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1. (★)对于反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，下列说法正确的是 【 】
A.图象经过点$(2,-3)$
B.图象位于第一、第三象限
C.$y$随$x$的增大而减小
D.图象与$x$轴有交点
A.图象经过点$(2,-3)$
B.图象位于第一、第三象限
C.$y$随$x$的增大而减小
D.图象与$x$轴有交点
答案
C
解析
【分析】
解决本题需要结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质，逐个验证选项正误：首先回忆反比例函数的坐标验证方法、象限分布规律、增减性的适用条件、与坐标轴的交点特征，再结合题目给出的$x＞0$的限制条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{2}=3≠-3$，因此点$(2,-3)$不在函数图象上，A错误；
B. 虽然$k=6＞0$时反比例函数$y=\frac{6}{x}$的完整图象位于第一、第三象限，但本题限定了$x＞0$，因此图象仅位于第一象限，B错误；
C. 当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，本题$x＞0$（仅第一象限分支），因此该范围内$y$随$x$的增大而减小，C正确；
D. 反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交（$x≠0,y≠0$），因此图象与$x$轴无交点，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性；反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，易错点是容易忽略题干中$x＞0$的限制条件误选B，做题时要注意审题，结合限定范围和函数性质逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质，逐个验证选项正误：首先回忆反比例函数的坐标验证方法、象限分布规律、增减性的适用条件、与坐标轴的交点特征，再结合题目给出的$x＞0$的限制条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{2}=3≠-3$，因此点$(2,-3)$不在函数图象上，A错误；
B. 虽然$k=6＞0$时反比例函数$y=\frac{6}{x}$的完整图象位于第一、第三象限，但本题限定了$x＞0$，因此图象仅位于第一象限，B错误；
C. 当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，本题$x＞0$（仅第一象限分支），因此该范围内$y$随$x$的增大而减小，C正确；
D. 反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交（$x≠0,y≠0$），因此图象与$x$轴无交点，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性；反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，易错点是容易忽略题干中$x＞0$的限制条件误选B，做题时要注意审题，结合限定范围和函数性质逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
2. (★)某中学要在校园内划出一块面积为50 m²的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为x(单位:m)和y(单位:m)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为【 】
答案
$\boxed{A}$
解析
【分析】
首先根据矩形面积公式“面积=相邻两边长的乘积”，列出x和y的等量关系，整理得到y关于x的函数解析式；再结合x是矩形的边长，实际意义下x必须为正数，因此函数图象只能出现在第一象限，最后结合反比例函数的图象特征匹配对应选项即可。
【解析】
已知矩形面积为50m²，相邻两边长分别为x m和y m，根据矩形面积公式可得：
$xy=50$
整理得函数解析式：$y=\frac{50}{x}$
∵x是矩形的边长，长度为正数，
∴$x＞0$，对应$y=\frac{50}{x}＞0$
因此该函数是反比例函数，且图象仅为第一象限内的双曲线分支，对应选项A。
【答案】
$\boxed{A}$
【知识点】
反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的相关知识，解题关键是先根据等量关系得到函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，避免误选包含其他象限的图象。
【难度系数】
0.8
首先根据矩形面积公式“面积=相邻两边长的乘积”，列出x和y的等量关系，整理得到y关于x的函数解析式；再结合x是矩形的边长，实际意义下x必须为正数，因此函数图象只能出现在第一象限，最后结合反比例函数的图象特征匹配对应选项即可。
【解析】
已知矩形面积为50m²，相邻两边长分别为x m和y m，根据矩形面积公式可得：
$xy=50$
整理得函数解析式：$y=\frac{50}{x}$
∵x是矩形的边长，长度为正数，
∴$x＞0$，对应$y=\frac{50}{x}＞0$
因此该函数是反比例函数，且图象仅为第一象限内的双曲线分支，对应选项A。
【答案】
$\boxed{A}$
【知识点】
反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的相关知识，解题关键是先根据等量关系得到函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，避免误选包含其他象限的图象。
【难度系数】
0.8
3. (★)某水果生产基地准备将180 t的某种水果运往某地销售,若每天运送水果x t,需要y天完成任务,则y关于x的函数解析式是;如果计划2天完成任务,那么每天应运送水果 t.
