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12. (★★)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,∠ADC＜∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.
(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数;
(2)求证:EF//BC.
(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数;
(2)求证:EF//BC.
答案
(1) 解：
∵ ∠AFE = ∠ADC，∠AFE = 60°，
∴ ∠ADC = 60°。
∵ CD为圆的直径，点A在圆上，
∴ ∠DAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ADC中，∠ACD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又∵ ∠AFE = ∠ADC，
∴ ∠AFE + ∠ABC = 180°。
∴ EF // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
综上，(1) ∠ABD的度数为$\boldsymbol{30°}$；(2) EF//BC得证。
∵ ∠AFE = ∠ADC，∠AFE = 60°，
∴ ∠ADC = 60°。
∵ CD为圆的直径，点A在圆上，
∴ ∠DAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ADC中，∠ACD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又∵ ∠AFE = ∠ADC，
∴ ∠AFE + ∠ABC = 180°。
∴ EF // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
综上，(1) ∠ABD的度数为$\boldsymbol{30°}$；(2) EF//BC得证。
解析
【分析】
(1) 求解∠ABD的度数可按以下思路推导：首先利用已知条件∠AFE=∠ADC，先求出∠ADC的度数；再结合CD是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠DAC=90°，在Rt△ADC中即可计算出∠ACD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，二者相等，即可得到∠ABD的数值。
(2) 证明EF//BC可从平行线的判定入手：要证两直线平行，可证明二者被第三条直线所截形成的同旁内角互补。首先根据圆内接四边形的对角互补，得到∠ADC+∠ABC=180°，再结合已知∠AFE=∠ADC，进行等量替换后可得∠AFE+∠ABC=180°，这两个角是EF、BC被直线FB截得的同旁内角，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AFE = ∠ADC，∠AFE = 60°，
∴ ∠ADC = 60°。
∵ CD为圆的直径，点A在圆上，
∴ ∠DAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ADC中，∠ACD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵ ∠AFE = ∠ADC，
∴ ∠AFE + ∠ABC = 180°。
∴ EF // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) EF//BC，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆的相关性质，通过角的等量转化建立已知条件和待求结论之间的联系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠ABD的度数可按以下思路推导：首先利用已知条件∠AFE=∠ADC，先求出∠ADC的度数；再结合CD是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠DAC=90°，在Rt△ADC中即可计算出∠ACD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ABD与∠ACD均为弧AD所对的圆周角，二者相等，即可得到∠ABD的数值。
(2) 证明EF//BC可从平行线的判定入手：要证两直线平行，可证明二者被第三条直线所截形成的同旁内角互补。首先根据圆内接四边形的对角互补，得到∠ADC+∠ABC=180°，再结合已知∠AFE=∠ADC，进行等量替换后可得∠AFE+∠ABC=180°，这两个角是EF、BC被直线FB截得的同旁内角，即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AFE = ∠ADC，∠AFE = 60°，
∴ ∠ADC = 60°。
∵ CD为圆的直径，点A在圆上，
∴ ∠DAC = 90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ADC中，∠ACD = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵ ∠AFE = ∠ADC，
∴ ∠AFE + ∠ABC = 180°。
∴ EF // BC（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) EF//BC，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆的相关性质，通过角的等量转化建立已知条件和待求结论之间的联系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图，$\odot O$的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)若$∠ E=∠ F=42°$,求$∠ A$的度数；
(2)若$∠ E=α,∠ F=β$且$α≠β$,请用含有$α,β$的代数式表示$∠ A$.
(1)若$∠ E=∠ F=42°$,求$∠ A$的度数；
(2)若$∠ E=α,∠ F=β$且$α≠β$,请用含有$α,β$的代数式表示$∠ A$.
