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7. 如果$\sqrt{3 + a}+(5 - b)^{2}=0$，那么点$A(a,b)$关于原点对称的点$A'$的坐标为(
A.$(3,5)$
B.$(3,-5)$
C.$(-3,5)$
D.$(5,-3)$
B
)A.$(3,5)$
B.$(3,-5)$
C.$(-3,5)$
D.$(5,-3)$
答案
7.B
解析
因为$\sqrt{3 + a} \geq 0$，$(5 - b)^2 \geq 0$，且$\sqrt{3 + a} + (5 - b)^2 = 0$，所以$\sqrt{3 + a} = 0$，$(5 - b)^2 = 0$。
由$\sqrt{3 + a} = 0$，得$3 + a = 0$，解得$a = - 3$。
由$(5 - b)^2 = 0$，得$5 - b = 0$，解得$b = 5$。
所以点$A$的坐标为$(-3,5)$。
关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数，所以点$A(-3,5)$关于原点对称的点$A'$的坐标为$(3,-5)$。
B
由$\sqrt{3 + a} = 0$，得$3 + a = 0$，解得$a = - 3$。
由$(5 - b)^2 = 0$，得$5 - b = 0$，解得$b = 5$。
所以点$A$的坐标为$(-3,5)$。
关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数，所以点$A(-3,5)$关于原点对称的点$A'$的坐标为$(3,-5)$。
B
8. 已知点$P(a + 1,-\frac{a}{2}+1)$关于原点的对称点在第四象限，则$a$的取值范围在数轴上表示正确的是(
A.
B.
C.
D.
C
)A.
B.
C.
D.
答案
8.C
解析
解：点$P(a + 1,-\frac{a}{2}+1)$关于原点的对称点为$(-a - 1,\frac{a}{2}-1)$。
因为该对称点在第四象限，所以$\begin{cases}-a - 1＞0\\frac{a}{2}-1＜0\end{cases}$
解$-a - 1＞0$得：$a ＜ -1$
解$\frac{a}{2}-1＜0$得：$a ＜ 2$
综上，$a$的取值范围为$a ＜ -1$，在数轴上表示为选项C。
C
因为该对称点在第四象限，所以$\begin{cases}-a - 1＞0\\frac{a}{2}-1＜0\end{cases}$
解$-a - 1＞0$得：$a ＜ -1$
解$\frac{a}{2}-1＜0$得：$a ＜ 2$
综上，$a$的取值范围为$a ＜ -1$，在数轴上表示为选项C。
C
9. 在平面直角坐标系中，点$M$坐标为$(3,-4)$，若点$M$关于原点对称的点记作$M'$，则点$M$与$M'$之间的距离为
10
.答案
9.10
解析
解：点$M(3,-4)$关于原点对称的点$M'$的坐标为$(-3,4)$。
两点$M(x_1,y_1)$，$M'(x_2,y_2)$之间的距离公式为$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
则$MM' = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
10
两点$M(x_1,y_1)$，$M'(x_2,y_2)$之间的距离公式为$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
则$MM' = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
10
10. 若将等腰直角三角形$AOB$按如图 23.2.3 - 7 所示的方式放置，$OB = 2$，则点$A$关于原点对称的点的坐标为
(-1,-1)
.答案
10.(-1,-1)
解析
解：
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
过点A作AC⊥OB于点C，
则OC=CB=1，AC=OC=1，
∴点A的坐标为(1,1)，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(-1,-1)。
(-1,-1)
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
过点A作AC⊥OB于点C，
则OC=CB=1，AC=OC=1，
∴点A的坐标为(1,1)，
∴点A关于原点对称的点的坐标为(-1,-1)。
(-1,-1)
11. 如图 23.2.3 - 8 所示，$AB// CD// x$轴，且$AB = CD = 3$，$A$点坐标为$(-1,1)$，若$C(1,-1)$，
(1) 写出点$B$，$D$的坐标；
(2) 你发现点$A$，$B$，$C$，$D$ 的坐标之间有何特征？
(1) 写出点$B$，$D$的坐标；
(2) 你发现点$A$，$B$，$C$，$D$ 的坐标之间有何特征？
答案
11.
(1)B(2,1)，D(-2,-1).
(2)因为A(-1,1)，C(1,-1)的横、纵坐标分别互为相反数，所以两点关于原点对称.同理，点B，D关于原点对称.
(1)B(2,1)，D(-2,-1).
(2)因为A(-1,1)，C(1,-1)的横、纵坐标分别互为相反数，所以两点关于原点对称.同理，点B，D关于原点对称.
12. 如图 23.2.3 - 9，已知点$A(2,3)$和直线$y = x$.
(1) 点$A$关于直线$y = x$的对称点为点$B$，点$A$关于原点的对称点为点$C$，写出点$B$，$C$的坐标；
(2) 若点$D$是点$B$关于原点的对称点，判断四边形$ABCD$的形状，并说明理由.
(1) 点$A$关于直线$y = x$的对称点为点$B$，点$A$关于原点的对称点为点$C$，写出点$B$，$C$的坐标；
(2) 若点$D$是点$B$关于原点的对称点，判断四边形$ABCD$的形状，并说明理由.
答案
12.
(1)如答图23.2.3−6，因为A(2,3)，所以点A关于直线y=x的对称点B的坐标为(3,2)，点A关于原点的对称点C的坐标为(-2,-3).
(2)四边形ABCD是矩形.理由如下:
如答图23.2.3−6，因为B(3,2)，所以点B关于原点的对称点D的坐标为(-3,-2).
连接BD，AC，因为点B与点D关于O对称，所以BO=DO.
因为点A与点C关于O对称，所以AO=CO.
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为点A关于直线y=x的对称点为点B，所以线段AB垂直于直线y=x.设AB与直线y=x交于点E，则易证△AOE≌△BOE，所以AO=BO，所以AC=BD，所以四边形ABCD是矩形.