答案
解：
由运输总量=每天运输量×运输天数，可得 $xy=180$，
整理得y关于x的函数解析式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{180}{x}\ (x＞0)}$。
当y=2时，代入解析式得 $2=\dfrac{180}{x}$，
解得 $x=90$。
由运输总量=每天运输量×运输天数，可得 $xy=180$，
整理得y关于x的函数解析式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{180}{x}\ (x＞0)}$。
当y=2时，代入解析式得 $2=\dfrac{180}{x}$，
解得 $x=90$。
解析
【分析】
解题首先明确题目中的核心数量关系：运输总重量=每天运输重量×运输天数。第一步利用这个等量关系列出x和y的等式，将等式变形为用x表示y的形式，同时结合实际意义确定x的取值范围，即可得到y关于x的函数解析式；第二步已知运输天数y=2，将其代入已求出的函数解析式，解关于x的一元一次方程就能得到每天需要运送的重量。
【解析】
根据“运输总量=每天运输量×运输天数”，可得等式：
$xy=180$
将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，结合实际运输中每天运送重量为正数，可得y关于x的函数解析式为：
$y=\dfrac{180}{x}\ (x＞0)$
若计划2天完成任务，即$y=2$，将$y=2$代入解析式$y=\dfrac{180}{x}$得：
$2=\dfrac{180}{x}$
方程两边同乘x得$2x=180$，解得$x=90$。
【答案】
$y=\dfrac{180}{x}(x＞0)$；90
【知识点】
反比例函数实际应用，列函数解析式，代入求值
【点评】
本题是基础的函数实际应用题，核心是抓住题目中的不变量（总运输量）建立等量关系，结合实际意义确定自变量取值范围，再代入已知量求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题首先明确题目中的核心数量关系：运输总重量=每天运输重量×运输天数。第一步利用这个等量关系列出x和y的等式，将等式变形为用x表示y的形式，同时结合实际意义确定x的取值范围，即可得到y关于x的函数解析式；第二步已知运输天数y=2，将其代入已求出的函数解析式，解关于x的一元一次方程就能得到每天需要运送的重量。
【解析】
根据“运输总量=每天运输量×运输天数”，可得等式：
$xy=180$
将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，结合实际运输中每天运送重量为正数，可得y关于x的函数解析式为：
$y=\dfrac{180}{x}\ (x＞0)$
若计划2天完成任务，即$y=2$，将$y=2$代入解析式$y=\dfrac{180}{x}$得：
$2=\dfrac{180}{x}$
方程两边同乘x得$2x=180$，解得$x=90$。
【答案】
$y=\dfrac{180}{x}(x＞0)$；90
【知识点】
反比例函数实际应用，列函数解析式，代入求值
【点评】
本题是基础的函数实际应用题，核心是抓住题目中的不变量（总运输量）建立等量关系，结合实际意义确定自变量取值范围，再代入已知量求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. (★)某段公路全长 200 km,一辆汽车要行驶完这段路程,则平均速度v(单位:km/h)关于全程运行时间t(单位:h)的函数解析式是;若限定汽车行驶平均速度不超过 80 km/h,则所用时间至少要h.
