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7. (★★)如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=60°,对角线DB平分∠ADC.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)过点B作BE//CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求△BDE的面积.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)过点B作BE//CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求△BDE的面积.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ABC = 60°$，
∴ $∠ ADC = 120°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB = 60°$，
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ACB = ∠ ADB = 60°$，$∠ BAC = ∠ CDB = 60°$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
---
(2) 解：
∵ $BE// CD$，
∴ $∠ E + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ADC = 120°$，
∴ $∠ E = 60°$，
又∵ $∠ ADB = 60°$，
∴ $△ BDE$是等边三角形。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ 圆内接四边形的外角等于内对角，即$∠ EAB = ∠ BCD$。
在$△ EAB$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ BEA = ∠ BDC = 60° \\∠ EAB = ∠ DCB \\AB = CB\end{cases}$
∴ $△ EAB ≌ △ DCB$（AAS），
∴ $EA = DC = 3$，
∴ $DE = EA + AD = 3 + 2 = 5$，
∴ 等边$△ BDE$的面积为：
$S_{△ BDE} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
答：$△ BDE$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ABC = 60°$，
∴ $∠ ADC = 120°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB = 60°$，
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ACB = ∠ ADB = 60°$，$∠ BAC = ∠ CDB = 60°$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
---
(2) 解：
∵ $BE// CD$，
∴ $∠ E + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ADC = 120°$，
∴ $∠ E = 60°$，
又∵ $∠ ADB = 60°$，
∴ $△ BDE$是等边三角形。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ 圆内接四边形的外角等于内对角，即$∠ EAB = ∠ BCD$。
在$△ EAB$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ BEA = ∠ BDC = 60° \\∠ EAB = ∠ DCB \\AB = CB\end{cases}$
∴ $△ EAB ≌ △ DCB$（AAS），
∴ $EA = DC = 3$，
∴ $DE = EA + AD = 3 + 2 = 5$，
∴ 等边$△ BDE$的面积为：
$S_{△ BDE} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
答：$△ BDE$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC是等边三角形，已知∠ABC=60°，只需证明其余两个内角也为60°即可。首先利用圆内接四边形对角互补求出∠ADC的度数，再结合角平分线的性质得到∠ADB、∠CDB的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出△ABC三个内角均为60°，完成证明。
(2) 要求△BDE的面积，先根据平行线的性质结合∠ADC的度数推出∠E=60°，结合∠EDB=60°可判定△BDE是等边三角形，只需求出等边三角形的边长即可。通过证明△EAB和△DCB全等，将EA转化为DC的长度，即可得到DE=EA+AD，最后代入等边三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ABC = 60°$，
∴ $∠ ADC = 120°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB = 60°$，
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ACB = ∠ ADB = 60°$，$∠ BAC = ∠ CDB = 60°$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
(2) 解：
∵ $BE// CD$，
∴ $∠ E + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ADC = 120°$，
∴ $∠ E = 60°$，
又
∵ $∠ ADB = 60°$，
∴ $△ BDE$是等边三角形。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ EAB = ∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于内对角）。
在$△ EAB$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ BEA = ∠ BDC = 60° \\∠ EAB = ∠ DCB \\AB = CB\end{cases}$
∴ $△ EAB ≌ △ DCB$（AAS），
∴ $EA = DC = 3$，
∴ $DE = EA + AD = 3 + 2 = 5$，
∴ 等边$△ BDE$的面积为：
$S_{△ BDE} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) △ABC是等边三角形，得证；
(2) $\frac{25\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，第一问侧重考查圆相关性质的直接应用，难度较低；第二问需要结合平行线、全等三角形的知识完成边长转化，考查知识的综合运用能力，解题的关键是判定△BDE为等边三角形并求出其边长。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABC是等边三角形，已知∠ABC=60°，只需证明其余两个内角也为60°即可。首先利用圆内接四边形对角互补求出∠ADC的度数，再结合角平分线的性质得到∠ADB、∠CDB的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出△ABC三个内角均为60°，完成证明。
(2) 要求△BDE的面积，先根据平行线的性质结合∠ADC的度数推出∠E=60°，结合∠EDB=60°可判定△BDE是等边三角形，只需求出等边三角形的边长即可。通过证明△EAB和△DCB全等，将EA转化为DC的长度，即可得到DE=EA+AD，最后代入等边三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ABC = 60°$，
∴ $∠ ADC = 120°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB = 60°$，
由同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ACB = ∠ ADB = 60°$，$∠ BAC = ∠ CDB = 60°$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
(2) 解：
∵ $BE// CD$，
∴ $∠ E + ∠ ADC = 180°$，
∵ $∠ ADC = 120°$，
∴ $∠ E = 60°$，
又
