登录
7. (★★)已知甲醛检测仪的核心部件为图①所示的气体传感器，$R_1$(单位：$\Omega$)的阻值随空气中甲醛质量浓度$c$(单位：$\mathrm{mg/m}^3$)的变化而变化(如图②). 当甲醛质量浓度$c＞0.1\ \mathrm{mg/m}^3$时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是
【 】
A.空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，$R_1$的阻值逐渐增大
B.当$c=0.8\ \mathrm{mg/m}^3$时，$R_1$的阻值为$25\ \Omega$
C.当$R_1=300\ \Omega$时，甲醛检测仪会报警
D.当房间内甲醛质量浓度低于$0.1\ \mathrm{mg/m}^3$时，$R_1$的阻值高于$200\ \Omega$
【 】
A.空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，$R_1$的阻值逐渐增大
B.当$c=0.8\ \mathrm{mg/m}^3$时，$R_1$的阻值为$25\ \Omega$
C.当$R_1=300\ \Omega$时，甲醛检测仪会报警
D.当房间内甲醛质量浓度低于$0.1\ \mathrm{mg/m}^3$时，$R_1$的阻值高于$200\ \Omega$
答案
C
解析
【分析】首先观察图②，R₁与甲醛质量浓度c成反比例关系，由图中数据（c=0.2mg/m³时R₁=100Ω，c=0.5mg/m³时R₁=40Ω）可得R₁与c的乘积为定值20，即R₁=20/c（Ω）。再结合“c＞0.1mg/m³时检测仪报警”的条件，逐一分析各选项判断对错。
【解析】由图②得R₁与c成反比例，计算得R₁·c=100Ω×0.2mg/m³=20Ω·mg/m³，故R₁=20/c（Ω）。
选项A：当甲醛浓度c减小时，由R₁=20/c可知，R₁的阻值逐渐增大，A正确；
选项B：当c=0.8mg/m³时，代入公式得R₁=20/0.8=25Ω，B正确；
选项C：当R₁=300Ω时，计算得c=20/300≈0.067mg/m³，此时c＜0.1mg/m³，检测仪不会报警，C错误；
选项D：当c＜0.1mg/m³时，R₁=20/c＞20/0.1=200Ω，即R₁阻值高于200Ω，D正确。
综上，错误选项为C。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用、图像分析
【点评】本题结合传感器电阻与浓度的关系，考查反比例函数的应用，关键是从图像中确定R₁与c的定量关系，再结合报警条件分析选项，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】由图②得R₁与c成反比例，计算得R₁·c=100Ω×0.2mg/m³=20Ω·mg/m³，故R₁=20/c（Ω）。
选项A：当甲醛浓度c减小时，由R₁=20/c可知，R₁的阻值逐渐增大，A正确；
选项B：当c=0.8mg/m³时，代入公式得R₁=20/0.8=25Ω，B正确；
选项C：当R₁=300Ω时，计算得c=20/300≈0.067mg/m³，此时c＜0.1mg/m³，检测仪不会报警，C错误；
选项D：当c＜0.1mg/m³时，R₁=20/c＞20/0.1=200Ω，即R₁阻值高于200Ω，D正确。
综上，错误选项为C。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用、图像分析
【点评】本题结合传感器电阻与浓度的关系，考查反比例函数的应用，关键是从图像中确定R₁与c的定量关系，再结合报警条件分析选项，难度适中。
【难度系数】0.5
8. (★★)某商店以4元/件的价格购进某种物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件.
(1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出销售量y关于售价x的函数解析式.
(2)如果该物品的售价不超过7.5元/件，那么每天的销售量至少是多少件？
(3)若该商店计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？
(1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出销售量y关于售价x的函数解析式.
