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1. (★)若点$(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,且$k≠0$)的图象上,则$k=$【 】
A.3
B.15
C.5
D.8
A.3
B.15
C.5
D.8
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心规律：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式。因此我们只需把已知点的坐标代入反比例函数的解析式，就能求出k的取值。
【解析】
因为点$(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=3$、$y=5$代入函数解析式可得：
$5=\frac{k}{3}$
等式两边同时乘3，解得：
$k=3×5=15$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数系数k的求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，主要考查函数图象与解析式的对应关系，计算量小，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确核心规律：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足这个函数的解析式。因此我们只需把已知点的坐标代入反比例函数的解析式，就能求出k的取值。
【解析】
因为点$(3,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=3$、$y=5$代入函数解析式可得：
$5=\frac{k}{3}$
等式两边同时乘3，解得：
$k=3×5=15$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数系数k的求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，主要考查函数图象与解析式的对应关系，计算量小，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. (★)对于反比例函数$y=-\dfrac{7}{x}$，下列结论不正确的是 【 】
A.图象经过点$(1,-7)$
B.在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大
C.图象位于第二、第四象限
D.当$x＜0$时，函数图象位于第四象限
A.图象经过点$(1,-7)$
B.在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大
C.图象位于第二、第四象限
D.当$x＜0$时，函数图象位于第四象限
答案
D
解析
【分析】
解决本题需结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$的性质逐一分析选项：首先确定比例系数$k$的正负，再根据$k$的正负判断图象所在象限、增减性，验证点是否在图象上只需将点的横坐标代入解析式，看计算出的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可，最终找出不正确的选项。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{7}{x}$，则比例系数$k=-7＜0$。
对选项A：将$x=1$代入解析式得$y=-\dfrac{7}{1}=-7$，因此点$(1,-7)$在函数图象上，A选项结论正确，不符合题意；
对选项B：当$k＜0$时，反比例函数在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，B选项结论正确，不符合题意；
对选项C：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，C选项结论正确，不符合题意；
对选项D：当$x＜0$时，$y=-\dfrac{7}{x}＞0$，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，因此此时函数图象位于第二象限，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图象，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题关键是掌握反比例函数比例系数$k$和图象位置、增减性的对应关系，难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.9
解决本题需结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$的性质逐一分析选项：首先确定比例系数$k$的正负，再根据$k$的正负判断图象所在象限、增减性，验证点是否在图象上只需将点的横坐标代入解析式，看计算出的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可，最终找出不正确的选项。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{7}{x}$，则比例系数$k=-7＜0$。
对选项A：将$x=1$代入解析式得$y=-\dfrac{7}{1}=-7$，因此点$(1,-7)$在函数图象上，A选项结论正确，不符合题意；
对选项B：当$k＜0$时，反比例函数在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，B选项结论正确，不符合题意；
对选项C：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，C选项结论正确，不符合题意；
对选项D：当$x＜0$时，$y=-\dfrac{7}{x}＞0$，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，因此此时函数图象位于第二象限，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图象，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题关键是掌握反比例函数比例系数$k$和图象位置、增减性的对应关系，难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.9
3. (★)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-3,2)$，则下列各点也在此函数图象上的是 【 】
A.$(2,3)$
B.$(-3,-2)$
C.$(1,6)$
D.$(1,-6)$
A.$(2,3)$
B.$(-3,-2)$
C.$(1,6)$
D.$(1,-6)$
答案
D
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，首先需确定反比例函数的比例系数$k$。根据反比例函数的性质，其图象上任意一点的横、纵坐标的乘积恒等于$k$，因此我们可以先通过已知经过的点求出$k$的值，再逐一计算各选项中点的横纵坐标乘积，若乘积等于$k$，则该点在函数图象上，反之不在。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-3,2)$
∴将$x=-3$，$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$
