8. 如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心 $O$,另一边所在直线与半圆相交于点 $D$,$E$,量出半径 $OC = 5\ cm$,弦 $DE = 8\ cm$,求直尺的宽.

3 cm

解：过点 $O$ 作 $OH \perp DE$ 于点 $H$，则 $DH = EH = \frac{DE}{2} = 4\ cm$。
在 $Rt\triangle ODH$ 中，$OD = OC = 5\ cm$，由勾股定理得：
$OH = \sqrt{OD^2 - DH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ cm$
故直尺的宽为 $3\ cm$。

9. 如图 1,点 $P$ 表示我国古代水车的一个盛水筒. 如图 2,当水车工作时,盛水筒的运行路径是以轴心 $O$ 为圆心、$5\ m$ 为半径的圆. 若 $\odot O$ 被水面截得的弦 $AB$ 的长为 $8\ m$,求水车工作时,盛水筒在水面以下的最大深度.

2 m

解：过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，延长$OC$交$\odot O$于点$D$，连接$OA$。
$\because OC \perp AB$，$AB = 8\ m$，
$\therefore AC = \dfrac{1}{2}AB = 4\ m$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA = 5\ m$，
由勾股定理得：$OC = \sqrt{OA^{2}-AC^{2}} = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3\ m$。
$\because OD = OA = 5\ m$，
$\therefore CD = OD - OC = 5 - 3 = 2\ m$。
答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为$2\ m$。

10. 如图,在 $\odot O$ 内有折线 $OABC$,其中 $OA = 8$,$AB = 12$,$\angle A = \angle B = 60°$,求 $BC$ 的长.

20

解：延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$，过点 $O$ 作 $OE \perp BC$ 于点 $E$。
在 $\triangle ABD$ 中，$\angle A = 60°$，设 $AD = x$，则 $BD = x$，$AB = 12$。由余弦定理得：$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos 60°$，即 $12^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2}$，解得 $x = 12$，故 $AD = BD = 12$。
因为 $OA = 8$，所以 $OD = AD - OA = 12 - 8 = 4$。
在 $\triangle ODE$ 中，$\angle ODE = 60°$（由 $\angle B = 60°$ 及 $BD = AD$ 可得 $\triangle ABD$ 为等边三角形，故 $\angle ADB = 60°$），$OD = 4$，则 $DE = OD \cdot \cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$，$OE = OD \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
设 $BE = y$，在 $\triangle OEB$ 中，$OB^2 = OE^2 + BE^2$；在 $\triangle OEC$ 中，$OC^2 = OE^2 + CE^2$，且 $OB = OC$（均为半径），故 $BE = CE$。因为 $BD = 12$，$DE = 2$，所以 $BE = BD - DE = 12 - 2 = 10$，则 $BC = 2BE = 20$。
20

11. 小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图 1,在 $\odot O$ 中,$OM \perp$ 弦 $AB$ 于点 $M$,$ON \perp$ 弦 $CD$ 于点 $N$,若 $OM = ON$,则 $AB = CD$.
(1) 请帮小雅证明这个结论；
(2) 运用以上结论解决问题：如图 2,在 $Rt \triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90°$,$O$ 为 $\triangle ABC$ 三条角平分线的交点,以 $O$ 为圆心、$OB$ 为半径的 $\odot O$ 与 $\triangle ABC$ 三边分别相交于点 $D$,$E$,$F$,$G$. 若 $AD = 9$,$CF = 2$,求 $\triangle ABC$ 的周长.

(1)略;
(2)40