11. (★)若反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的图象的一支位于第三象限,则k的取值范围是 【 】

A.$k＜1$
B.$k＞1$
C.$0＜k＜1$
D.$k≤1$

A

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$）的图象是双曲线，当比例系数$m＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$m＜0$时，两支分别位于第二、第四象限。题目给出图象的一支位于第三象限，说明比例系数大于0，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$，由其图象的一支位于第三象限可知，该函数的比例系数大于0，即：
$1-k＞0$
移项得：$-k＞-1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：
$k＜1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查反比例函数图象位置和比例系数的对应关系，只要熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9

12. (★★)一个反比例函数的图象经过A(m,-4),B(3,n)两点,若m＜-3,则n的取值范围是.

$\boldsymbol{n＞4}$

【分析】
首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值$k$。我们可以先利用这个性质建立点A和点B坐标之间的等量关系，再结合已知条件$m＜-3$，通过解不等式求出$n$的取值范围。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 点$A(m,-4)$、$B(3,n)$都在反比例函数图象上，
∴ $k=xy=-4m=3n$，
整理可得$m=-\frac{3n}{4}$。
又
∵ 已知$m＜-3$，
将$m=-\frac{3n}{4}$代入不等式得：
$-\frac{3n}{4} ＜ -3$，
不等式两边同时乘4，得：$-3n ＜ -12$，
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得：$n＞4$。
【答案】
$\boldsymbol{n＞4}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是抓住反比例函数图象上点的坐标满足$xy=k$的特性，建立两个未知参数的等量关系，再结合不等式求解即可，考查了学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

13. (★★) 在平面直角坐标系中，点$A(3,2),B(-4,1),C(-2,n)$分别在三个不同的象限. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,则$n$的值为.

解：
点$A(3,2)$在第一象限，点$B(-4,1)$在第二象限。
因为三个点分别在三个不同的象限，点$C$的横坐标为$-2＜0$，因此点$C$只能在第三象限。
反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积等于定值$k$，分三种情况讨论：
1. 若反比例函数经过$A$、$B$两点：则$k=3×2=6$且$k=-4×1=-4$，矛盾，该情况不成立。
2. 若反比例函数经过$B$、$C$两点：则$k=(-4)×1=-4$，代入$C(-2,n)$得$-4=-2n$，解得$n=2$，此时点$C(-2,2)$在第二象限，与点$B$同象限，不符合三个点在不同象限的条件，舍去。
3. 若反比例函数经过$A$、$C$两点：则$k=3×2=6$，代入$C(-2,n)$得$6=-2n$，解得$n=-3$，此时点$C(-2,-3)$在第三象限，三个点分别在第一、第二、第三象限，符合题意。
综上，$n$的值为$\boldsymbol{-3}$。

【分析】
解题可按三步展开：第一步先确定已知点A、B所在的象限，结合“三个点在不同象限”的条件，判断点C的象限范围；第二步根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质（图象上任意点的横纵坐标乘积等于k，且图象两个分支仅能同时在一、三象限或二、四象限，不可能同时经过第一、第二象限的点），排除不可能的情况，对剩余可能情况分类讨论；第三步计算出n的取值后，验证是否符合“三个点在不同象限”的前提，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
1. 判断已知点的象限：点$A(3,2)$横、纵坐标均为正，在第一象限；点$B(-4,1)$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。
2. 推导点C的象限：已知三个点在三个不同象限，点$C(-2,n)$横坐标为$-2＜0$，因此点C不可能在横坐标为正的第四象限，只能在第三象限，即$n＜0$。
3. 结合反比例函数性质分类讨论：
情况1：若反比例函数经过A、B两点，则$k=3×2=6$，同时$k=-4×1=-4$，两者矛盾，该情况不成立。
情况2：若反比例函数经过B、C两点，则$k=(-4)×1=-4$，将$C(-2,n)$代入$y=\frac{k}{x}$得$-4=-2n$，解得$n=2$，此时$C(-2,2)$在第二象限，与点B同象限，不符合三个点在不同象限的条件，舍去。
情况3：若反比例函数经过A、C两点，则$k=3×2=6$，将$C(-2,n)$代入$y=\frac{k}{x}$得$6=-2n$，解得$n=-3$，此时$C(-2,-3)$在第三象限，三个点分别在第一、第二、第三象限，符合题意。
综上，$n$的值为$-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
象限内点的坐标特征；反比例函数的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合平面直角坐标系点的象限特征和反比例函数性质考查，解题时需先根据已知条件缩小未知点的象限范围，分类计算后要注意验证结果是否符合题目的限制条件，避免未验证舍去不符合的解导致出错。
【难度系数】
0.7

