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4. 计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，结果是()。
A.$b + a$
B.$\frac{1}{a + b}$
C.$\frac{2}{a + b}$
D.$\frac{a + b}{ab}$
A.$b + a$
B.$\frac{1}{a + b}$
C.$\frac{2}{a + b}$
D.$\frac{a + b}{ab}$
答案
D
解析
要计算 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，需要找到这两个分数的公共分母。公共分母是 $a$ 和 $b$ 的乘积 $ab$。
将两个分数转换为具有相同分母的形式：
$\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}$，
$\frac{1}{b} = \frac{a}{ab}$，
将这两个分数相加：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$，
因此，计算的结果是 $\frac{a + b}{ab}$。
将两个分数转换为具有相同分母的形式：
$\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}$，
$\frac{1}{b} = \frac{a}{ab}$，
将这两个分数相加：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$，
因此，计算的结果是 $\frac{a + b}{ab}$。
5. (2025昆明期末)已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，则$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}=$。
答案
3
解析
由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，通分得$\frac{y - x}{xy}=2$，即$y - x = 2xy$，则$x - y=-2xy$。
分子$5x + xy - 5y=5(x - y)+xy=5(-2xy)+xy=-10xy + xy=-9xy$；
分母$x - xy - y=(x - y)-xy=(-2xy)-xy=-3xy$；
原式$=\frac{-9xy}{-3xy}=3$。
分子$5x + xy - 5y=5(x - y)+xy=5(-2xy)+xy=-10xy + xy=-9xy$；
分母$x - xy - y=(x - y)-xy=(-2xy)-xy=-3xy$；
原式$=\frac{-9xy}{-3xy}=3$。
6. 化简：$\frac{1}{x + 1}-1=$。
答案
$-\frac{x}{x + 1}$
解析
本题可先将$1$转化为分母为$x + 1$的分式，再进行分式的减法运算。
步骤一：将$1$转化为分母为$x + 1$的分式
根据分式的基本性质，任何非零数除以它本身结果为$1$，所以$1=\frac{x + 1}{x + 1}$。
此时原式变为$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}$。
步骤二：进行分式减法运算
同分母的分式相减，分母不变，分子相减，即$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}=\frac{1-(x + 1)}{x + 1}$。
步骤三：去括号并化简分子
对分子$1-(x + 1)$去括号，根据去括号法则：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$1-(x + 1)=1 - x - 1=-x$。
所以$\frac{1-(x + 1)}{x + 1}=\frac{-x}{x + 1}=-\frac{x}{x + 1}$。
步骤一：将$1$转化为分母为$x + 1$的分式
根据分式的基本性质，任何非零数除以它本身结果为$1$，所以$1=\frac{x + 1}{x + 1}$。
此时原式变为$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}$。
步骤二：进行分式减法运算
同分母的分式相减，分母不变，分子相减，即$\frac{1}{x + 1}-\frac{x + 1}{x + 1}=\frac{1-(x + 1)}{x + 1}$。
步骤三：去括号并化简分子
对分子$1-(x + 1)$去括号，根据去括号法则：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$1-(x + 1)=1 - x - 1=-x$。
所以$\frac{1-(x + 1)}{x + 1}=\frac{-x}{x + 1}=-\frac{x}{x + 1}$。
7. 计算：
(1)$\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}$；
(2)$\frac{b}{3a^{2}}-\frac{1}{4ab}$；
(3)$\frac{1}{a + 2}-\frac{a - 2}{a^{2}+4a + 4}$。
(1)$\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}$；
(2)$\frac{b}{3a^{2}}-\frac{1}{4ab}$；
(3)$\frac{1}{a + 2}-\frac{a - 2}{a^{2}+4a + 4}$。
答案
(1)
$\frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$
$=\frac{2x}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}$
$ = \frac{2x - 3}{x^{3}}$
(2)
$\frac{b}{3a^{2}} - \frac{1}{4ab}$
$=\frac{4b^{2}}{12a^{2}b} - \frac{3a}{12a^{2}b}$
$ = \frac{4b^{2} - 3a}{12a^{2}b}$
(3)
因为$a^{2}+4a + 4=(a + 2)^{2}$
$\frac{1}{a + 2} - \frac{a - 2}{a^{2}+4a + 4}$
$=\frac{1}{a + 2} - \frac{a - 2}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{a + 2}{(a + 2)^{2}} - \frac{a - 2}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{a + 2-(a - 2)}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{4}{(a + 2)^{2}}$
$\frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}$
$=\frac{2x}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}$
$ = \frac{2x - 3}{x^{3}}$
(2)
$\frac{b}{3a^{2}} - \frac{1}{4ab}$
$=\frac{4b^{2}}{12a^{2}b} - \frac{3a}{12a^{2}b}$
$ = \frac{4b^{2} - 3a}{12a^{2}b}$
(3)
因为$a^{2}+4a + 4=(a + 2)^{2}$
$\frac{1}{a + 2} - \frac{a - 2}{a^{2}+4a + 4}$
$=\frac{1}{a + 2} - \frac{a - 2}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{a + 2}{(a + 2)^{2}} - \frac{a - 2}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{a + 2-(a - 2)}{(a + 2)^{2}}$
$=\frac{4}{(a + 2)^{2}}$
8. (2024河北)已知$A$为整式，若计算$\frac{A}{xy + y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+xy}$，结果为$\frac{x - y}{xy}$，则$A$等于()。
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
答案
A
解析
先对分母因式分解：$xy + y^2 = y(x + y)$，$x^2 + xy = x(x + y)$，最简公分母为$xy(x + y)$。
原式左边通分后为$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)}$，右边$\frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)}$。
由分子相等得：$Ax - y^2 = x^2 - y^2$，即$Ax = x^2$，故$A = x$。
原式左边通分后为$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)}$，右边$\frac{x - y}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)}$。
由分子相等得：$Ax - y^2 = x^2 - y^2$，即$Ax = x^2$，故$A = x$。