解得$k=-3×2=-6$，即该反比例函数满足$xy=-6$
逐一验证选项：
A. $2×3=6≠-6$，不在函数图象上；
B. $(-3)×(-2)=6≠-6$，不在函数图象上；
C. $1×6=6≠-6$，不在函数图象上；
D. $1×(-6)=-6$，符合条件，在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式的确定；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题核心是掌握反比例函数中横纵坐标乘积等于比例系数$k$的规律，可快速判断点是否在函数图象上，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
要判断点是否在反比例函数图象上，首先需确定反比例函数的比例系数$k$。根据反比例函数的性质，其图象上任意一点的横、纵坐标的乘积恒等于$k$，因此我们可以先通过已知经过的点求出$k$的值，再逐一计算各选项中点的横纵坐标乘积，若乘积等于$k$，则该点在函数图象上，反之不在。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-3,2)$
∴将$x=-3$，$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-3}$
解得$k=-3×2=-6$，即该反比例函数满足$xy=-6$
逐一验证选项：
A. $2×3=6≠-6$，不在函数图象上；
B. $(-3)×(-2)=6≠-6$，不在函数图象上；
C. $1×6=6≠-6$，不在函数图象上；
D. $1×(-6)=-6$，符合条件，在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数解析式的确定；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题核心是掌握反比例函数中横纵坐标乘积等于比例系数$k$的规律，可快速判断点是否在函数图象上，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
4. (★★)已知点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{2m-4}{x}$的图象上，如果$y_1＞y_2$，那么$m$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m＞2}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察点A、B的横坐标，发现两者均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一象限分支上；再根据“x=2＜x=6时，$y_1＞y_2$”的条件，判断该反比例函数在该象限内y随x的增大而减小；结合反比例函数的增减性与比例系数的关系，列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点A的横坐标为2＞0，点B的横坐标为6＞0，
∴A、B两点位于反比例函数图象的同一象限分支上，
又
∵2＜6，且$y_1＞y_2$，
∴在该象限内，y随x的增大而减小，
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，
∴本题中$k=2m-4＞0$，
解不等式$2m-4＞0$，移项得$2m＞4$，解得$m＞2$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞2}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据两点横坐标的符号确定两点在同一象限，再结合函数值的大小关系推导比例系数的符号，熟练掌握反比例函数的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察点A、B的横坐标，发现两者均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一象限分支上；再根据“x=2＜x=6时，$y_1＞y_2$”的条件，判断该反比例函数在该象限内y随x的增大而减小；结合反比例函数的增减性与比例系数的关系，列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点A的横坐标为2＞0，点B的横坐标为6＞0，
∴A、B两点位于反比例函数图象的同一象限分支上，
又
∵2＜6，且$y_1＞y_2$，
∴在该象限内，y随x的增大而减小，
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，每个象限内y随x的增大而减小，
∴本题中$k=2m-4＞0$，
解不等式$2m-4＞0$，移项得$2m＞4$，解得$m＞2$。
【答案】
$\boldsymbol{m＞2}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据两点横坐标的符号确定两点在同一象限，再结合函数值的大小关系推导比例系数的符号，熟练掌握反比例函数的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
5. (★)已知点$(-2,6)$在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，则下列说法正确的是 【 】
A.图象经过$(-3,-4)$
B.在每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小
C.图象在第二、第四象限
D.图象在第一、第三象限
A.图象经过$(-3,-4)$
B.在每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小
C.图象在第二、第四象限
D.图象在第一、第三象限
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要利用已知点在反比例函数图象上的条件，求出比例系数k的值，再根据k的符号判断反比例函数的图象位置、增减性等性质，最后逐一验证每个选项的正确性即可得出答案。
【解析】
首先将点$(-2,6)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，可得：
$6=\frac{k}{-2}$
解得$k=6×(-2)=-12$，即该反比例函数为$y=\frac{-12}{x}$。
接下来逐一分析选项：
选项A：将$x=-3$代入解析式，得$y=\frac{-12}{-3}=4≠-4$，因此图象不经过$(-3,-4)$，A错误；
选项B：由于$k=-12＜0$，根据反比例函数性质，在每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，而非减小，B错误；
选项C：当$k＜0$时，反比例函数的图象分布在第二、第四象限，C正确；
选项D：只有当$k＞0$时，图象才在第一、第三象限，本题$k＜0$，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数图象性质；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题核心是先确定比例系数k的取值，再结合k的符号判断函数的相关性质，需要熟练掌握反比例函数图象、增减性和k的对应关系。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要利用已知点在反比例函数图象上的条件，求出比例系数k的值，再根据k的符号判断反比例函数的图象位置、增减性等性质，最后逐一验证每个选项的正确性即可得出答案。
