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1. (★)(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆的多边形,这个圆叫作这个多边形的.
(2)圆内接四边形的对角.
(2)圆内接四边形的对角.
答案
解：
(1) 内接；外接圆
(2) 互补
(1) 内接；外接圆
(2) 互补
解析
【分析】
本题考查圆与多边形相关的基础概念与性质，解题思路为直接对应课本识记内容作答：①第(1)问回忆圆内接多边形、外接圆的定义，匹配题干描述即可；②第(2)问回忆圆内接四边形的对角性质，直接填写即可。
【解析】
(1)根据圆内接多边形的定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，因此依次填写对应概念即可；
(2)根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此填写对应性质即可。
【答案】
(1)内接；外接圆 (2)互补
【知识点】
圆内接多边形的概念；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对课本基础定义、性质的记忆掌握，属于基础送分题，熟练掌握教材基础内容即可快速答对。
【难度系数】
0.9
本题考查圆与多边形相关的基础概念与性质，解题思路为直接对应课本识记内容作答：①第(1)问回忆圆内接多边形、外接圆的定义，匹配题干描述即可；②第(2)问回忆圆内接四边形的对角性质，直接填写即可。
【解析】
(1)根据圆内接多边形的定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，因此依次填写对应概念即可；
(2)根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此填写对应性质即可。
【答案】
(1)内接；外接圆 (2)互补
【知识点】
圆内接多边形的概念；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对课本基础定义、性质的记忆掌握，属于基础送分题，熟练掌握教材基础内容即可快速答对。
【难度系数】
0.9
2. (★)如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$AB=CD$,则图中和$∠ 1$相等的角(不包含$∠ 1$)有个.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：同圆中相等的弦所对的劣弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等。首先确定∠1所对的弧，先找到和∠1同弧的圆周角，再根据AB=CD得到相等的弧，找到等弧对应的其余圆周角，即可统计出和∠1相等的角的个数。
【解析】
在$\odot O$中，
∵ $AB=CD$，
∴ 劣弧$AB$=劣弧$CD$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∠1是劣弧$CD$所对的圆周角：
① 同弧$CD$所对的圆周角还有$∠ CAD$（即$∠ 6$），故$∠ 1=∠ 6$；
② 因为劣弧$AB$=劣弧$CD$，所以劣弧$AB$所对的圆周角都等于劣弧$CD$所对的圆周角，劣弧$AB$所对的圆周角有$∠ ACB$（即$∠ 2$）、$∠ ADB$（即$∠ 5$），故$∠ 1=∠ 2$，$∠ 1=∠ 5$。
综上，不包含$∠ 1$时，和$∠ 1$相等的角共有3个。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆周角定理；同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题是基础的圆性质应用题，解题核心是利用“等弦对等弧、等弧对等圆周角”的性质逐一枚举相等的角，做题时要注意不要漏记同弧、等弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆的相关性质：同圆中相等的弦所对的劣弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等。首先确定∠1所对的弧，先找到和∠1同弧的圆周角，再根据AB=CD得到相等的弧，找到等弧对应的其余圆周角，即可统计出和∠1相等的角的个数。
【解析】
在$\odot O$中，
∵ $AB=CD$，
∴ 劣弧$AB$=劣弧$CD$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∠1是劣弧$CD$所对的圆周角：
① 同弧$CD$所对的圆周角还有$∠ CAD$（即$∠ 6$），故$∠ 1=∠ 6$；
② 因为劣弧$AB$=劣弧$CD$，所以劣弧$AB$所对的圆周角都等于劣弧$CD$所对的圆周角，劣弧$AB$所对的圆周角有$∠ ACB$（即$∠ 2$）、$∠ ADB$（即$∠ 5$），故$∠ 1=∠ 2$，$∠ 1=∠ 5$。
综上，不包含$∠ 1$时，和$∠ 1$相等的角共有3个。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆周角定理；同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题是基础的圆性质应用题，解题核心是利用“等弦对等弧、等弧对等圆周角”的性质逐一枚举相等的角，做题时要注意不要漏记同弧、等弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.7
3. (★)如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，若∠A=150°，则∠DCE的度数为.
答案
$\boldsymbol{150°}$
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE是它的一个外角。解题时先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角（即和外角相邻的内角的对角）。我们可以通过推导得出结果：先利用圆内接四边形对角互补得到∠A和∠BCD的和为180°，再结合∠DCE和∠BCD是邻补角，二者之和也为180°，利用同角的补角相等即可求出∠DCE的度数，也可直接使用“圆内接四边形的外角等于内对角”的性质直接求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义），
∴∠DCE = ∠A = 150°（同角的补角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE是它的一个外角。解题时先回忆圆内接四边形的相关性质：圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角（即和外角相邻的内角的对角）。我们可以通过推导得出结果：先利用圆内接四边形对角互补得到∠A和∠BCD的和为180°，再结合∠DCE和∠BCD是邻补角，二者之和也为180°，利用同角的补角相等即可求出∠DCE的度数，也可直接使用“圆内接四边形的外角等于内对角”的性质直接求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义），
∴∠DCE = ∠A = 150°（同角的补角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆内接四边形性质的应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. (★)如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点M在$\overset{\frown}{AB}$上,则$∠ CME$的度数为.