(2)如果该物品的售价不超过7.5元/件，那么每天的销售量至少是多少件？
(3)若该商店计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？
答案
解：
(1) 由题意可知，每天的销售总金额为定值，该定值为 $6 × 50 = 300$ 元，
因此 $xy = 300$，
可得销售量y关于售价x的函数解析式为：
$\boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞4)}$
(2) 已知售价 $x ≤ 7.5$，对于函数 $y = \frac{300}{x}$，其中 $k=300＞0$，当 $x＞0$ 时，y随x的增大而减小，
因此当x取最大值7.5时，y取得最小值：
$y_{\mathrm{最小}} = \frac{300}{7.5} = 40$
即每天的销售量至少是40件。
(3) 由题意，每件物品的利润为 $(x-4)$ 元，总利润为60元，可得方程：
$(x-4)y = 60$
将 $y = \frac{300}{x}$ 代入得：
$(x-4) · \frac{300}{x} = 60$
两边同乘x去分母：
$300(x-4) = 60x$
展开整理：
$300x - 1200 = 60x$
$240x = 1200$
解得 $x=5$
经检验，$x=5$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：(1) 销售量y关于售价x的函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞4)$；(2) 每天的销售量至少是40件；(3) 该物品的售价应定为5元/件。
(1) 由题意可知，每天的销售总金额为定值，该定值为 $6 × 50 = 300$ 元，
因此 $xy = 300$，
可得销售量y关于售价x的函数解析式为：
$\boldsymbol{y = \frac{300}{x} \ (x＞4)}$
(2) 已知售价 $x ≤ 7.5$，对于函数 $y = \frac{300}{x}$，其中 $k=300＞0$，当 $x＞0$ 时，y随x的增大而减小，
因此当x取最大值7.5时，y取得最小值：
$y_{\mathrm{最小}} = \frac{300}{7.5} = 40$
即每天的销售量至少是40件。
(3) 由题意，每件物品的利润为 $(x-4)$ 元，总利润为60元，可得方程：
$(x-4)y = 60$
将 $y = \frac{300}{x}$ 代入得：
$(x-4) · \frac{300}{x} = 60$
两边同乘x去分母：
$300(x-4) = 60x$
展开整理：
$300x - 1200 = 60x$
$240x = 1200$
解得 $x=5$
经检验，$x=5$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：(1) 销售量y关于售价x的函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞4)$；(2) 每天的销售量至少是40件；(3) 该物品的售价应定为5元/件。
解析
【分析】
首先根据题目中“销售总金额为定值”的条件，先计算出总金额，再利用“总金额=售价×销售量”推导y与x的函数关系；第(2)问利用反比例函数的增减性，结合售价上限求销量最小值；第(3)问根据“总利润=每件利润×销售量”，代入已得的函数解析式列方程求解，同时需检验解的实际合理性。
【解析】
(1) 由题意，销售总金额为定值，计算得：$6×50=300$（元），因此售价$x$与销售量$y$满足$xy=300$，整理得$y=\frac{300}{x}$。又因为售价需大于进价4元（否则亏损），故函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x} \ (x＞4)}$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{300}{x}$，$k=300＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知售价$x≤7.5$，因此当$x=7.5$时，$y$取得最小值，代入得$y=\frac{300}{7.5}=40$，即每天的销售量至少是40件。
(3) 每件利润为$(x-4)$元，总利润为60元，根据总利润公式列方程：$(x-4)y=60$。将$y=\frac{300}{x}$代入得：$(x-4)·\frac{300}{x}=60$。去分母得$300(x-4)=60x$，展开整理得$240x=1200$，解得$x=5$。经检验，$x=5$是原方程的解，且符合实际意义（$x=5＞4$，合理）。
【答案】
(1) $y=\frac{300}{x} \ (x＞4)$；(2) 40件；(3) 5元/件
【知识点】
反比例函数的应用、销售利润问题、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查反比例函数的解析式、性质及利润计算，需注意自变量的取值范围（售价大于进价），解题时要理清各量关系，步骤清晰，检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
首先根据题目中“销售总金额为定值”的条件，先计算出总金额，再利用“总金额=售价×销售量”推导y与x的函数关系；第(2)问利用反比例函数的增减性，结合售价上限求销量最小值；第(3)问根据“总利润=每件利润×销售量”，代入已得的函数解析式列方程求解，同时需检验解的实际合理性。
【解析】
(1) 由题意，销售总金额为定值，计算得：$6×50=300$（元），因此售价$x$与销售量$y$满足$xy=300$，整理得$y=\frac{300}{x}$。又因为售价需大于进价4元（否则亏损），故函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x} \ (x＞4)}$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{300}{x}$，$k=300＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知售价$x≤7.5$，因此当$x=7.5$时，$y$取得最小值，代入得$y=\frac{300}{7.5}=40$，即每天的销售量至少是40件。
(3) 每件利润为$(x-4)$元，总利润为60元，根据总利润公式列方程：$(x-4)y=60$。将$y=\frac{300}{x}$代入得：$(x-4)·\frac{300}{x}=60$。去分母得$300(x-4)=60x$，展开整理得$240x=1200$，解得$x=5$。经检验，$x=5$是原方程的解，且符合实际意义（$x=5＞4$，合理）。
【答案】
(1) $y=\frac{300}{x} \ (x＞4)$；(2) 40件；(3) 5元/件
【知识点】
反比例函数的应用、销售利润问题、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查反比例函数的解析式、性质及利润计算，需注意自变量的取值范围（售价大于进价），解题时要理清各量关系，步骤清晰，检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