【解析】
首先将点$(-2,6)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，可得：
$6=\frac{k}{-2}$
解得$k=6×(-2)=-12$，即该反比例函数为$y=\frac{-12}{x}$。
接下来逐一分析选项：
选项A：将$x=-3$代入解析式，得$y=\frac{-12}{-3}=4≠-4$，因此图象不经过$(-3,-4)$，A错误；
选项B：由于$k=-12＜0$，根据反比例函数性质，在每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，而非减小，B错误；
选项C：当$k＜0$时，反比例函数的图象分布在第二、第四象限，C正确；
选项D：只有当$k＞0$时，图象才在第一、第三象限，本题$k＜0$，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式求解；反比例函数图象性质；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题核心是先确定比例系数k的取值，再结合k的符号判断函数的相关性质，需要熟练掌握反比例函数图象、增减性和k的对应关系。
【难度系数】
0.8
6. (★)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则
【 】
A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
【 】
A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=4＞0$，且给出的$y$取值范围$2＜y＜4$均为正数，说明对应图象在第一象限。我们可以先计算$y=2$和$y=4$时对应的$x$值，再结合函数的增减性，就能确定$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵$2＜y＜4$，
∴此时$x＞0$，对应图象在第一象限，
当$y=2$时，代入函数得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，
当$y=4$时，代入函数得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$，
根据第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，可得当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先判断函数所在象限，再结合边界值和增减性推导自变量的取值范围，注意不要忽略函数增减性的适用前提是在同一个象限内。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=4＞0$，且给出的$y$取值范围$2＜y＜4$均为正数，说明对应图象在第一象限。我们可以先计算$y=2$和$y=4$时对应的$x$值，再结合函数的增减性，就能确定$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵$2＜y＜4$，
∴此时$x＞0$，对应图象在第一象限，
当$y=2$时，代入函数得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，
当$y=4$时，代入函数得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$，
根据第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，可得当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先判断函数所在象限，再结合边界值和增减性推导自变量的取值范围，注意不要忽略函数增减性的适用前提是在同一个象限内。
【难度系数】
0.8
7. (★★)如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围为【 】
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
答案
A
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先根据正方形的面积求出边长，得到点B的坐标；再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定函数表达式；最后解不等式$y≥2$，结合x的取值范围$x＞0$即可得到最终结果。
【解析】
1. 求点B的坐标
设正方形OABC的边长为$a$，已知正方形面积为4，由正方形面积公式得$a^2=4$，解得$a=2$（边长为正，舍去负值）。
因为A在x轴正半轴、C在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此反比例函数为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
3. 求x的取值范围
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$。
因为$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，结合$x＞0$的前提，最终得$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，解分式不等式
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过正方形特征确定反比例函数解析式，再根据函数值的范围求解自变量的范围，掌握反比例函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：首先根据正方形的面积求出边长，得到点B的坐标；再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，确定函数表达式；最后解不等式$y≥2$，结合x的取值范围$x＞0$即可得到最终结果。
【解析】
1. 求点B的坐标
设正方形OABC的边长为$a$，已知正方形面积为4，由正方形面积公式得$a^2=4$，解得$a=2$（边长为正，舍去负值）。
因为A在x轴正半轴、C在y轴正半轴，所以点B的坐标为$(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此反比例函数为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
3. 求x的取值范围
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$。
因为$x＞0$，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，结合$x＞0$的前提，最终得$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，解分式不等式
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过正方形特征确定反比例函数解析式，再根据函数值的范围求解自变量的范围，掌握反比例函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. (★★)已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$x_1＜0＜x_2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是