答案
解：
根据路程、速度、时间的关系，可得 $vt=200$，
因此平均速度$v$关于全程运行时间$t$的函数解析式是 $\boldsymbol{v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)}$。
当 $v≤80\ \mathrm{km/h}$ 时，代入函数解析式得：
$\frac{200}{t}≤80$
由于$t＞0$，不等式两边同乘$t$得 $200≤80t$，
解得 $t≥2.5$，即所用时间至少要 $\boldsymbol{2.5}\ \mathrm{h}$。
根据路程、速度、时间的关系，可得 $vt=200$，
因此平均速度$v$关于全程运行时间$t$的函数解析式是 $\boldsymbol{v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)}$。
当 $v≤80\ \mathrm{km/h}$ 时，代入函数解析式得：
$\frac{200}{t}≤80$
由于$t＞0$，不等式两边同乘$t$得 $200≤80t$，
解得 $t≥2.5$，即所用时间至少要 $\boldsymbol{2.5}\ \mathrm{h}$。
解析
【分析】
解题首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，已知公路全长为固定值200km，对等量关系变形即可得到v关于t的函数解析式，注意时间t表示实际运行时长，取值一定大于0；第二问已知速度的上限，将v≤80代入已求出的函数解析式，得到关于t的不等式，结合t＞0的隐含条件解不等式，即可求出所需的最短时间。
【解析】
根据行程问题中路程、速度、时间的关系，可得$vt=200$，
对式子变形后得到平均速度v关于全程运行时间t的函数解析式为：$\boldsymbol{v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)}$。
当限定汽车行驶平均速度不超过80km/h时，即$v≤80$，将函数解析式代入不等式得：
$\dfrac{200}{t}≤80$，
$\because t$为运行时间，$\therefore t＞0$，不等式两边同时乘$t$，不等号方向不变，可得$200≤80t$，
解得$t≥2.5$，即所用时间至少要$\boldsymbol{2.5}$h。
【答案】
$v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)$；$2.5$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 反比例函数解析式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础的应用型题目，结合实际出行场景考查反比例函数和不等式的简单应用，解题的核心是掌握路程、速度、时间三者的等量关系，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，已知公路全长为固定值200km，对等量关系变形即可得到v关于t的函数解析式，注意时间t表示实际运行时长，取值一定大于0；第二问已知速度的上限，将v≤80代入已求出的函数解析式，得到关于t的不等式，结合t＞0的隐含条件解不等式，即可求出所需的最短时间。
【解析】
根据行程问题中路程、速度、时间的关系，可得$vt=200$，
对式子变形后得到平均速度v关于全程运行时间t的函数解析式为：$\boldsymbol{v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)}$。
当限定汽车行驶平均速度不超过80km/h时，即$v≤80$，将函数解析式代入不等式得：
$\dfrac{200}{t}≤80$，
$\because t$为运行时间，$\therefore t＞0$，不等式两边同时乘$t$，不等号方向不变，可得$200≤80t$，
解得$t≥2.5$，即所用时间至少要$\boldsymbol{2.5}$h。
【答案】
$v=\dfrac{200}{t}\ (t＞0)$；$2.5$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 反比例函数解析式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础的应用型题目，结合实际出行场景考查反比例函数和不等式的简单应用，解题的核心是掌握路程、速度、时间三者的等量关系，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略取值范围导致错误。
【难度系数】
0.9
5. (★)李师傅购买了价值50 000元的农用设备,该设备支持免息分期付款,首付款8 000元,后期每个月需支付相同的金额,则李师傅每个月的付款额y(单位:元)关于付款月数x的函数解析式为
【 】
A.$y=\dfrac{50\ 000}{x} -8\ 000$
B.$y=\dfrac{50\ 000}{x}$
C.$y=\dfrac{50\ 000}{x} +8\ 000$
D.$y=\dfrac{42\ 000}{x}$
【 】
A.$y=\dfrac{50\ 000}{x} -8\ 000$
B.$y=\dfrac{50\ 000}{x}$
C.$y=\dfrac{50\ 000}{x} +8\ 000$
D.$y=\dfrac{42\ 000}{x}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确题中的等量关系：设备总价款=首付款+后期分期付款总额。首先先计算出后期需要分期支付的总金额，再根据“后期每月付款额×付款月数=后期待付总金额”的关系，变形即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