9. 设$p=\frac{a}{a + 1}-\frac{b}{b + 1}$，$q=\frac{1}{a + 1}-\frac{1}{b + 1}$，则$p$，$q$的关系是()。
A.$p = q$
B.$p＞q$
C.$p=-q$
D.$p＜q$
A.$p = q$
B.$p＞q$
C.$p=-q$
D.$p＜q$
答案
C
解析
先化简 $ p $：$\begin{aligned}p&=\frac{a}{a + 1}-\frac{b}{b + 1}\\&=\frac{a(b + 1)-b(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{ab + a - ab - b}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{a - b}{(a + 1)(b + 1)}\end{aligned}$再化简 $ q $：$\begin{aligned}q&=\frac{1}{a + 1}-\frac{1}{b + 1}\\&=\frac{(b + 1)-(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{b + 1 - a - 1}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{b - a}{(a + 1)(b + 1)}\end{aligned}$对比 $ p $ 和 $ q $，可得 $ p = -q $。
10. 如图，把$R_{1}$，$R_{2}$两个电阻并联起来，线路$AB$上的总电阻为$R_{总}$，$R_{1}$，$R_{2}$，$R_{总}$满足关系式：$\frac{1}{R_{总}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，则求得$R_{总}$等于()。
A.$R_{1}+R_{2}$
B.$\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}$
C.$\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
D.$\frac{R_{1}+R_{2}}{2}$
A.$R_{1}+R_{2}$
B.$\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}$
C.$\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$
D.$\frac{R_{1}+R_{2}}{2}$
答案
C
解析
由题意知，$\frac{1}{R_{总}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，
通分得到$\frac{1}{R_{总}} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$，
因此，$R_{总} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$。
通分得到$\frac{1}{R_{总}} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$，
因此，$R_{总} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$。
11. 计算：①$\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}+\frac{2xy}{y - x}$；②$\frac{x^{2}-y^{2}}{4xy}-\frac{x^{2}+y^{2}}{4xy}$；③$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{a^{2}-a + b}{b - a}$。其中结果是整式的是。(填序号)
答案
①③
解析
①$\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}+\frac{2xy}{y - x}$
$=\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}-\frac{2xy}{x - y}$
$=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{x - y}$
$=\frac{(x - y)^{2}}{x - y}$
$=x - y$
结果为整式。
②$\frac{x^{2}-y^{2}}{4xy}-\frac{x^{2}+y^{2}}{4xy}$
$=\frac{x^{2}-y^{2}-(x^{2}+y^{2})}{4xy}$
$=\frac{x^{2}-y^{2}-x^{2}-y^{2}}{4xy}$
$=\frac{-2y^{2}}{4xy}$
$=-\frac{y}{2x}$
结果为分式。
③$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{a^{2}-a + b}{b - a}$
$=\frac{a^{2}}{a - b}-\frac{a^{2}-a + b}{a - b}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-a + b)}{a - b}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+a - b}{a - b}$
$=\frac{a - b}{a - b}$
$=1$
结果为整式。
$=\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}-\frac{2xy}{x - y}$
$=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{x - y}$
$=\frac{(x - y)^{2}}{x - y}$
$=x - y$
结果为整式。
②$\frac{x^{2}-y^{2}}{4xy}-\frac{x^{2}+y^{2}}{4xy}$
$=\frac{x^{2}-y^{2}-(x^{2}+y^{2})}{4xy}$
$=\frac{x^{2}-y^{2}-x^{2}-y^{2}}{4xy}$
$=\frac{-2y^{2}}{4xy}$
$=-\frac{y}{2x}$
结果为分式。
③$\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{a^{2}-a + b}{b - a}$
$=\frac{a^{2}}{a - b}-\frac{a^{2}-a + b}{a - b}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-a + b)}{a - b}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+a - b}{a - b}$
$=\frac{a - b}{a - b}$
$=1$
结果为整式。
12. 计算：
(1)$\frac{24}{x^{2}-16}+\frac{3}{4 - x}$；
(2)$\frac{a^{2}}{a - 2}-a - 2$。
(1)$\frac{24}{x^{2}-16}+\frac{3}{4 - x}$；
(2)$\frac{a^{2}}{a - 2}-a - 2$。
答案
(1)
原式$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3}{x - 4}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24-3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24 - 3x-12}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{12 - 3x}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{-3(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=-\frac{3}{x + 4}$
(2)
原式$=\frac{a^{2}}{a - 2}-(a + 2)$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-4)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+4}{a - 2}$
$=\frac{4}{a - 2}$
原式$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3}{x - 4}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24-3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24 - 3x-12}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{12 - 3x}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{-3(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=-\frac{3}{x + 4}$
(2)
原式$=\frac{a^{2}}{a - 2}-(a + 2)$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-4)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+4}{a - 2}$
$=\frac{4}{a - 2}$