【】
A.$y_1＜y_2＜0$
B.$0＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜0＜y_2$
D.$y_2＜0＜y_1$
【】
A.$y_1＜y_2＜0$
B.$0＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜0＜y_2$
D.$y_2＜0＜y_1$
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且第二象限内的点纵坐标恒为正，第四象限内的点纵坐标恒为负。首先根据反比例函数的解析式确定k的正负，判断图象所在象限；再结合两点横坐标的正负，分别判断两点所在的象限，得到对应y值的符号，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
因此该函数图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限：
① 已知$x_1＜0$，则点$A(x_1,y_1)$在第二象限，故$y_1＞0$；
② 已知$x_2＞0$，则点$B(x_2,y_2)$在第四象限，故$y_2＜0$。
综上可得$y_2＜0＜y_1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题核心是先由k的符号确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标符号判断点的位置，进而得到函数值的符号关系，解题时无需计算具体函数值，通过性质判断即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且第二象限内的点纵坐标恒为正，第四象限内的点纵坐标恒为负。首先根据反比例函数的解析式确定k的正负，判断图象所在象限；再结合两点横坐标的正负，分别判断两点所在的象限，得到对应y值的符号，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
因此该函数图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限：
① 已知$x_1＜0$，则点$A(x_1,y_1)$在第二象限，故$y_1＞0$；
② 已知$x_2＞0$，则点$B(x_2,y_2)$在第四象限，故$y_2＜0$。
综上可得$y_2＜0＜y_1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题核心是先由k的符号确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标符号判断点的位置，进而得到函数值的符号关系，解题时无需计算具体函数值，通过性质判断即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. (★★)已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0），当$-3≤ x≤ -1$时，y的最大值是6，则当$1≤ x≤ 3$时，y的最小值为。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知区间x的符号和y的最大值的符号判断k的正负：已知x的取值范围为负数，y的最大值为正数，可推出k＜0；再根据k＜0时反比例函数的单调性（每个象限内y随x的增大而增大），先利用给定区间的最值求出k的值，最后分析x在[1,3]区间的单调性，即可求出y的最小值。
【解析】
1. 判断k的符号：当$-3≤ x≤ -1$时，x均为负数，此时y的最大值为6（正数），由$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$，x负、y正，因此$k＜0$。
2. 求k的值：当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内y随x的增大而增大，因此在$-3≤ x≤ -1$区间内，x取最大值$-1$时y取得最大值6，将$x=-1,y=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{-1}$，解得$k=-6$，即反比例函数为$y=\frac{-6}{x}$。
3. 求$1≤ x≤ 3$时y的最小值：当$1≤ x≤ 3$时，x均为正数，此时y随x的增大而增大，因此x取最小值1时，y取得最小值，代入$x=1$得$y=\frac{-6}{1}=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题重点考查反比例函数单调性的应用，解题的核心是先通过已知区间的函数最值判断k的符号，再结合对应象限的单调性求解目标区间的最值，需注意反比例函数的单调性仅在单个象限内成立，不能跨象限比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知区间x的符号和y的最大值的符号判断k的正负：已知x的取值范围为负数，y的最大值为正数，可推出k＜0；再根据k＜0时反比例函数的单调性（每个象限内y随x的增大而增大），先利用给定区间的最值求出k的值，最后分析x在[1,3]区间的单调性，即可求出y的最小值。
【解析】
1. 判断k的符号：当$-3≤ x≤ -1$时，x均为负数，此时y的最大值为6（正数），由$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$，x负、y正，因此$k＜0$。
2. 求k的值：当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在每个象限内y随x的增大而增大，因此在$-3≤ x≤ -1$区间内，x取最大值$-1$时y取得最大值6，将$x=-1,y=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{-1}$，解得$k=-6$，即反比例函数为$y=\frac{-6}{x}$。
3. 求$1≤ x≤ 3$时y的最小值：当$1≤ x≤ 3$时，x均为正数，此时y随x的增大而增大，因此x取最小值1时，y取得最小值，代入$x=1$得$y=\frac{-6}{1}=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题重点考查反比例函数单调性的应用，解题的核心是先通过已知区间的函数最值判断k的符号，再结合对应象限的单调性求解目标区间的最值，需注意反比例函数的单调性仅在单个象限内成立，不能跨象限比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
10. (★★)已知正比例函数$y=kx$的图象与反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$的图象有一个交点的横坐标是2.
(1)当$x=-4$时，求反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$的值；
(2)已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$的图象上，如果$0＜x_1＜x_2$，试比较$y_1,y_2$的大小.
(1)当$x=-4$时，求反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$的值；
(2)已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$的图象上，如果$0＜x_1＜x_2$，试比较$y_1,y_2$的大小.
