登录
1. (甘肃兰州中考改编)下表是一组二次函数 $ y = x^{2} + 3x - 5 $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的对应值：
那么最接近方程 $ x^{2} + 3x - 5 = 0 $ 的一个根的值是(
A.$ 1 $
B.$ 1.1 $
C.$ 1.2 $
D.$ 1.3 $
那么最接近方程 $ x^{2} + 3x - 5 = 0 $ 的一个根的值是(
C
)A.$ 1 $
B.$ 1.1 $
C.$ 1.2 $
D.$ 1.3 $
答案
1.C
解析
解：方程$x^{2} + 3x - 5 = 0$的根即为二次函数$y = x^{2} + 3x - 5$的函数值$y=0$时对应的$x$值。
由表格可知：
当$x=1.1$时，$y=-0.49$；
当$x=1.2$时，$y=0.04$。
因为$0.04$的绝对值小于$-0.49$的绝对值，即$|0.04| ＜ |-0.49|$，所以$x=1.2$时的函数值更接近$0$。
故最接近方程$x^{2} + 3x - 5 = 0$的一个根的值是$1.2$。
C
由表格可知：
当$x=1.1$时，$y=-0.49$；
当$x=1.2$时，$y=0.04$。
因为$0.04$的绝对值小于$-0.49$的绝对值，即$|0.04| ＜ |-0.49|$，所以$x=1.2$时的函数值更接近$0$。
故最接近方程$x^{2} + 3x - 5 = 0$的一个根的值是$1.2$。
C
2. 二次函数 $ y = x^{2} + x - 6 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的横坐标是(
A.$ 2 $ 和 $ - 3 $
B.$ - 2 $ 和 $ 3 $
C.$ 2 $ 和 $ 3 $
D.$ - 2 $ 和 $ - 3 $
A
)A.$ 2 $ 和 $ - 3 $
B.$ - 2 $ 和 $ 3 $
C.$ 2 $ 和 $ 3 $
D.$ - 2 $ 和 $ - 3 $
答案
2.A
解析
令$y = 0$，则$x^{2} + x - 6 = 0$。
因式分解得$(x + 3)(x - 2) = 0$。
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = - 3$。
A
因式分解得$(x + 3)(x - 2) = 0$。
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = - 3$。
A
3. 抛物线 $ y = x^{2} - 2x + 1 $ 与 $ x $ 轴的交点个数是(
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
B
)A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
答案
3.B
解析
要判断抛物线 $ y = x^{2} - 2x + 1 $ 与 $ x $ 轴的交点个数，需令 $ y = 0 $，即解方程 $ x^{2} - 2x + 1 = 0 $。
对于一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $（$ a\neq0 $），判别式 $ \Delta=b^{2}-4ac $。当 $ \Delta＞0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $ \Delta = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根；当 $ \Delta＜0 $ 时，方程无实数根。
在方程 $ x^{2}-2x + 1 = 0 $ 中，$ a = 1 $，$ b=-2 $，$ c = 1 $，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×1=4 - 4=0$。
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有$1$个交点。
B
对于一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $（$ a\neq0 $），判别式 $ \Delta=b^{2}-4ac $。当 $ \Delta＞0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $ \Delta = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根；当 $ \Delta＜0 $ 时，方程无实数根。
在方程 $ x^{2}-2x + 1 = 0 $ 中，$ a = 1 $，$ b=-2 $，$ c = 1 $，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×1=4 - 4=0$。
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有$1$个交点。
B
4. 若二次函数 $ y = 2x^{2} + mx + 8 $ 的图象如图 22.2 - 2 所示，则 $ m $ 的值是
8
.答案
4.8
解析
解：由图可知二次函数$y = 2x^{2} + mx + 8$的对称轴在$y$轴左侧，且与$x$轴有一个交点在原点左侧。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}$，此函数中$a = 2$，$b=m$，对称轴为$x=-\dfrac{m}{4}$。
因为对称轴在$y$轴左侧，所以$-\dfrac{m}{4}＜0$，即$m＞0$。
又因为二次函数与$x$轴相切（由图可知只有一个交点），所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 0$。
其中$a = 2$，$b=m$，$c = 8$，则$\Delta=m^{2}-4×2×8=0$，即$m^{2}-64 = 0$，解得$m=\pm8$。
因为$m＞0$，所以$m = 8$。
8
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}$，此函数中$a = 2$，$b=m$，对称轴为$x=-\dfrac{m}{4}$。
因为对称轴在$y$轴左侧，所以$-\dfrac{m}{4}＜0$，即$m＞0$。
又因为二次函数与$x$轴相切（由图可知只有一个交点），所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 0$。
其中$a = 2$，$b=m$，$c = 8$，则$\Delta=m^{2}-4×2×8=0$，即$m^{2}-64 = 0$，解得$m=\pm8$。
因为$m＞0$，所以$m = 8$。
8
5. 已知函数 $ y = x^{2} - mx + m - 2 $.
