1. 在 $4×6$ 的网格中,每个小正方形的边长为 $1$,网格线的交点记为格点。若一圆弧过格点 $A$,$B$,$C$,则该圆弧所在圆的半径为 ( )

A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
-

A

2. 如图,一条公路弯道处是一段圆弧 $\overset{\frown}{AB}$,点 $O$ 是这条弧所在圆的圆心,点 $C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$OC$ 与 $AB$ 相交于点 $D$。已知 $AB = 120\ m$,$CD = 20\ m$,那么这段弯道的半径为 ( )

A.$200\ m$
B.$200\sqrt{3}\ m$
C.$100\ m$
D.$100\sqrt{3}\ m$
-

C

解：设这段弯道的半径为 $ r \, m $，则 $ OC = OA = r \, m $。
因为点 $ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点，所以 $ OC \perp AB $，且 $ AD = \frac{1}{2}AB = 60 \, m $。
又因为 $ CD = 20 \, m $，所以 $ OD = OC - CD = (r - 20) \, m $。
在 $ Rt\triangle AOD $ 中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $，即 $ r^2 = 60^2 + (r - 20)^2 $。
展开并化简：$ r^2 = 3600 + r^2 - 40r + 400 $，
移项得：$ 40r = 4000 $，解得 $ r = 100 $。
C

3. 如图,若 $\overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{BN}$,$MN$ 为直径,则有：① $AC = BC$；② $MN \perp AB$；③ $\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$；④ $ON = AB$。以上结论正确的有 ( )

A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个
-

B

解：
∵$\overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{BN}$，MN为直径，
∴MN垂直平分AB（垂径定理），
∴①$AC = BC$正确；②$MN \perp AB$正确；
∵$\overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{BN}$，MN为直径，
∴$\overset{\frown}{AM} = \overset{\frown}{BM}$（等弧加等弧），③正确；
ON为半径，AB为弦，无法确定$ON = AB$，④错误。
正确结论有①②③，共3个。
B

4. 在直径为 $200\ cm$ 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图。若油面的宽 $AB = 160\ cm$,则油的最大深度为 ______ $cm$。
-

40

解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，
则AC=BC=80 cm，OA=OD=100 cm。
在Rt△OAC中，$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60\ cm$。
当油在圆心下方时，油的最大深度为CD=OD-OC=100-60=40 cm；
当油在圆心上时，油的最大深度为OC+OD=160 cm（不合题意，舍去）。
故油的最大深度为40 cm。
40

5. $\odot O$ 的半径为 $5\ cm$,$AB$,$CD$ 是 $\odot O$ 的两条弦,$AB // CD$,$AB = 8\ cm$,$CD = 6\ cm$,则 $AB$ 和 $CD$ 之间的距离为 ______ 。

1 cm或7 cm

过点$O$作$OE \perp AB$于点$E$，交$CD$于点$F$。
因为$AB // CD$，所以$OF \perp CD$。
连接$OA$，$OC$。
在$Rt\triangle OAE$中，$OA = 5\ cm$，$AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4\ cm$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\ cm$。
在$Rt\triangle OCF$中，$OC = 5\ cm$，$CF=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{6}{2}=3\ cm$，由勾股定理得$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\ cm$。
当$AB$，$CD$在圆心$O$同侧时，$EF=OF - OE=4 - 3=1\ cm$；
当$AB$，$CD$在圆心$O$两侧时，$EF=OF + OE=4 + 3=7\ cm$。
$1\ cm$或$7\ cm$

6. 如图,这是某单位拟建大门的示意图,上部是一段直径为 $10\ m$ 的圆弧,下部是矩形 $ABCD$,其中 $AB = 3.7\ m$,$BC = 6\ m$,求 $\overset{\frown}{AD}$ 的中点到 $BC$ 的距离。
-

4.7 m

解：设圆弧所在圆的圆心为$O$，$\overset{\frown}{AD}$的中点为$M$。
因为圆弧直径为$10\space m$，所以半径$OA = OD = 5\space m$。
矩形$ABCD$中，$AD = BC = 6\space m$，过$O$作$OE \perp AD$于$E$，则$AE=\frac{AD}{2}=3\space m$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4\space m$。
圆心$O$到$BC$的距离为$AB + OE=3.7 + 4=7.7\space m$。
$M$为$\overset{\frown}{AD}$中点，$OM = 5\space m$且$OM$在$OE$延长线上，所以$M$到$BC$的距离为$7.7-5=2.7\space m$。
1

7. 如图,在 $\odot O$ 中,$AB$、$CD$ 为两条弦,且 $AB // CD$,直径 $MN$ 经过 $AB$ 的中点 $E$,交 $CD$ 于点 $F$。
(1) 求证：$F$ 是 $CD$ 的中点；
(2) 求证：$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$。
-

(1) 证明：连接 OA、OB、OC、OD。
∵ E 是 AB 中点，OA=OB，
∴ OE⊥AB（等腰三角形三线合一）。
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD（两平行线中一条垂直于一直线，另一条也垂直于该直线）。
∵ OC=OD，OF⊥CD，
∴ F 是 CD 中点（等腰三角形三线合一）。
(2) 证明：由(1)知 OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ ∠AOE=∠BOE，∠COF=∠DOF（等腰三角形三线合一）。
∵ AB//CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ 点 E、F 在直线 MN 上，∠AOE=∠COF（两直线平行，同位角相等）。
∴ ∠AOC=∠AOE+∠EOC=∠COF+∠EOC=∠EOF，
∠BOD=∠BOE+∠EOF=∠AOE+∠EOF=∠EOF，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∴ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。