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【例 1】(湖南永州中考)抛物线 $ y = x^{2} + 2x + m - 1 $ 与 $ x $ 轴有两个不同的交点，则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m ＜ 2 $
B.$ m ＞ 2 $
C.$ 0 ＜ m \leq 2 $
D.$ m ＜ - 2 $
思考：二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个不同的交点，需满足什么条件？
【一题多变】
抛物线 $ y = x^{2} + 2x + m - 1 $ 与直线 $ y = - 1 $ 有两个不同的交点，求 $ m $ 的取值范围.
A
)A.$ m ＜ 2 $
B.$ m ＞ 2 $
C.$ 0 ＜ m \leq 2 $
D.$ m ＜ - 2 $
思考：二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个不同的交点，需满足什么条件？
【一题多变】
抛物线 $ y = x^{2} + 2x + m - 1 $ 与直线 $ y = - 1 $ 有两个不同的交点，求 $ m $ 的取值范围.
答案
答案:A
解析
联立抛物线与直线方程：$x^{2} + 2x + m - 1=-1$，化简得$x^{2} + 2x + m=0$。
因为抛物线与直线有两个不同交点，所以此一元二次方程有两个不同实数根，即判别式$\Delta＞0$。
$\Delta = 2^{2}-4×1× m=4 - 4m$，由$4 - 4m＞0$，解得$m＜1$。
$m＜1$
因为抛物线与直线有两个不同交点，所以此一元二次方程有两个不同实数根，即判别式$\Delta＞0$。
$\Delta = 2^{2}-4×1× m=4 - 4m$，由$4 - 4m＞0$，解得$m＜1$。
$m＜1$
根据抛物线与 $ x $ 轴的公共（交）点的个数，可以确定 $ b^{2} - 4ac $ 的符号，以此列方程或不等式即可求得字母的值或取值范围.
答案
（根据具体题目条件列方程或不等式求解，此处无具体题目数值，无法给出具体答案）
解析
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其与$x$轴交点个数由判别式$\Delta=b^2 - 4ac$决定：当$\Delta＞0$时，有2个公共点；当$\Delta=0$时，有1个公共点；当$\Delta＜0$时，没有公共点。根据交点个数列方程或不等式可求字母的值或范围。
1. (山东滨州中考)抛物线 $ y = 2x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1 $ 与坐标轴的交点个数是(
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
C
)A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
答案
1.C
解析
1. 求与y轴交点：令$x=0$，则$y=2×0^{2}-2\sqrt{2}×0 + 1=1$，交点为$(0,1)$，有1个；
2. 求与x轴交点：令$y=0$，则$2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1=0$，判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×1=8 - 8=0$，方程有两个相等实根，交点为1个；
3. 综上，抛物线与坐标轴交点个数是$1 + 1=2$。
C
2. 求与x轴交点：令$y=0$，则$2x^{2}-2\sqrt{2}x + 1=0$，判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×1=8 - 8=0$，方程有两个相等实根，交点为1个；
3. 综上，抛物线与坐标轴交点个数是$1 + 1=2$。
C
2. (山东青岛中考)若抛物线 $ y = x^{2} - 6x + m $ 与 $ x $ 轴没有交点，则 $ m $ 的取值范围是
$m＞9$
.答案
2.$m＞9$
解析
解：抛物线$y = x^{2}-6x + m$与$x$轴没有交点，
则一元二次方程$x^{2}-6x + m=0$无实数根，
$\Delta=(-6)^{2}-4×1× m=36 - 4m$，
$\because$方程无实数根，
$\therefore\Delta＜0$，即$36-4m＜0$，
解得$m＞9$。
$m＞9$
则一元二次方程$x^{2}-6x + m=0$无实数根，
$\Delta=(-6)^{2}-4×1× m=36 - 4m$，
$\because$方程无实数根，
$\therefore\Delta＜0$，即$36-4m＜0$，
解得$m＞9$。
$m＞9$
【例 2】画出适当的函数图象，求一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的解.
思考：先根据一元二次方程确定函数解析式，再确定其图象的顶点坐标、对称轴、开口方向，画出该函数的
解：
(一题多解)试用其他方法，根据函数图象求出方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的解.
思考：先根据一元二次方程确定函数解析式，再确定其图象的顶点坐标、对称轴、开口方向，画出该函数的
图象
，根据图象与x轴
的交点，直接得出方程的解或用取平均值的方法求出其近似解.解：
(一题多解)试用其他方法，根据函数图象求出方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 的解.
答案
解:如答图22.2-1,画出函数$y=x^{2}-4x+3$的图象,由图象可得,它与x轴的交点A,B的横坐标分别是1,3,所以$x^{2}-4x+3=0$的解是$x_{1}=1$,$x_{2}=3$.
[一题多解]
解:如答图22.2-2,在同一平面直角坐标系内画出抛物线$y=x^{2}$和直线$y=4x-3$,两图象的交点的横坐标分别为1,3,所以$x^{2}-4x+3=0$的解是$x_{1}=1$,$x_{2}=3$.
3. 根据下列表格中二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的对应值，判断方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0, a, b, c $ 为常数)的一个解 $ x $ 的范围是(
A.$ 6 ＜ x ＜ 6.17 $
B.$ 6.17 ＜ x ＜ 6.18 $
C.$ 6.18 ＜ x ＜ 6.19 $
D.$ 6.19 ＜ x ＜ 6.20 $
C
)A.$ 6 ＜ x ＜ 6.17 $
B.$ 6.17 ＜ x ＜ 6.18 $
C.$ 6.18 ＜ x ＜ 6.19 $
D.$ 6.19 ＜ x ＜ 6.20 $
答案
3.C
解析
解：由表格可知，当$x = 6.18$时，$y=-0.01$；当$x = 6.19$时，$y = 0.02$。
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像是连续的曲线，且$y$的值从$-0.01$（负数）变为$0.02$（正数），所以在$6.18 ＜ x ＜ 6.19$范围内，函数图像与$x$轴必有一个交点，即方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个解$x$的范围是$6.18 ＜ x ＜ 6.19$。
C
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像是连续的曲线，且$y$的值从$-0.01$（负数）变为$0.02$（正数），所以在$6.18 ＜ x ＜ 6.19$范围内，函数图像与$x$轴必有一个交点，即方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个解$x$的范围是$6.18 ＜ x ＜ 6.19$。
C