答案
解：(1) ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
又∵ 在△ABE中，∠ABC = ∠A + ∠E，
在△ADF中，∠ADC = ∠A + ∠F，
∴ ∠A + ∠E + ∠A + ∠F = 180°，
即 $2∠A + ∠E + ∠F = 180°$。
将∠E=∠F=42°代入得：
$2∠A + 42° + 42° = 180°$，
解得∠A = 48°。
(2) 由(1)的推导可得 $2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
将∠E=α，∠F=β代入得：
$2∠A + α + β = 180°$，
∴ $∠A = 90° - \frac{α+β}{2}$。
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
又∵ 在△ABE中，∠ABC = ∠A + ∠E，
在△ADF中，∠ADC = ∠A + ∠F，
∴ ∠A + ∠E + ∠A + ∠F = 180°，
即 $2∠A + ∠E + ∠F = 180°$。
将∠E=∠F=42°代入得：
$2∠A + 42° + 42° = 180°$，
解得∠A = 48°。
(2) 由(1)的推导可得 $2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
将∠E=α，∠F=β代入得：
$2∠A + α + β = 180°$，
∴ $∠A = 90° - \frac{α+β}{2}$。
解析
【分析】
本题考查圆内接四边形与三角形外角性质的综合应用，解题思路如下：1. 首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠ABC+∠ADC=180°；2. 观察图形可得∠ABC是△ABE的外角，∠ADC是△ADF的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可将∠ABC、∠ADC分别用∠A、∠E和∠A、∠F表示；3. 将上述两个表达式代入对角互补的等式中，即可得到∠A与∠E、∠F的数量关系，代入已知数值或字母即可求解。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
∵ ∠ABC是△ABE的外角，
∴ ∠ABC = ∠A + ∠E，
同理，∠ADC是△ADF的外角，
∴ ∠ADC = ∠A + ∠F，
将上述两式代入∠ABC + ∠ADC = 180°，得：
∠A + ∠E + ∠A + ∠F = 180°，即$2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
把∠E=∠F=42°代入得：$2∠A + 42° + 42° = 180°$，
解得：∠A = 48°。
(2) 由(1)的推导可得关系式：$2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
将∠E=α，∠F=β代入得：$2∠A + α + β = 180°$，
整理得：$∠A = 90° - \frac{α+β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48°}$；(2) $\boldsymbol{∠A=90°-\frac{α+β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形外角定理；角度运算
【点评】
本题是圆相关角度计算的常见基础题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补和三角形外角的性质，通过建立角之间的等量关系列等式求解，有助于提升学生对几何图形中角的转化能力。
【难度系数】
0.7
本题考查圆内接四边形与三角形外角性质的综合应用，解题思路如下：1. 首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即∠ABC+∠ADC=180°；2. 观察图形可得∠ABC是△ABE的外角，∠ADC是△ADF的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可将∠ABC、∠ADC分别用∠A、∠E和∠A、∠F表示；3. 将上述两个表达式代入对角互补的等式中，即可得到∠A与∠E、∠F的数量关系，代入已知数值或字母即可求解。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
∵ ∠ABC是△ABE的外角，
∴ ∠ABC = ∠A + ∠E，
同理，∠ADC是△ADF的外角，
∴ ∠ADC = ∠A + ∠F，
将上述两式代入∠ABC + ∠ADC = 180°，得：
∠A + ∠E + ∠A + ∠F = 180°，即$2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
把∠E=∠F=42°代入得：$2∠A + 42° + 42° = 180°$，
解得：∠A = 48°。
(2) 由(1)的推导可得关系式：$2∠A + ∠E + ∠F = 180°$，
将∠E=α，∠F=β代入得：$2∠A + α + β = 180°$，
整理得：$∠A = 90° - \frac{α+β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48°}$；(2) $\boldsymbol{∠A=90°-\frac{α+β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形外角定理；角度运算
【点评】
本题是圆相关角度计算的常见基础题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补和三角形外角的性质，通过建立角之间的等量关系列等式求解，有助于提升学生对几何图形中角的转化能力。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)求∠BAD的度数;
(3)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆的半径长.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)求∠BAD的度数;
(3)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆的半径长.
答案
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
又∵ $∠ BAC = ∠ CDB$（同弧$BC$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
即$DB$平分$∠ ADC$。
---
(2) 解：
∵ $BD$平分$∠ ABC$，∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
由(1)知$DB$平分$∠ ADC$，∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 2∠ ABD + 2∠ ADB$。
∵ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∴ $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，即$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$。
在$△ ABD$中，
$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
---
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ $BD$是此圆的直径（$90°$的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCD \\∠ ADB = ∠ CDB \\BD = BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AD = CD$。
又∵ $AC = AD$，
∴ $AD = CD = AC$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ ADC = 60°$，$∠ ADB = ∠ CDB = 30°$。
∵ $CF // AD$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，得$∠ F = 90°$。
∵ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB = 90° - 60° = 30°$，
∴ $BC = 2BF$，代入$BF=2$得$BC=4$，
∴ $AB = BC = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 30°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为$\frac{1}{2}BD = 4$。
答：此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
又∵ $∠ BAC = ∠ CDB$（同弧$BC$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
即$DB$平分$∠ ADC$。
---
(2) 解：
∵ $BD$平分$∠ ABC$，∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
由(1)知$DB$平分$∠ ADC$，∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 2∠ ABD + 2∠ ADB$。