14. (★★)如图,在平面直角坐标系中,若一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,-2),B(2,n)$,则不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为。

解：将点$A(-1,-2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，
得$-2=\frac{m}{-1}$，解得$m=2$，
所以反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
将点$B(2,n)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，
得$n=\frac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
结合函数图象，一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的$x$的取值范围即为不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集，
可得解集为$-1＜x＜0$或$x＞2$。

【分析】
要解不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$，首先明确其几何意义：一次函数$y_1=kx+b$的图象在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$图象上方时对应的$x$的取值范围就是不等式的解集。解题步骤如下：第一步，用已知交点$A$的坐标求出反比例函数的参数$m$，确定反比例函数解析式；第二步，将点$B$的横坐标代入反比例解析式，求出$B$点纵坐标，得到$B$的完整坐标；第三步，结合两个交点坐标，分$x＜0$和$x＞0$两个区间（反比例函数自变量$x≠0$）观察图象的上下位置，即可得到解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将点$A(-1,-2)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，可得$-2=\frac{m}{-1}$，解得$m=2$，因此反比例函数解析式为$y_2=\frac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：将$B(2,n)$代入$y_2=\frac{2}{x}$，可得$n=\frac{2}{2}=1$，即点$B$的坐标为$(2,1)$。
3. 结合图象确定解集：观察图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$，即为所求不等式的解集。
【答案】
$-1＜x＜0$或$x＞2$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数图象解不等式，反比例函数解析式求解
【点评】
本题是函数与不等式结合的常规题型，核心是理解函数图象位置关系和不等式解集的对应联系，解题时要注意反比例函数图象分属两个象限，需分段判断图象位置，避免遗漏$x＜0$的区间。
【难度系数】
0.6

15. (★★)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=k_1x+b(k_1≠0)$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$交于$A(1,4),B(-4,n)$两点,过点A作直线$AC⊥AB$交x轴于点C,连接BC,求$△ ABC$的面积.

解：
把$A(1,4)$代入双曲线$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=4$，
所以双曲线的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
把$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{-4}=-1$，即点$B$的坐标为$(-4,-1)$。
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入直线$y=k_1x+b$，得：
$\begin{cases}k_1 + b = 4 \\-4k_1 + b = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=1 \\b=3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=x+3$。
因为$AC⊥ AB$，直线$AB$的斜率为$1$，所以直线$AC$的斜率为$-1$，
又直线$AC$过点$A(1,4)$，因此直线$AC$的解析式为$y-4=-(x-1)$，即$y=-x+5$。
令$y=0$，得$0=-x+5$，解得$x=5$，即点$C$的坐标为$(5,0)$。
计算线段长度：
$AB=\sqrt{(1+4)^2+(4+1)^2}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(5-1)^2+(0-4)^2}=4\sqrt{2}$。
因为$AC⊥ AB$，所以：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×4\sqrt{2}=20$。
答：$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{20}$。

【分析】
解题时先从已知的交点A入手：第一步利用A点坐标求出反比例函数解析式，再代入B点横坐标求出B点坐标；接着用A、B两点坐标求直线AB的解析式，根据两直线垂直斜率乘积为-1的性质，结合A点坐标求出直线AC的解析式，令y=0即可得到C点坐标；最后因为△ABC是直角三角形，用勾股定理计算两条直角边AB、AC的长度，代入直角三角形面积公式就能求出面积。
【解析】
把$A(1,4)$代入双曲线$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=4$，
所以双曲线的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
把$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{-4}=-1$，即点$B$的坐标为$(-4,-1)$。
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入直线$y=k_1x+b$，得：
$\begin{cases}k_1 + b = 4 \\-4k_1 + b = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=1 \\b=3\end{cases}$，所以直线$AB$的解析式为$y=x+3$。
因为$AC⊥ AB$，直线$AB$的斜率为$1$，所以直线$AC$的斜率为$-1$，
又直线$AC$过点$A(1,4)$，因此直线$AC$的解析式为$y-4=-(x-1)$，即$y=-x+5$。
令$y=0$，得$0=-x+5$，解得$x=5$，即点$C$的坐标为$(5,0)$。
计算线段长度：
$AB=\sqrt{(1+4)^2+(4+1)^2}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(5-1)^2+(0-4)^2}=4\sqrt{2}$。
因为$AC⊥ AB$，所以：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×4\sqrt{2}=20$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，直角三角形面积计算
【点评】
本题是函数与几何结合的常考题型，考查了函数解析式求解、两直线垂直的性质、勾股定理及面积公式的应用，解题关键是先求出各交点坐标，再结合几何性质计算对应量。
【难度系数】
0.7