1. 如图,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,弦 $CD \perp AB$ 于 $E$,已知 $CD = 12$,$BE = 2$,则 $\odot O$ 的直径为( )

A.$8$
B.$10$
C.$16$
D.$20$

D

解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OE = r - BE = r - 2$。
因为$AB$为直径且$CD \perp AB$，所以$CE=\frac{1}{2}CD = 6$。
在$Rt\triangle OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2 + CE^2$，
即$r^2=(r - 2)^2 + 6^2$，解得$r = 10$。
故直径$AB = 2r = 20$。
答案：D

2. 如图,已知 $\odot O$ 的半径为 $5$,弦 $AB$ 的长为 $8$,点 $P$ 为弦 $AB$ 上一动点,连接 $OP$,则线段 $OP$ 的最小长度是______.

3

解：过点$O$作$OC \perp AB$于点$C$，此时$OP$最小，$OP = OC$。
$\because OC \perp AB$，$AB = 8$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB = 4$。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA = 5$，$AC = 4$，
由勾股定理得：$OC = \sqrt{OA^{2}-AC^{2}} = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
$\therefore OP$的最小长度是$3$。
3

3. 如图,图 1 是圆形干果盘,其示意图如图 2 所示. 四条隔板 $AB$,$CD$,$EF$,$GH$ 的长度相等,横纵隔板互相垂直并交于隔板的三等分点,测得 $AB = 30\ cm$,则该干果盘的半径为______$cm$.

$5\sqrt{10}$

以隔板交点为原点，建立平面直角坐标系，设圆心坐标为$(x,y)$。
因为$AB = 30\ cm$，且交于三等分点，所以$A(-15,0)$，$B(15,0)$，$C(0,-15)$，$D(0,15)$，$E(-5,10)$，$F(-5,-10)$，$G(5,10)$，$H(5,-10)$。
由圆心到$A$、$E$距离相等，可得：
$\sqrt{(x + 15)^2 + y^2} = \sqrt{(x + 5)^2 + (y - 10)^2}$
平方化简得：$x - y + 5 = 0$。
同理，圆心到$A$、$C$距离相等，可得：
$\sqrt{(x + 15)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 15)^2}$
平方化简得：$x = y$。
联立解得$x = y = -5$。
半径$r = \sqrt{(-5 + 15)^2 + (-5)^2} = 5\sqrt{10}\ cm$。
$5\sqrt{10}$

4. 如图,$MN$ 为 $\odot O$ 的直径,$A$、$B$ 是 $\odot O$ 上两点,过 $A$ 作 $AC \perp MN$ 于点 $C$,过 $B$ 作 $BD \perp MN$ 于点 $D$,$P$ 为 $DC$ 上任意一点,若 $MN = 20$,$AC = 8$,$BD = 6$,则 $PA + PB$ 的最小值是______.

$14\sqrt{2}$

5. 如图,在以点 $O$ 为圆心的两个圆中,大圆的弦 $AB$ 交小圆于点 $C$,$D$,求证：$AC = BD$.

过 $O$ 作 $OM \perp AB$，垂足为 $M$。
由垂径定理，得 $AM = BM$，$CM = DM$。
$AM - CM = BM - DM$。
所以 $AC = BD$。

6. 如图,已知 $\odot O$ 的直径 $AB$ 垂直于弦 $CD$ 于点 $E$,连接 $CO$ 并延长交 $AD$ 于点 $F$,且 $CF \perp AD$.
(1) 请证明：$E$ 是 $OB$ 的中点；
(2) 若 $AB = 8$,求 $CD$ 的长.

(1)略;
(2)$4\sqrt{3}$

7. 如图,$\odot O$ 的直径 $AB$ 与弦 $CD$ 相交于点 $E$,$AE = 5$,$BE = 1$,$\angle AED = 30°$.
(1) 求 $OE$ 和 $OA$ 的长；
(2) 求 $CD$ 的长.

(1)$OE=2,OA=3$;
(2)$4\sqrt{2}$