答案
解：
(1) 把$x=2$分别代入两个函数解析式，可得交点的纵坐标分别为$y=2k$和$y=\dfrac{-5-k}{2}$。
由两函数交点的横坐标为2，可知两点纵坐标相等：
$2k = \frac{-5 - k}{2}$
整理得$4k=-5-k$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{-5 - (-1)}{x}=-\dfrac{4}{x}$。
当$x=-4$时，$y=-\dfrac{4}{-4}=1$。
(2) 由(1)得反比例函数为$y=-\dfrac{4}{x}$，其比例系数$-4＜0$，
因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
因为$0＜x_1＜x_2$，点$A$、$B$都在$x＞0$对应的函数图象分支上，
所以$y_1 ＜ y_2$。
(1) 把$x=2$分别代入两个函数解析式，可得交点的纵坐标分别为$y=2k$和$y=\dfrac{-5-k}{2}$。
由两函数交点的横坐标为2，可知两点纵坐标相等：
$2k = \frac{-5 - k}{2}$
整理得$4k=-5-k$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{-5 - (-1)}{x}=-\dfrac{4}{x}$。
当$x=-4$时，$y=-\dfrac{4}{-4}=1$。
(2) 由(1)得反比例函数为$y=-\dfrac{4}{x}$，其比例系数$-4＜0$，
因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
因为$0＜x_1＜x_2$，点$A$、$B$都在$x＞0$对应的函数图象分支上，
所以$y_1 ＜ y_2$。
解析
【分析】
首先，两个函数图象的交点同时满足两个函数的解析式，已知交点横坐标为2，将x=2分别代入两个函数解析式，得到的纵坐标相等，据此建立关于k的方程求解，就能确定反比例函数的解析式。（1）问将x=-4代入求出的反比例函数解析式，即可计算对应函数值；（2）问根据反比例函数比例系数的符号判断其增减性，再结合x₁、x₂的取值范围，就能比较y₁、y₂的大小。
【解析】
(1) 把$x=2$分别代入正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$，可得交点的纵坐标分别为$y=2k$和$y=\dfrac{-5-k}{2}$。
因为该点是两个函数的交点，所以两个纵坐标相等，列方程：
$2k = \dfrac{-5 - k}{2}$
方程两边同乘2得$4k=-5-k$，移项合并同类项得$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{-5 - (-1)}{x}=-\dfrac{4}{x}$。
当$x=-4$时，代入得$y=-\dfrac{4}{-4}=1$。
(2) 由(1)可知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，比例系数$-4＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，说明点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在x＞0对应的第四象限分支上，属于同一象限，根据增减性可得$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{y_1 ＜ y_2}$
【知识点】
函数交点的性质；待定系数法求解析式；反比例函数的增减性
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用交点的坐标特征求出未知参数k，再结合反比例函数的性质解答后续问题，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先，两个函数图象的交点同时满足两个函数的解析式，已知交点横坐标为2，将x=2分别代入两个函数解析式，得到的纵坐标相等，据此建立关于k的方程求解，就能确定反比例函数的解析式。（1）问将x=-4代入求出的反比例函数解析式，即可计算对应函数值；（2）问根据反比例函数比例系数的符号判断其增减性，再结合x₁、x₂的取值范围，就能比较y₁、y₂的大小。
【解析】
(1) 把$x=2$分别代入正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\dfrac{-5-k}{x}$，可得交点的纵坐标分别为$y=2k$和$y=\dfrac{-5-k}{2}$。
因为该点是两个函数的交点，所以两个纵坐标相等，列方程：
$2k = \dfrac{-5 - k}{2}$
方程两边同乘2得$4k=-5-k$，移项合并同类项得$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{-5 - (-1)}{x}=-\dfrac{4}{x}$。
当$x=-4$时，代入得$y=-\dfrac{4}{-4}=1$。
(2) 由(1)可知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{4}{x}$，比例系数$-4＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$0＜x_1＜x_2$，说明点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在x＞0对应的第四象限分支上，属于同一象限，根据增减性可得$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{y_1 ＜ y_2}$
【知识点】
函数交点的性质；待定系数法求解析式；反比例函数的增减性
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用交点的坐标特征求出未知参数k，再结合反比例函数的性质解答后续问题，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