∵ $∠ ADB = 60°$，
∴ $△ BDE$是等边三角形。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ EAB = ∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于内对角）。
在$△ EAB$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ BEA = ∠ BDC = 60° \\∠ EAB = ∠ DCB \\AB = CB\end{cases}$
∴ $△ EAB ≌ △ DCB$（AAS），
∴ $EA = DC = 3$，
∴ $DE = EA + AD = 3 + 2 = 5$，
∴ 等边$△ BDE$的面积为：
$S_{△ BDE} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) △ABC是等边三角形，得证；
(2) $\frac{25\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，第一问侧重考查圆相关性质的直接应用，难度较低；第二问需要结合平行线、全等三角形的知识完成边长转化，考查知识的综合运用能力，解题的关键是判定△BDE为等边三角形并求出其边长。
【难度系数】
0.6
8. (★★)如图,已知圆内接四边形ABCD中,AD是⊙O的直径,AB=BC=CD=2,E在AD的右侧且为$\overset{\frown}{AD}$的中点,则五边形ABCDE的面积是.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{3}+4}$
解析
【分析】
解题时运用转化思想，将不规则五边形的面积拆分为多个规则三角形的面积之和计算。首先根据AD是直径、AB=BC=CD，可得三段弧$\overset{\frown}{AB}、\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{CD}$相等，对应圆心角均为60°，因此△AOB、△BOC、△COD都是边长为2的等边三角形；再由E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，可得$\overset{\frown}{AE}、\overset{\frown}{DE}$相等，对应圆心角均为90°，因此△AOE、△DOE都是腰长等于半径的等腰直角三角形，分别计算五个三角形的面积再求和即可。
【解析】
连接OB、OC、OE。
∵AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，半圆$\overset{\frown}{AD}$的度数为180°，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
又
∵OA=OB=OC=OD都是圆的半径，
∴△AOB、△BOC、△COD都是边长为2的等边三角形，可得⊙O的半径$r=OA=AB=2$。
∵E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ AOE=∠ DOE=\frac{180°}{2}=90°$，
∴△AOE、△DOE都是直角边为2的等腰直角三角形。
计算各部分面积：
单个等边三角形面积：$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，3个等边三角形总面积为$3S_1=3\sqrt{3}$；
单个等腰直角三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$，2个等腰直角三角形总面积为$2S_2=4$。
因此五边形ABCDE的面积$S=3\sqrt{3}+4$。
【答案】
$3\sqrt{3}+4$
【知识点】
圆心角与弧的关系，等边三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题结合圆的性质考查不规则图形的面积计算，核心是通过添加辅助线将复杂图形拆分为规则图形，利用圆中弧、圆心角、弦的对应关系确定各规则图形的边长，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时运用转化思想，将不规则五边形的面积拆分为多个规则三角形的面积之和计算。首先根据AD是直径、AB=BC=CD，可得三段弧$\overset{\frown}{AB}、\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{CD}$相等，对应圆心角均为60°，因此△AOB、△BOC、△COD都是边长为2的等边三角形；再由E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，可得$\overset{\frown}{AE}、\overset{\frown}{DE}$相等，对应圆心角均为90°，因此△AOE、△DOE都是腰长等于半径的等腰直角三角形，分别计算五个三角形的面积再求和即可。
【解析】
连接OB、OC、OE。
∵AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，半圆$\overset{\frown}{AD}$的度数为180°，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
又
∵OA=OB=OC=OD都是圆的半径，
∴△AOB、△BOC、△COD都是边长为2的等边三角形，可得⊙O的半径$r=OA=AB=2$。
∵E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ AOE=∠ DOE=\frac{180°}{2}=90°$，
∴△AOE、△DOE都是直角边为2的等腰直角三角形。
计算各部分面积：
单个等边三角形面积：$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，3个等边三角形总面积为$3S_1=3\sqrt{3}$；
单个等腰直角三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$，2个等腰直角三角形总面积为$2S_2=4$。
因此五边形ABCDE的面积$S=3\sqrt{3}+4$。
【答案】
$3\sqrt{3}+4$
【知识点】
圆心角与弧的关系，等边三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题结合圆的性质考查不规则图形的面积计算，核心是通过添加辅助线将复杂图形拆分为规则图形，利用圆中弧、圆心角、弦的对应关系确定各规则图形的边长，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
9. (★★)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD$的度数为
【 】
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
【 】
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠ACB的度数求出∠BAC的度数；第二步，利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC与∠BAC相等；第三步，根据直径所对的圆周角是直角，可知△BCD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
由三角形内角和为180°得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-40°=50°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础考题，核心考查圆周角相关的常用结论，只要熟练掌握等腰三角形、直角三角形的基本性质以及圆周角定理，就能顺利求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠ACB的度数求出∠BAC的度数；第二步，利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC与∠BAC相等；第三步，根据直径所对的圆周角是直角，可知△BCD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
由三角形内角和为180°得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-40°=50°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础考题，核心考查圆周角相关的常用结论，只要熟练掌握等腰三角形、直角三角形的基本性质以及圆周角定理，就能顺利求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图,已知圆心角∠AOB = 125°,则圆周角∠ACB 的度数为 ,∠ADB 的度数为 .
