ km/h，提速后时间为 $\frac{100}{25} = 4$ 小时。少用的时间为 $5 - 4 = 1$ 小时。
(1) $\frac{100}{m}$ 小时
(2) $\frac{100}{m + 5}$ 小时
(3) 1 小时

17. 先化简$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4x + 4} ÷ (x - 1) · \frac{x - 2}{x^{2} + x}$，再从 $1$，$-1$，$2$，$-2$ 中选择一个合适的 $x$ 值代入，求代数式的值.

$\frac{1}{8}$

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4x + 4} ÷ (x - 1) · \frac{x - 2}{x^{2} + x}\\=&\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)^2} · \frac{1}{x - 1} · \frac{x - 2}{x(x + 1)}\\=&\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2(x - 1)x(x + 1)}\\=&\frac{1}{x(x - 2)}\end{aligned}$
选择合适的$x$值：
由分式有意义的条件，得$x \neq 1$，$x \neq -1$，$x \neq 2$，$x \neq 0$，故选择$x = -2$。
代入求值：
当$x = -2$时，$\frac{1}{x(x - 2)} = \frac{1}{(-2)×(-2 - 2)} = \frac{1}{(-2)×(-4)} = \frac{1}{8}$。