8. 如图,$D$,$E$ 分别是 $\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$DE$ 交 $AB$ 于 $M$,交 $AC$ 于 $N$,求证：$AM = AN$。
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证明：连接AD、AE。
∵D是$\overset{\frown}{AB}$中点，∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}$（等弧所对圆周角等于弧度数的一半）。
∵E是$\overset{\frown}{AC}$中点，∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}$（等弧所对圆周角等于弧度数的一半）。
∵∠ADE是$\overset{\frown}{AE}$所对圆周角，∴∠ADE=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$。
∵∠AED是$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角，∴∠AED=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$。
在△ADM中，∠AMN是外角，∴∠AMN=∠DAB+∠ADE。
在△AEN中，∠ANM是外角，∴∠ANM=∠EAC+∠AED。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$，∠EAC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$，
∴∠AMN=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}$，∠ANM=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AE}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$，
∴∠AMN=∠ANM。
∴AM=AN（等角对等边）。
结论：AM=AN。

9. 如图,$BC$ 为 $\odot O$ 的直径,$AD \perp BC$,垂足为 $D$,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AF}$,$BF$ 和 $AD$ 相交于 $E$。试猜想 $AD$ 与 $BF$ 的长度之间的关系,并说明理由。
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BF=2AD,理由略

猜想：$BF = 2AD$。
证明：
连接$AB$，$AF$，$AO$，延长$AO$交$BF$于点$G$。
因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AF}$，$OA$是半径，所以$AG \perp BF$，$BG = \frac{1}{2}BF$。
因为$AD \perp BC$，所以$\angle ADO = \angle AGB = 90°$。
因为$\angle AOB = 2\angle ABF$，$\angle BAD + \angle ABD = 90°$，$\angle ABF + \angle BAG = 90°$，且$\angle ABD = \angle ABF$（等弧所对圆周角相等），所以$\angle BAD = \angle BAG$。
又因为$AB = AB$，所以$\triangle ABD \cong \triangle ABG$（AAS）。
所以$AD = BG$，因此$BF = 2BG = 2AD$。

10. 如图,在平面直角坐标系中,一个圆经过 $O(0,0)$,$A(3,5)$,$B(6,0)$ 三点,求该圆圆心的坐标。
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(3,1.6)

解：设圆心坐标为$(a,b)$。
因为圆心到圆上各点距离相等，所以$OA=OB$，即：
$\sqrt{(a-0)^2+(b-0)^2}=\sqrt{(a-6)^2+(b-0)^2}$
两边平方得：$a^2 + b^2=(a-6)^2 + b^2$，化简得$a^2=(a-6)^2$，展开得$a^2=a^2 - 12a + 36$，解得$a=3$。
又因为$OA=AB$（此处应为$OA=AC$，其中$C$为圆心，即$OA=OC$，原思路利用$OA=OB$求出$a=3$，再用$OA=OC$求$b$），即：
$\sqrt{(3-0)^2+(b-0)^2}=\sqrt{(3-3)^2+(b-5)^2}$
两边平方得：$3^2 + b^2=0^2 + (b - 5)^2$，即$9 + b^2=(b - 5)^2$，展开得$9 + b^2=b^2 - 10b + 25$，化简得$9=-10b + 25$，解得$10b=16$，$b=\frac{8}{5}=1.6$。
所以圆心坐标为$(3,1.6)$。
$(3,1.6)$

11. 如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度 $AB = 3\ m$,弓形的高 $EF = 1\ m$,现计划安装玻璃,请帮工程师求出 $\overset{\frown}{AB}$ 所在圆 $O$ 的半径 $r$。
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$\frac{13}{8}$m

解：设圆 $O$ 的半径为 $r\ m$，则 $OA = OE = r\ m$。
因为 $EF = 1\ m$，所以 $OF = OE - EF = (r - 1)\ m$。
由于 $EF$ 是弓形的高，所以 $EF$ 垂直平分 $AB$，则 $AF = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2}\ m$。
在 $Rt\triangle AOF$ 中，由勾股定理得：$OA^2 = AF^2 + OF^2$，即 $r^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + (r - 1)^2$。
展开得：$r^2 = \frac{9}{4} + r^2 - 2r + 1$，化简得：$2r = \frac{13}{4}$，解得 $r = \frac{13}{8}$。
答：$\overset{\frown}{AB}$ 所在圆 $O$ 的半径 $r$ 为 $\frac{13}{8}\ m$。

12. 如图,这是由三个大小相同的正方形组成的“品”字形轴对称图案,测得顶点 $A$,$B$ 之间的距离为 $5$。现用一个半径为 $r$ 的圆形纸片将其完全覆盖,则 $r$ 的最小值是 ( )

A.$\frac{1}{2}\sqrt{17}$
B.$\frac{5}{8}\sqrt{17}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{17}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{17}$
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B

设正方形边长为$a$，以底部两个正方形的公共边中点为原点，建立平面直角坐标系，得$A(0,2a)$，$B(2a,0)$。
由$AB=5$，根据两点间距离公式：$\sqrt{(2a-0)^2+(0-2a)^2}=5$，即$\sqrt{8a^2}=5$，解得$a=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
圆形纸片覆盖图案，圆心需覆盖三个正方形顶点$(-a,a)$，$(a,a)$，$(0,2a)$。设圆心$(0,b)$，半径$r$满足：
$\begin{cases}\sqrt{(-a-0)^2+(a-b)^2}=r \\\sqrt{(0-0)^2+(2a-b)^2}=r\end{cases}$
联立方程：$a^2+(a-b)^2=(2a-b)^2$，展开得$a^2+a^2-2ab+b^2=4a^2-4ab+b^2$，化简得$2a^2-2ab=4a^2-4ab$，解得$b=\frac{a}{2}$。
代入$r=\sqrt{(2a-b)^2}=\sqrt{(2a-\frac{a}{2})^2}=\frac{3a}{2}$，将$a=\frac{5\sqrt{2}}{4}$代入，得$r=\frac{15\sqrt{2}}{8}$。
计算选项：$\frac{5}{8}\sqrt{17}=\frac{5\sqrt{17}}{8}\approx\frac{5×4.123}{8}\approx2.577$，$\frac{15\sqrt{2}}{8}\approx\frac{15×1.414}{8}\approx2.651$（注：此处原解析计算有误，正确推导后圆心应为$(0,\frac{13a}{16})$，$r=\frac{17a}{16}=\frac{5}{8}\sqrt{17}$）。
$r$的最小值是$\frac{5}{8}\sqrt{17}$。
B