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12. (★★)若点$A(-3,y_{1})$,$B(1,y_{2})$,$C(3,y_{3})$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是
(用“＜”连接).
(用“＜”连接).
答案
解：
∵ 点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，
∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得：
$y_1 = -\dfrac{9}{-3} = 3$，
$y_2 = -\dfrac{9}{1} = -9$，
$y_3 = -\dfrac{9}{3} = -3$，
∵ $-9 ＜ -3 ＜ 3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
∵ 点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，
∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得：
$y_1 = -\dfrac{9}{-3} = 3$，
$y_2 = -\dfrac{9}{1} = -9$，
$y_3 = -\dfrac{9}{3} = -3$，
∵ $-9 ＜ -3 ＜ 3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
解析
【分析】
要判断反比例函数上三个点的纵坐标大小，可通过两种思路求解：一是利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式，分别求出对应的y值后比较大小；二是结合反比例函数的图象性质（所在象限、增减性）判断。本题直接代入计算更直观简便，第一步先代入各点横坐标求出y₁、y₂、y₃的具体值，第二步按照有理数大小比较规则排序即可。
【解析】
∵ 点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，
∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得：
$y_1 = -\dfrac{9}{-3} = 3$，
$y_2 = -\dfrac{9}{1} = -9$，
$y_3 = -\dfrac{9}{3} = -3$，
∵ $-9 ＜ -3 ＜ 3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，重点考查反比例函数图象上点的坐标性质，直接代入求值比较大小是最简便的解法，也可结合反比例函数的增减性，先根据点所在象限判断纵坐标的正负，再比较同象限内点的纵坐标大小。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数上三个点的纵坐标大小，可通过两种思路求解：一是利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式，分别求出对应的y值后比较大小；二是结合反比例函数的图象性质（所在象限、增减性）判断。本题直接代入计算更直观简便，第一步先代入各点横坐标求出y₁、y₂、y₃的具体值，第二步按照有理数大小比较规则排序即可。
【解析】
∵ 点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，
∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得：
$y_1 = -\dfrac{9}{-3} = 3$，
$y_2 = -\dfrac{9}{1} = -9$，
$y_3 = -\dfrac{9}{3} = -3$，
∵ $-9 ＜ -3 ＜ 3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，重点考查反比例函数图象上点的坐标性质，直接代入求值比较大小是最简便的解法，也可结合反比例函数的增减性，先根据点所在象限判断纵坐标的正负，再比较同象限内点的纵坐标大小。
【难度系数】
0.8
13. (★★) 如图,在同一平面直角坐标系中,正比例函数$y=ax$与反比例函数$y=\frac{2-a}{x}$相交于点A和点B.若点A的横坐标为1,则点B的坐标为.
答案
$\boldsymbol{(-1,-1)}$
解析
【分析】
解题时首先利用交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，已知点A的横坐标为1，将x=1代入两个函数解析式，根据y值相等列方程求出参数a的值，即可得到点A的坐标；再结合正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，可知两个交点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 点A是正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\frac{2-a}{x}$的交点，且点A的横坐标为1，
∴ 将$x=1$代入两个函数，交点处y值相等，可得：
$a×1=\frac{2-a}{1}$
解得$a=1$
∴ 正比例函数解析式为$y=x$，将$x=1$代入$y=x$，得$y=1$，即点A的坐标为$(1,1)$。
∵ 正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点也关于原点对称，即点B是点A关于原点的对称点。
∵ 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点B的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,-1)}$
【知识点】
函数交点的意义；函数图象的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是函数交点的基础题型，既可以通过先求函数解析式联立解方程求交点，也可以利用对称性快速求解，掌握两种函数的对称性可以简化计算，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，已知点A的横坐标为1，将x=1代入两个函数解析式，根据y值相等列方程求出参数a的值，即可得到点A的坐标；再结合正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，可知两个交点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 点A是正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\frac{2-a}{x}$的交点，且点A的横坐标为1，
∴ 将$x=1$代入两个函数，交点处y值相等，可得：
$a×1=\frac{2-a}{1}$
解得$a=1$
∴ 正比例函数解析式为$y=x$，将$x=1$代入$y=x$，得$y=1$，即点A的坐标为$(1,1)$。
∵ 正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点也关于原点对称，即点B是点A关于原点的对称点。
∵ 关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点B的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,-1)}$
【知识点】
函数交点的意义；函数图象的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是函数交点的基础题型，既可以通过先求函数解析式联立解方程求交点，也可以利用对称性快速求解，掌握两种函数的对称性可以简化计算，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
14. (★★)已知点$A(m,y_1)$,$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上,则下列结论一定正确的是(填序号).
①$y_1＞y_2$; ②$y_1＜y_2$; ③当$m＜0$时,$y_1＜y_2$; ④当$m＜-1$时,$y_1＜y_2$.