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
解题时首先思考正六边形内接于圆的性质：正六边形的6个顶点会把圆分成6等份，每份劣弧的度数为$360°÷6=60°$；其次观察$∠ CME$是顶点在圆上的圆周角，回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此只需要确定$∠ CME$所对的弧的总度数，除以2即可得到结果。
【解析】
1. 正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，因此6个顶点将$\odot O$的周长六等分，每段劣弧的度数为$360°÷6=60°$。
2. $∠ CME$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧为劣弧$CDE$，劣弧$CDE$包含$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$两段等弧，因此劣弧$CDE$的度数为$60°×2=120°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$∠ CME=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，结合正六边形等分圆周的性质和圆周角定理即可求解，解题的核心是准确找到圆周角所对的弧的度数。
【难度系数】
0.8
解题时首先思考正六边形内接于圆的性质：正六边形的6个顶点会把圆分成6等份，每份劣弧的度数为$360°÷6=60°$；其次观察$∠ CME$是顶点在圆上的圆周角，回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此只需要确定$∠ CME$所对的弧的总度数，除以2即可得到结果。
【解析】
1. 正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，因此6个顶点将$\odot O$的周长六等分，每段劣弧的度数为$360°÷6=60°$。
2. $∠ CME$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧为劣弧$CDE$，劣弧$CDE$包含$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$两段等弧，因此劣弧$CDE$的度数为$60°×2=120°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$∠ CME=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，结合正六边形等分圆周的性质和圆周角定理即可求解，解题的核心是准确找到圆周角所对的弧的度数。
【难度系数】
0.8
5.(★)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$, $∠ DCE=50°$,则$∠ BOD$的度数为. 
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ DCE$是四边形的外角，首先回忆圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，可先求出$∠ A$的度数；再观察$∠ BOD$是圆心角，它和$∠ A$都对应弧BD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ A = ∠ DCE = 50°$，
又
∵ $∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A$是弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×50° = 100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，将圆内接四边形的性质与圆周角定理结合考查，解题的关键是找准角之间的对应关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ DCE$是四边形的外角，首先回忆圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，可先求出$∠ A$的度数；再观察$∠ BOD$是圆心角，它和$∠ A$都对应弧BD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ A = ∠ DCE = 50°$，
又
∵ $∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ A$是弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOD = 2∠ A = 2×50° = 100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，将圆内接四边形的性质与圆周角定理结合考查，解题的关键是找准角之间的对应关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. (★★)如图,四边形ABCD内接于圆,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E,若AC=EC,求证:AD=EB.
答案
证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ AC = EC，
∴ ∠E = ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠E。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又∵ ∠EBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠EBC。
在△ADC和△EBC中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠EBC \\∠DAC = ∠E \\AC = EC\end{array} $
∴ △ADC ≌ △EBC（AAS），
∴ AD = EB。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ AC = EC，
∴ ∠E = ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠E。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又∵ ∠EBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠EBC。
在△ADC和△EBC中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠EBC \\∠DAC = ∠E \\AC = EC\end{array} $
∴ △ADC ≌ △EBC（AAS），
∴ AD = EB。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等，本题目标是证AD=EB，因此考虑证△ADC≌△EBC。首先根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC，再由AC=EC结合等边对等角得∠E=∠BAC，即可推出∠DAC=∠E；接下来利用圆内接四边形对角互补、邻补角和为180°，可推导得到∠ADC=∠EBC；最后结合已知AC=EC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等，从而得到对应边AD=EB。
【解析】
证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ AC = EC，
∴ ∠E = ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠E。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠EBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠EBC。
在△ADC和△EBC中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠EBC \\∠DAC = ∠E \\AC = EC\end{array} $
∴ △ADC ≌ △EBC（AAS），
∴ AD = EB。
【答案】
AD=EB
【知识点】
角平分线的定义；圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了角平分线、等腰三角形、圆内接四边形及全等三角形的相关知识，解题的关键是通过角的等量转化得到全等三角形的判定条件，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等，本题目标是证AD=EB，因此考虑证△ADC≌△EBC。首先根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC，再由AC=EC结合等边对等角得∠E=∠BAC，即可推出∠DAC=∠E；接下来利用圆内接四边形对角互补、邻补角和为180°，可推导得到∠ADC=∠EBC；最后结合已知AC=EC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等，从而得到对应边AD=EB。
【解析】
证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ AC = EC，
∴ ∠E = ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠E。
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠EBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠EBC。
在△ADC和△EBC中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠EBC \\∠DAC = ∠E \\AC = EC\end{array} $
∴ △ADC ≌ △EBC（AAS），
∴ AD = EB。
【答案】
AD=EB
【知识点】
角平分线的定义；圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了角平分线、等腰三角形、圆内接四边形及全等三角形的相关知识，解题的关键是通过角的等量转化得到全等三角形的判定条件，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