∵ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∴ $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，即$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$。
在$△ ABD$中，
$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
---
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ $BD$是此圆的直径（$90°$的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCD \\∠ ADB = ∠ CDB \\BD = BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AD = CD$。
又∵ $AC = AD$，
∴ $AD = CD = AC$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ ADC = 60°$，$∠ ADB = ∠ CDB = 30°$。
∵ $CF // AD$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，得$∠ F = 90°$。
∵ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB = 90° - 60° = 30°$，
∴ $BC = 2BF$，代入$BF=2$得$BC=4$，
∴ $AB = BC = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 30°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为$\frac{1}{2}BD = 4$。
答：此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证明∠ADB=∠CDB。已知∠BAC=∠ADB，结合同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CDB，等量代换即可得证；
(2) 求∠BAD度数时，先利用角平分线性质将∠ABC、∠ADC转化为两倍的小角，再结合圆内接四边形对角互补的性质，得到∠ABD与∠ADB的和，最后用三角形内角和定理计算即可；
(3) 首先由∠BAD=90°推出BD是圆的直径，先证△ABD≌△CBD得AD=CD，结合AC=AD判定△ACD是等边三角形，得到相关角度；再利用平行线性质得到Rt△BFC，结合含30°角的直角三角形性质求出BC长，进而得到AB长，最后在Rt△ABD中利用30°角的性质求出直径BD，即可得到圆的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ CDB$（同弧$BC$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
即$DB$平分$∠ ADC$。
(2) 解：
∵ $BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
由(1)知$DB$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 2∠ ABD + 2∠ ADB$。
∵ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∴ $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，即$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$。
在$△ ABD$中，
$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ $BD$是此圆的直径（$90°$的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCD \\∠ ADB = ∠ CDB \\BD = BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AD = CD$。
又
∵ $AC = AD$，
∴ $AD = CD = AC$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ ADC = 60°$，$∠ ADB = ∠ CDB = 30°$。
∵ $CF // AD$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，得$∠ F = 90°$。
∵ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB = 90° - 60° = 30°$，
∴ $BC = 2BF$，代入$BF=2$得$BC=4$，
由全等可知$AB = BC = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 30°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为$\frac{1}{2}BD = 4$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=90°}$；
(3) 此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆的综合题，融合了圆的相关性质、三角形全等、特殊直角三角形性质等多个考点，解题的核心是逐步推导角度关系，识别特殊三角形，结合已知线段长度完成计算，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证DB平分∠ADC，只需证明∠ADB=∠CDB。已知∠BAC=∠ADB，结合同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠CDB，等量代换即可得证；
(2) 求∠BAD度数时，先利用角平分线性质将∠ABC、∠ADC转化为两倍的小角，再结合圆内接四边形对角互补的性质，得到∠ABD与∠ADB的和，最后用三角形内角和定理计算即可；
(3) 首先由∠BAD=90°推出BD是圆的直径，先证△ABD≌△CBD得AD=CD，结合AC=AD判定△ACD是等边三角形，得到相关角度；再利用平行线性质得到Rt△BFC，结合含30°角的直角三角形性质求出BC长，进而得到AB长，最后在Rt△ABD中利用30°角的性质求出直径BD，即可得到圆的半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ CDB$（同弧$BC$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
即$DB$平分$∠ ADC$。
(2) 解：
∵ $BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，
由(1)知$DB$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADB = ∠ CDB$，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 2∠ ABD + 2∠ ADB$。
∵ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
∴ $∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
∴ $2∠ ABD + 2∠ ADB = 180°$，即$∠ ABD + ∠ ADB = 90°$。
在$△ ABD$中，
$∠ BAD = 180° - (∠ ABD + ∠ ADB) = 90°$。
(3) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，
∴ $BD$是此圆的直径（$90°$的圆周角所对的弦是直径），
∴ $∠ BCD = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCD \\∠ ADB = ∠ CDB \\BD = BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBD$（AAS），
∴ $AD = CD$。
又
∵ $AC = AD$，
∴ $AD = CD = AC$，即$△ ACD$是等边三角形，
∴ $∠ ADC = 60°$，$∠ ADB = ∠ CDB = 30°$。
∵ $CF // AD$，
∴ $∠ F + ∠ BAD = 180°$，得$∠ F = 90°$。
∵ $∠ ABD = 90° - ∠ ADB = 60°$，
∴ $∠ ABC = 2∠ ABD = 120°$，
∴ $∠ FBC = 180° - ∠ ABC = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB = 90° - 60° = 30°$，
∴ $BC = 2BF$，代入$BF=2$得$BC=4$，
由全等可知$AB = BC = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 30°$，
∴ $BD = 2AB = 8$，
∴ 此圆的半径长为$\frac{1}{2}BD = 4$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠BAD=90°}$；
(3) 此圆的半径长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆的综合题，融合了圆的相关性质、三角形全等、特殊直角三角形性质等多个考点，解题的核心是逐步推导角度关系，识别特殊三角形，结合已知线段长度完成计算，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