答案
$62.5°$；$117.5°$
解析
【分析】
解题时先明确圆周角和圆心角的对应关系：①求∠ACB时，它是劣弧AB所对的圆周角，对应的圆心角为已知的∠AOB，直接用圆周角定理即可求解；②求∠ADB时，它是优弧AB所对的圆周角，既可以先求优弧AB对应的圆心角，再用圆周角定理计算，也可以利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已求出的∠ACB计算。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
1. 求∠ACB的度数：
∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，已知∠AOB=125°，因此：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×125°=62.5°$
2. 求∠ADB的度数：
四边形ACBD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ ACB+∠ ADB=180°$，因此：
$∠ ADB=180°-∠ ACB=180°-62.5°=117.5°$
【答案】
$62.5°$；$117.5°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是准确识别角所对应的弧，区分劣弧和优弧对应的圆周角关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确圆周角和圆心角的对应关系：①求∠ACB时，它是劣弧AB所对的圆周角，对应的圆心角为已知的∠AOB，直接用圆周角定理即可求解；②求∠ADB时，它是优弧AB所对的圆周角，既可以先求优弧AB对应的圆心角，再用圆周角定理计算，也可以利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已求出的∠ACB计算。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
1. 求∠ACB的度数：
∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，已知∠AOB=125°，因此：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×125°=62.5°$
2. 求∠ADB的度数：
四边形ACBD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ ACB+∠ ADB=180°$，因此：
$∠ ADB=180°-∠ ACB=180°-62.5°=117.5°$
【答案】
$62.5°$；$117.5°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是准确识别角所对应的弧，区分劣弧和优弧对应的圆周角关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.(★★)(2025·陕西)如图,点A,B,C,D在⊙O上,若∠1+∠2=100°,则∠B的度数为。
(第11题)
(第11题)答案
$\boldsymbol{80°}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠1+∠2=100°入手，这两个角都是△ACD的内角，首先可以利用三角形内角和定理求出△ACD中第三个角∠ADC的度数；再观察图形，∠ADC和要求的∠B是同一段弧AC所对的圆周角，结合圆周角定理就能得到∠B的度数。
【解析】
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADC = 180° - (∠ 1 + ∠ 2)$
已知$∠ 1+∠ 2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
因为$∠ ADC$和$∠ B$都是$\odot O$中弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，因此：
$∠ B = ∠ ADC = 80°$
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是找到同弧对应的相等圆周角，再结合三角形内角和完成角度推导，熟练掌握圆周角定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件∠1+∠2=100°入手，这两个角都是△ACD的内角，首先可以利用三角形内角和定理求出△ACD中第三个角∠ADC的度数；再观察图形，∠ADC和要求的∠B是同一段弧AC所对的圆周角，结合圆周角定理就能得到∠B的度数。
【解析】
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADC = 180° - (∠ 1 + ∠ 2)$
已知$∠ 1+∠ 2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
因为$∠ ADC$和$∠ B$都是$\odot O$中弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，因此：
$∠ B = ∠ ADC = 80°$
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是找到同弧对应的相等圆周角，再结合三角形内角和完成角度推导，熟练掌握圆周角定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