①$y_1＞y_2$; ②$y_1＜y_2$; ③当$m＜0$时,$y_1＜y_2$; ④当$m＜-1$时,$y_1＜y_2$.
答案
$\boldsymbol{④}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的基本性质：$k=-3＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，因此要比较$y_1$和$y_2$的大小，需要先判断点$A$、$B$所在的象限，结合$m$的取值范围分类讨论，逐一验证四个结论是否正确。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{3}{x}$，$\because k=-3＜0$，
$\therefore$ 函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
对于①②：由于$m$的取值不确定，点$A$、$B$可能在同一象限，也可能在不同象限，$y_1$和$y_2$的大小关系无法直接确定，故①②均错误。
对于③：当$m＜0$时，若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，故③错误。
对于④：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，即点$A$、$B$都在第二象限，$\because m＜m+1$，根据同一象限内$y$随$x$的增大而增大，可得$y_1＜y_2$，故④正确。
【答案】
④
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，需要结合自变量的取值范围判断点所在的象限后再比较。
【难度系数】
0.65
首先回忆反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的基本性质：$k=-3＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，因此要比较$y_1$和$y_2$的大小，需要先判断点$A$、$B$所在的象限，结合$m$的取值范围分类讨论，逐一验证四个结论是否正确。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{3}{x}$，$\because k=-3＜0$，
$\therefore$ 函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
对于①②：由于$m$的取值不确定，点$A$、$B$可能在同一象限，也可能在不同象限，$y_1$和$y_2$的大小关系无法直接确定，故①②均错误。
对于③：当$m＜0$时，若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，故③错误。
对于④：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，即点$A$、$B$都在第二象限，$\because m＜m+1$，根据同一象限内$y$随$x$的增大而增大，可得$y_1＜y_2$，故④正确。
【答案】
④
【知识点】
反比例函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，需要结合自变量的取值范围判断点所在的象限后再比较。
【难度系数】
0.65
15. (★★★)小彤根据学习函数的经验,对函数$y=\frac{x-1}{x-3}$的图象与性质进行了探究.
下面是小彤探究的过程,请补充完整:
(1)函数$y=\frac{x-1}{x-3}$的自变量$x$的取值范围是________;
(2)下表是$y$与$x$的几组对应值:
则$m$的值为________;
(3)如图,在平面直角坐标系中,画出了图象的一部分,请结合表中数据补全此函数的图象;
(4)观察图象,写出该函数的一条性质:________;
(5)若函数$y=\frac{x-1}{x-3}$的图象上有三个点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$,且$x_1＜3＜x_2＜x_3$,则$y_1,y_2,y_3$之间的大小关系为________(用“＜”连接).
下面是小彤探究的过程,请补充完整:
(1)函数$y=\frac{x-1}{x-3}$的自变量$x$的取值范围是________;
(2)下表是$y$与$x$的几组对应值:
则$m$的值为________;
(3)如图,在平面直角坐标系中,画出了图象的一部分,请结合表中数据补全此函数的图象;
(4)观察图象,写出该函数的一条性质:________;
(5)若函数$y=\frac{x-1}{x-3}$的图象上有三个点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$,且$x_1＜3＜x_2＜x_3$,则$y_1,y_2,y_3$之间的大小关系为________(用“＜”连接).
答案
解：
(1) 由分式分母不为零，得$x-3≠0$，解得$x≠3$，
自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠ 3}$；
(2) 将$x=-1$代入$y=\frac{x-1}{x-3}$，得$m=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；
(3) 描出$x＜3$对应的点$(-2,\frac{3}{5})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(0,\frac{1}{3})$、$(1,0)$、$(2,-1)$，用平滑曲线依次连接各点，得到$x＜3$部分的图象，该图象以直线$x=3$和$y=1$为渐近线，向左延伸逐渐接近直线$y=1$，向右延伸向下趋近于负无穷，最终得到分布在直线$x=3$两侧的完整两支曲线。
(4) 当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，合理即可）；
(5) 将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$：
当$x_1＜3$时，$x_1-3＜0$，因此$y_1=1+\frac{2}{x_1-3}＜1$；
当$3＜x_2＜x_3$时，$x-3＞0$，$y$随$x$增大而减小，因此$1＜y_3＜y_2$；
综上得$\boldsymbol{y_1＜y_3＜y_2}$。
(1) 由分式分母不为零，得$x-3≠0$，解得$x≠3$，
自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠ 3}$；
(2) 将$x=-1$代入$y=\frac{x-1}{x-3}$，得$m=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；
