1. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,OE⊥AB 于 E,OF⊥CD 于 F。如果 AB = CD,那么下列判断中错误的是( )

A.$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$
B.∠AOB = ∠COD
C.OE = OF
D.∠AOC = ∠BOD

D

证明：
∵AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（A正确），∠AOB=∠COD（B正确）。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴AE=CF。
又OA=OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE=OF（C正确）。
∠AOC与∠BOD不一定相等（D错误）。
D

2. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且 BC = CD = DA,则∠BCD = ( )

A.$105^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

B

证明：连接OD，OC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵BC=CD=DA，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=$\frac{180°}{3}=60°$。
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°。
同理，∠OCD=60°。
∵AD=CD，OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD。
∵∠AOD=60°，
∴∠ODA=$\frac{180° - 60°}{2}=60°$。
∴∠ADC=∠ODA + ∠ODC=60° + 60°=120°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD=180°。
又
∵∠BAD=∠OAD=60°，
∴∠BCD=180° - 60°=120°。
答案：B

3. 如图,已知 AB,CD 是⊙O 的弦,且 AB = CD,如果∠BOD = $84^{\circ}$,则∠ACO 的度数是( )

A.$48^{\circ}$
B.$42^{\circ}$
C.$44^{\circ}$
D.$46^{\circ}$

A

证明：连接OA，OC。
∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD。
∵∠AOB+∠COD+∠BOD=360°，∠BOD=84°，
∴∠AOB=∠COD=(360°-84°)/2=138°。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA。
∵∠AOC=∠AOB-∠COB，∠COB=180°-∠COD=180°-138°=42°，
∴∠AOC=138°-42°=96°。
∴∠ACO=(180°-∠AOC)/2=(180°-96°)/2=42°。
答案：B

4. 如图,C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,CN⊥OB 于 N,CD⊥OA 于 M,CN = 4 cm,则 CD = ______ cm。

8

证明：连接OC。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\angle AOC = \angle BOC$。
∵CN⊥OB，CD⊥OA，
∴CM=CN=4cm（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵CD=2CM，
∴CD=8cm。
8

5. 如图,⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等,即 DE = FG = MN,若∠A = $50^{\circ}$,则∠BOC = ______。

$115°$

证明：过点$O$分别作$DE$、$FG$、$MN$的垂线，垂足分别为$P$、$Q$、$R$。
因为$DE = FG = MN$，根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，所以$OP = OQ = OR$。
所以点$O$是$\triangle ABC$的内角平分线的交点，即$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 50^{\circ}$，所以$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}-\angle A = 130^{\circ}$。
因为$BO$平分$\angle ABC$，$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
则$\angle OBC + \angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$。
$115^{\circ}$

6. 如图,在⊙O 中,∠AOB = ∠AOC,∠ABC = $70^{\circ}$,求∠BAC。

$40°$

证明：
∵∠AOB=∠AOC，
∴AB=AC（等圆心角对等弦），
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
40°

7. 如图,点 A,C,B,D 在⊙O 上,且 AB = CD,弦 AB,CD 相交于点 E,判断 AE 与 CE 的数量关系,并说明理由。

AE=CE。理由如下：
1. 因为AB=CD，且AB、CD是⊙O的弦，所以弧AB=弧CD（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等）。
2. 弧AB-弧BD=弧CD-弧BD，即弧AD=弧BC（等式性质）。
3. 因为弧AD=弧BC，所以∠ACD=∠CAB（同弧所对的圆周角相等）。
4. 在△ACE中，∠ACD=∠CAB，即∠ACE=∠CAE，故AE=CE（等角对等边）。
综上，AE=CE。