【变式2】计算：(1)$\frac{x + 1}{x}+\frac{1}{x - 1}$；
(2)$\frac{2a}{a^{2}-4}-\frac{1}{a - 2}$。

(1)
原式：$\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1}$
首先找公共分母，即 $x(x - 1)$。
$\frac{x + 1}{x} × \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} × \frac{x}{x}$
$= \frac{(x + 1)(x - 1) + x}{x(x - 1)}$
$= \frac{x^2 - 1 + x}{x(x - 1)}$
$= \frac{x^2 + x - 1}{x(x - 1)}$
(2)
原式：$\frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2}$
首先，$a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)$，找公共分母 $(a + 2)(a - 2)$。
$\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{1}{a - 2} × \frac{a + 2}{a + 2}$
$= \frac{2a - (a + 2)}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{1}{a + 2}$

1. 计算$\frac{x + 1}{x}-\frac{1}{x}$，结果是()。

A.$x$
B.$1$
C.$\frac{1}{x}$
D.$-\frac{1}{x}$

B

同分母分式相减，分母不变，分子相减。$\frac{x + 1}{x}-\frac{1}{x}=\frac{(x + 1)-1}{x}=\frac{x}{x}=1$

2. 计算$\frac{2m}{m - 1}-\frac{2}{m - 1}$，结果等于()。


A.$\frac{2}{m^{2}-1}$
B.$\frac{m}{m - 1}$
C.$m$
D.$2$

D

原式$=\frac{2m}{m - 1} - \frac{2}{m - 1}=\frac{2m - 2}{m - 1}=\frac{2(m - 1)}{m - 1}=2$。

3. 计算$\frac{6}{x - 2}+\frac{3x^{2}}{4 - 2x}$，结果是()。

A.$\frac{3x - 6}{2}$
B.$-\frac{3x - 6}{2}$
C.$\frac{3x + 6}{2}$
D.$-\frac{3x + 6}{2}$

D

$\frac{6}{x - 2}+\frac{3x^{2}}{4 - 2x}=\frac{6}{x - 2}-\frac{3x^{2}}{2(x - 2)}=\frac{12 - 3x^{2}}{2(x - 2)}=\frac{-3(x^{2}-4)}{2(x - 2)}=\frac{-3(x + 2)(x - 2)}{2(x - 2)}=-\frac{3(x + 2)}{2}=-\frac{3x + 6}{2}$

4. 计算：$\frac{2}{m}-\frac{1}{m^{2}}=$______。

$\frac{2m - 1}{m^{2}}$

原式为 $\frac{2}{m} - \frac{1}{m^2}$，首先找到两个分数的最小公倍数作为通分母，即 $m^2$。
将两个分数转换为有相同分母的形式：
$\frac{2}{m} × \frac{m}{m} = \frac{2m}{m^2}$，
$\frac{1}{m^2} = \frac{1}{m^2}$，
进行减法运算：
$\frac{2m}{m^2} - \frac{1}{m^2} = \frac{2m - 1}{m^2}$，

5. 计算$\frac{1}{a + 2}+\frac{4}{a^{2}-4}$。

解：
1. 因式分解分母：$a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)$
2. 通分，最简公分母为$(a + 2)(a - 2)$：
$\frac{1}{a + 2} = \frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$，$\frac{4}{a^2 - 4} = \frac{4}{(a + 2)(a - 2)}$
3. 相加：
$\frac{a - 2}{(a + 2)(a - 2)} + \frac{4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a - 2 + 4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$
4. 约分：
$\frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{1}{a - 2}$
结论：$\frac{1}{a - 2}$

1. 计算$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}$，结果为()。

A.$\frac{4}{a}$
B.$\frac{12}{a^{2}}$
C.$\frac{8}{a}$
D.$\frac{12}{a}$

C

同分母分式相加，分母不变，分子相加。$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}=\frac{6+2}{a}=\frac{8}{a}$

2. 计算$\frac{a + 1}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}$，结果是()。

A.$1$
B.$\frac{2}{a + 2}$
C.$a + 2$
D.$\frac{a}{a + 2}$

A

同分母分式相加，分母不变，分子相加。原式=$\frac{(a + 1) + 1}{a + 2}=\frac{a + 2}{a + 2}=1$

3. 计算：
(1)$\frac{2x + 7}{3x}+\frac{x - 1}{3x}$；
(2)$\frac{x^{2}}{x - 2}+\frac{4}{2 - x}$；
(3)$\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}-\frac{b^{2}}{(b - a)^{2}}$。

(1)
$\frac{2x + 7}{3x}+\frac{x - 1}{3x}$
$=\frac{2x + 7 + x - 1}{3x}$
$=\frac{3x + 6}{3x}$
$=\frac{3(x + 2)}{3x}$
$=\frac{x + 2}{x}$
(2)
因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{4}{2 - x}=-\frac{4}{x - 2}$。
$\frac{x^{2}}{x - 2}+\frac{4}{2 - x}$
$=\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{4}{x - 2}$
$=\frac{x^{2}-4}{x - 2}$
$=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}$
$=x + 2$
(3)
因为$(b - a)^{2}=(a - b)^{2}$，所以$\frac{b^{2}}{(b - a)^{2}}=\frac{b^{2}}{(a - b)^{2}}$。
$\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}-\frac{b^{2}}{(b - a)^{2}}$
$=\frac{a^{2}}{(a - b)^{2}}-\frac{b^{2}}{(a - b)^{2}}$
$=\frac{a^{2}-b^{2}}{(a - b)^{2}}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}}$
$=\frac{a + b}{a - b}$