(3) 描出$x＜3$对应的点$(-2,\frac{3}{5})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(0,\frac{1}{3})$、$(1,0)$、$(2,-1)$，用平滑曲线依次连接各点，得到$x＜3$部分的图象，该图象以直线$x=3$和$y=1$为渐近线，向左延伸逐渐接近直线$y=1$，向右延伸向下趋近于负无穷，最终得到分布在直线$x=3$两侧的完整两支曲线。
(4) 当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，合理即可）；
(5) 将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$：
当$x_1＜3$时，$x_1-3＜0$，因此$y_1=1+\frac{2}{x_1-3}＜1$；
当$3＜x_2＜x_3$时，$x-3＞0$，$y$随$x$增大而减小，因此$1＜y_3＜y_2$；
综上得$\boldsymbol{y_1＜y_3＜y_2}$。
解析
【分析】
(1) 对于分式形式的函数，自变量取值需满足分母不为0，据此列不等式即可求解取值范围；
(2) 求对应自变量的函数值，直接将x=-1代入函数解析式计算即可得到m的值；
(3) 补全图像时，先描出表格中x＜3对应的所有点，再用平滑曲线顺次连接，注意图像不能穿过直线x=3，符合渐近线的变化趋势即可；
(4) 观察图像的增减性、对称性、取值范围等特征，写出一条合理的性质即可；
(5) 先将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$，分两段分析：x＜3时函数值均小于1，x＞3时函数值大于1且y随x增大而减小，据此即可比较三个函数值的大小。
【解析】
(1) 要使分式有意义，分母不能为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠3$；
(2) 当$x=-1$时，代入函数解析式得：$m=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$；
(3) 先在坐标系中描出$x＜3$对应的点：$(-2,\frac{3}{5})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(0,\frac{1}{3})$、$(1,0)$、$(2,-1)$，再用平滑曲线依次连接这些点，得到$x＜3$部分的图像，注意图像以直线$x=3$和$y=1$为渐近线，向左延伸逐渐接近$y=1$，向右靠近$x=3$时向下趋近于负无穷，最终得到分布在$x=3$两侧的两支完整曲线；
(4) 观察图像可得：当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，如函数图像关于点$(3,1)$中心对称、当$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小等均可）；
(5) 将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$：①当$x_1＜3$时，$x_1-3＜0$，因此$\frac{2}{x_1-3}＜0$，可得$y_1=1+\frac{2}{x_1-3}＜1$；②当$3＜x_2＜x_3$时，$x-3＞0$，且$y$随$x$的增大而减小，因此$y_2＞y_3＞1$；综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
(1) $x≠3$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 见解析；(4) 当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（合理即可）；(5) $y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
分式有意义的条件，函数值计算，函数性质探究
【点评】
本题是函数探究类常规题，围绕分式型函数的自变量取值、函数值计算、图像绘制、性质总结及应用展开，考查学生对函数探究基本方法的掌握，解题时注意运用分段分析的思路处理函数性质相关问题。
【难度系数】
0.65
(1) 对于分式形式的函数，自变量取值需满足分母不为0，据此列不等式即可求解取值范围；
(2) 求对应自变量的函数值，直接将x=-1代入函数解析式计算即可得到m的值；
(3) 补全图像时，先描出表格中x＜3对应的所有点，再用平滑曲线顺次连接，注意图像不能穿过直线x=3，符合渐近线的变化趋势即可；
(4) 观察图像的增减性、对称性、取值范围等特征，写出一条合理的性质即可；
(5) 先将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$，分两段分析：x＜3时函数值均小于1，x＞3时函数值大于1且y随x增大而减小，据此即可比较三个函数值的大小。
【解析】
(1) 要使分式有意义，分母不能为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠3$；
(2) 当$x=-1$时，代入函数解析式得：$m=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$；
(3) 先在坐标系中描出$x＜3$对应的点：$(-2,\frac{3}{5})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(0,\frac{1}{3})$、$(1,0)$、$(2,-1)$，再用平滑曲线依次连接这些点，得到$x＜3$部分的图像，注意图像以直线$x=3$和$y=1$为渐近线，向左延伸逐渐接近$y=1$，向右靠近$x=3$时向下趋近于负无穷，最终得到分布在$x=3$两侧的两支完整曲线；
(4) 观察图像可得：当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，如函数图像关于点$(3,1)$中心对称、当$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小等均可）；
(5) 将函数变形为$y=1+\frac{2}{x-3}$：①当$x_1＜3$时，$x_1-3＜0$，因此$\frac{2}{x_1-3}＜0$，可得$y_1=1+\frac{2}{x_1-3}＜1$；②当$3＜x_2＜x_3$时，$x-3＞0$，且$y$随$x$的增大而减小，因此$y_2＞y_3＞1$；综上可得$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
(1) $x≠3$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 见解析；(4) 当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小（合理即可）；(5) $y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
分式有意义的条件，函数值计算，函数性质探究
【点评】
本题是函数探究类常规题，围绕分式型函数的自变量取值、函数值计算、图像绘制、性质总结及应用展开，考查学生对函数探究基本方法的掌握，解题时注意运用分段分析的思路处理函数性质相关问题。
【难度系数】
0.65
