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7. (贵州贵阳中考)若 $ m $，$ n (n ＜ m) $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 1 - (x - a)(x - b) = 0 $ 的两个根，且 $ b ＜ a $，则 $ m $，$ n $，$ b $，$ a $ 的大小关系是(
A.$ m ＜ a ＜ b ＜ n $
B.$ a ＜ m ＜ n ＜ b $
C.$ b ＜ n ＜ m ＜ a $
D.$ n ＜ b ＜ a ＜ m $
D
)A.$ m ＜ a ＜ b ＜ n $
B.$ a ＜ m ＜ n ＜ b $
C.$ b ＜ n ＜ m ＜ a $
D.$ n ＜ b ＜ a ＜ m $
答案
7.D
解析
将方程$1 - (x - a)(x - b) = 0$变形为$(x - a)(x - b) = 1$。
设$y=(x - a)(x - b)$，其图像为开口向上的抛物线，与$x$轴交于$(a,0)$，$(b,0)$，且$b ＜ a$。
方程$(x - a)(x - b) = 1$的根$m$，$n$为抛物线$y=(x - a)(x - b)$与直线$y=1$交点的横坐标。
因为抛物线开口向上，所以两个交点分别在抛物线与$x$轴两交点的外侧，即$n ＜ b ＜ a ＜ m$。
D
设$y=(x - a)(x - b)$，其图像为开口向上的抛物线，与$x$轴交于$(a,0)$，$(b,0)$，且$b ＜ a$。
方程$(x - a)(x - b) = 1$的根$m$，$n$为抛物线$y=(x - a)(x - b)$与直线$y=1$交点的横坐标。
因为抛物线开口向上，所以两个交点分别在抛物线与$x$轴两交点的外侧，即$n ＜ b ＜ a ＜ m$。
D
8. 抛物线 $ y = x^{2} - x - 2 $ 与坐标轴交点的个数为(
A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $
A
)A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $
答案
8.A
解析
1. 求与y轴交点：令$x=0$，则$y=0^{2}-0 - 2=-2$，交点为$(0,-2)$，1个。
2. 求与x轴交点：令$y=0$，即$x^{2}-x - 2=0$。判别式$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8=9＞0$，方程有两个不同实根，交点个数为2个。
3. 综上，抛物线与坐标轴交点个数为$1 + 2=3$。
A
2. 求与x轴交点：令$y=0$，即$x^{2}-x - 2=0$。判别式$\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=1 + 8=9＞0$，方程有两个不同实根，交点个数为2个。
3. 综上，抛物线与坐标轴交点个数为$1 + 2=3$。
A
9. (湖北武汉中考)已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = ax^{2} + (a^{2} - 1)x - a $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (m, 0) $. 若 $ 2 ＜ m ＜ 3 $，则 $ a $ 的取值范围是
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
.答案
9.$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
解析
解：令$y=0$，则$ax^{2}+(a^{2}-1)x - a=0$，因式分解得$(ax - 1)(x + a)=0$，解得$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$。
情况一： 当$m = \frac{1}{a}$时，$2＜\frac{1}{a}＜3$。
若$a＞0$，则$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
若$a＜0$，不等式无解。
情况二： 当$m=-a$时，$2＜-a＜3$，解得$-3＜a＜-2$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$。
情况一： 当$m = \frac{1}{a}$时，$2＜\frac{1}{a}＜3$。
若$a＞0$，则$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
若$a＜0$，不等式无解。
情况二： 当$m=-a$时，$2＜-a＜3$，解得$-3＜a＜-2$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$。
10. （山东淄博中考）如图 22.2 - 5，抛物线 $ y = ax^{2} + 2ax + 1 $ 与 $ x $ 轴仅有一个公共点 $ A $，经过点 $ A $ 的直线交该抛物线于点 $ B $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，且点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的中点.
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线 $ AB $ 对应的函数解析式.
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线 $ AB $ 对应的函数解析式.
答案
10.解:
(1)抛物线对应的函数解析式为$y=x^{2}+2x+1$.
(2)直线AB对应的函数解析式为$y=2x+2$.
(1)抛物线对应的函数解析式为$y=x^{2}+2x+1$.
(2)直线AB对应的函数解析式为$y=2x+2$.
11. （福建中考）已知直线 $ y = 2x + m $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + ax + b $ 有一个公共点 $ M(1, 0) $，且 $ a ＜ b $.
（1）求抛物线顶点 $ Q $ 的坐标（用含 $ a $ 的代数式表示）.
（2）说明直线与抛物线有两个交点.
（3）直线与抛物线的另一个交点记为 $ N $.
①若 $ - 1 \leq a \leq - \frac{1}{2} $，求线段 $ MN $ 长度的取值范围；
②求 $ \triangle QMN $ 面积的最小值.
（1）求抛物线顶点 $ Q $ 的坐标（用含 $ a $ 的代数式表示）.
（2）说明直线与抛物线有两个交点.
（3）直线与抛物线的另一个交点记为 $ N $.
①若 $ - 1 \leq a \leq - \frac{1}{2} $，求线段 $ MN $ 长度的取值范围；
②求 $ \triangle QMN $ 面积的最小值.
答案
11.解:
(1)顶点Q的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{9a}{4})$.
(2)因为直线$y=2x+m$经过点M(1,0),所以$0=2×1+m$,所以$m=-2$.联立直线与抛物线解析式,消去y可得$ax^{2}+(a-2)x-2a+2=0$.①
所以$\Delta=(a-2)^{2}-4a(-2a+2)=9a^{2}-12a+4=(3a-2)^{2}$.由
(1)知$b=-2a$,且$a＜b$,所以$a＜0$,$b＞0$,所以$\Delta＞0$.所以方程①有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.
(3)①$5\sqrt{5}\leq MN\leq7\sqrt{5}$.
②当$a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$b=\frac{4\sqrt{2}}{3}$时,$\triangle QMN$的面积最小,最小值为$\frac{27}{4}+\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
(1)顶点Q的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{9a}{4})$.
(2)因为直线$y=2x+m$经过点M(1,0),所以$0=2×1+m$,所以$m=-2$.联立直线与抛物线解析式,消去y可得$ax^{2}+(a-2)x-2a+2=0$.①
所以$\Delta=(a-2)^{2}-4a(-2a+2)=9a^{2}-12a+4=(3a-2)^{2}$.由
(1)知$b=-2a$,且$a＜b$,所以$a＜0$,$b＞0$,所以$\Delta＞0$.所以方程①有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.
(3)①$5\sqrt{5}\leq MN\leq7\sqrt{5}$.
②当$a=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$b=\frac{4\sqrt{2}}{3}$时,$\triangle QMN$的面积最小,最小值为$\frac{27}{4}+\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