首先计算扣除首付款后，剩余需要分期支付的总金额：
$50000-8000=42000$（元）
已知后期x个月总共支付的金额为$xy$元，刚好等于剩余待付的42000元，因此可得等式：
$xy=42000$
将等式变形，把y用含x的式子表示（x为正整数），得：
$y=\dfrac{42000}{x}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在生活场景中的基础应用，核心是找准等量关系，先求出待分期的总金额，再结合常见的数量关系推导函数式即可，考查学生对基础数量关系的运用能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确题中的等量关系：设备总价款=首付款+后期分期付款总额。首先先计算出后期需要分期支付的总金额，再根据“后期每月付款额×付款月数=后期待付总金额”的关系，变形即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
首先计算扣除首付款后，剩余需要分期支付的总金额：
$50000-8000=42000$（元）
已知后期x个月总共支付的金额为$xy$元，刚好等于剩余待付的42000元，因此可得等式：
$xy=42000$
将等式变形，把y用含x的式子表示（x为正整数），得：
$y=\dfrac{42000}{x}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的实际应用，根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在生活场景中的基础应用，核心是找准等量关系，先求出待分期的总金额，再结合常见的数量关系推导函数式即可，考查学生对基础数量关系的运用能力。
【难度系数】
0.9
6. (★)如图,小明设计了一个探索杠杆平衡条件的实验,在一根质地均匀的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上,在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A,在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆,使木杆达到平衡(杠杆平衡时,动力×动力臂=阻力×阻力臂).改变弹簧测力计与点O的距离x(单位:cm),观察弹簧测力计的示数y(单位:N)的变化情况,实验数据记录如下:
观察表中的数据,当弹簧测力计与点O的距离x为40 cm时,弹簧测力计的示数y的值是
【 】
A.5 N
B.7.5 N
C.10 N
D.120 N
观察表中的数据,当弹簧测力计与点O的距离x为40 cm时,弹簧测力计的示数y的值是
【 】
A.5 N
B.7.5 N
C.10 N
D.120 N
答案
B
解析
【分析】
根据杠杆平衡条件可知，动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中左侧重物A的重力、B到O点的距离均为固定值，因此弹簧测力计的示数y与它到O点的距离x的乘积为定值，即y是x的反比例函数。解题时先设出反比例函数解析式，利用已知实验数据求出解析式中的常数，再将x=40代入解析式计算即可得到对应的y值。
【解析】
设y与x的函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，k为常数）。
根据杠杆平衡原理，k=阻力×阻力臂，为定值。选取实验数据中x=30cm时y=10N代入解析式，得：
$ 10 = \frac{k}{30} $
解得$ k = 300 $，因此函数解析式为$ y = \frac{300}{x} $。
当$ x = 40\ \mathrm{cm} $时，代入解析式得：
$ y = \frac{300}{40} = 7.5\ \mathrm{N} $
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；杠杆平衡条件
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是先确定两个变量的反比例关系，求出函数解析式后代入求值即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
根据杠杆平衡条件可知，动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中左侧重物A的重力、B到O点的距离均为固定值，因此弹簧测力计的示数y与它到O点的距离x的乘积为定值，即y是x的反比例函数。解题时先设出反比例函数解析式，利用已知实验数据求出解析式中的常数，再将x=40代入解析式计算即可得到对应的y值。
【解析】
设y与x的函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，k为常数）。
根据杠杆平衡原理，k=阻力×阻力臂，为定值。选取实验数据中x=30cm时y=10N代入解析式，得：
$ 10 = \frac{k}{30} $
解得$ k = 300 $，因此函数解析式为$ y = \frac{300}{x} $。
当$ x = 40\ \mathrm{cm} $时，代入解析式得：
$ y = \frac{300}{40} = 7.5\ \mathrm{N} $
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；杠杆平衡条件
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是先确定两个变量的反比例关系，求出函数解析式后代入求值即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