（1）求证：不论 $ m $ 取何值，此二次函数的图象与 $ x $ 轴都有两个公共点；
（2）若 $ m = 2 $，求函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标.
（1）求证：不论 $ m $ 取何值，此二次函数的图象与 $ x $ 轴都有两个公共点；
（2）若 $ m = 2 $，求函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标.
答案
5.
(1)证明:因为$b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$,所以$b^{2}-4ac＞0$.所以不论m取何值,此二次函数的图象与x轴都有两个公共点.
(2)解:函数图象与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0).
(1)证明:因为$b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$,所以$b^{2}-4ac＞0$.所以不论m取何值,此二次函数的图象与x轴都有两个公共点.
(2)解:函数图象与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0).
1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22.2 - 3 所示，则下列说法正确的是(
A.$ abc ＜ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $
B.$ abc ＞ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $
C.$ abc ＜ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
D.$ abc ＞ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
B
)A.$ abc ＜ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $
B.$ abc ＞ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＞ 0 $
C.$ abc ＜ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
D.$ abc ＞ 0 $，$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
答案
1.B
解析
解：由抛物线开口向上得 $a ＞ 0$；对称轴在 $y$ 轴右侧，即 $-\frac{b}{2a} ＞ 0$，又 $a ＞ 0$，则 $b ＜ 0$；抛物线与 $y$ 轴交于负半轴，得 $c ＜ 0$，故 $abc = a \cdot b \cdot c ＞ 0$（负负得正，再乘正）。抛物线与 $x$ 轴有两个交点，所以 $b^2 - 4ac ＞ 0$。综上，$abc ＞ 0$，$b^2 - 4ac ＞ 0$，选 B。
2. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 3x + m (m $ 为常数)的图象与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (1, 0) $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + m = 0 $ 的两实数根是(
A.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = - 1 $
B.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 0 $
D.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 3 $
B
)A.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = - 1 $
B.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 2 $
C.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 0 $
D.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 3 $
答案
2.B
解析
将$(1,0)$代入$y = x^{2}-3x + m$，得$1 - 3 + m=0$，解得$m = 2$。
方程为$x^{2}-3x + 2=0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
B
方程为$x^{2}-3x + 2=0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
B
3. 如图 22.2 - 4，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴相交于 $ (- 2, 0) $ 和 $ (4, 0) $ 两点，当函数值 $ y ＞ 0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是(
A.$ x ＜ - 2 $
B.$ - 2 ＜ x ＜ 4 $
C.$ x ＞ 0 $
D.$ x ＞ 4 $
B
)A.$ x ＜ - 2 $
B.$ - 2 ＜ x ＜ 4 $
C.$ x ＞ 0 $
D.$ x ＞ 4 $
答案
3.B
解析
解：由二次函数图像与x轴交于$(-2,0)$和$(4,0)$，且抛物线开口向下，可知当$y＞0$时，$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 4$。
B
B
4. 若关于 $ x $ 的二次函数 $ y = kx^{2} + 2x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴仅有一个公共点，则实数 $ k $ 的值为
-1
.答案
4.-1
解析
解：因为二次函数$y = kx^{2} + 2x - 1$的图象与$x$轴仅有一个公共点，所以判别式$\Delta = 2^{2}-4× k×(-1)=0$，即$4 + 4k=0$，解得$k=-1$。
$-1$
$-1$
5. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的交点是 $ (- 2, 0) $ 和 $ (4, 0) $，这条抛物线的对称轴是直线
$x=1$
.答案
5.$x=1$
6. 已知二次函数 $ y = x^{2} + 2x + m $ 的图象 $ C_{1} $ 与 $ x $ 轴有且只有一个公共点.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）将 $ C_{1} $ 向下平移 $ 4 $ 个单位长度得图象 $ C_{2} $，求 $ C_{2} $ 与 $ x $ 轴的交点坐标.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）将 $ C_{1} $ 向下平移 $ 4 $ 个单位长度得图象 $ C_{2} $，求 $ C_{2} $ 与 $ x $ 轴的交点坐标.
答案
6.解:
(1)$m=1$.
(2)$C_{2}$与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0).
(1)$m=1$.
(2)$C_{2}$与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0).
