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1. (★★)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB,AC分别与小圆相切于点D,E. AB与AC相等吗?为什么?
答案
解：$AB=AC$，理由如下：
连接$OD$，$OE$。
∵ $AB$与小圆相切于点$D$，$AC$与小圆相切于点$E$，
∴ $OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$。
∵ $OD$，$OE$均为小圆的半径，
∴ $OD=OE$。
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，$E$是$AC$的中点，
即 $AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ AOE$中，
$\begin{cases}OA=OA\\OD=OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ AOE(\mathrm{HL})$，
∴ $AD=AE$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，
即 $AB=AC$。
连接$OD$，$OE$。
∵ $AB$与小圆相切于点$D$，$AC$与小圆相切于点$E$，
∴ $OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$。
∵ $OD$，$OE$均为小圆的半径，
∴ $OD=OE$。
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，$E$是$AC$的中点，
即 $AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ AOE$中，
$\begin{cases}OA=OA\\OD=OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ AOE(\mathrm{HL})$，
∴ $AD=AE$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，
即 $AB=AC$。
解析
【分析】
要判断AB与AC是否相等，可结合圆的性质逐步推导：首先AB、AC是小圆的切线，根据切线的性质，连接圆心O与切点D、E，可得到OD⊥AB、OE⊥AC；其次OD、OE都是小圆的半径，二者长度相等，结合垂径定理可知D、E分别是AB、AC的中点，因此只需证明AD=AE即可推出AB=AC；观察可知AD、AE分别在Rt△AOD和Rt△AOE中，两个三角形有公共斜边OA，直角边OD=OE，可通过HL判定全等得到AD=AE，进而推导得到AB=AC。
【解析】
连接$OD$，$OE$。
∵ $AB$与小圆相切于点$D$，$AC$与小圆相切于点$E$，
∴ $OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$。
∵ $OD$，$OE$均为小圆的半径，
∴ $OD=OE$。
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，$E$是$AC$的中点，
即 $AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ AOE$中，
$\begin{cases}OA=OA\\OD=OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ AOE(\mathrm{HL})$，
∴ $AD=AE$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，
即 $AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；全等三角形判定
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题核心是构造“圆心连切点”的常用辅助线，结合切线性质、垂径定理和全等三角形的知识推导线段关系，能帮助学生掌握圆的切线相关辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
要判断AB与AC是否相等，可结合圆的性质逐步推导：首先AB、AC是小圆的切线，根据切线的性质，连接圆心O与切点D、E，可得到OD⊥AB、OE⊥AC；其次OD、OE都是小圆的半径，二者长度相等，结合垂径定理可知D、E分别是AB、AC的中点，因此只需证明AD=AE即可推出AB=AC；观察可知AD、AE分别在Rt△AOD和Rt△AOE中，两个三角形有公共斜边OA，直角边OD=OE，可通过HL判定全等得到AD=AE，进而推导得到AB=AC。
【解析】
连接$OD$，$OE$。
∵ $AB$与小圆相切于点$D$，$AC$与小圆相切于点$E$，
∴ $OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$。
∵ $OD$，$OE$均为小圆的半径，
∴ $OD=OE$。
由垂径定理可得：$D$是$AB$的中点，$E$是$AC$的中点，
即 $AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ AOE$中，
$\begin{cases}OA=OA\\OD=OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ AOE(\mathrm{HL})$，
∴ $AD=AE$，
∴ $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，
即 $AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；全等三角形判定
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题核心是构造“圆心连切点”的常用辅助线，结合切线性质、垂径定理和全等三角形的知识推导线段关系，能帮助学生掌握圆的切线相关辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
2. (★★)如图，AB为$\odot O$的直径，$\odot O$的切线DC与BA的延长线交于点C，连接BD，AD，过点B作$BE ⊥ CD$交CD的延长线于点E. 求证：$∠ ABD = ∠ EBD$.
答案
证明：
连接OD，
∵ DC是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD ⊥ DC$，
又∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $OD // BE$，
∴ $∠ EBD = ∠ ODB$，
∵ 在$\odot O$中，$OD = OB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ODB$，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
连接OD，
∵ DC是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD ⊥ DC$，
又∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $OD // BE$，
∴ $∠ EBD = ∠ ODB$，
∵ 在$\odot O$中，$OD = OB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ODB$，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
解析
【分析】
要证明∠ABD=∠EBD，可通过中间角等量代换推导。首先遇到圆的切线，优先考虑连接过切点的半径，利用切线性质得到垂直关系：连接OD后，由切线性质可得OD⊥CD，结合已知BE⊥CD，可推出OD与BE平行，进而得到∠EBD=∠ODB；再根据圆的半径相等，OD=OB，可得△ODB是等腰三角形，推出∠ABD=∠ODB，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ DC是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD ⊥ DC$，
又
∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $OD // BE$，
∴ $∠ EBD = ∠ ODB$，
∵ 在$\odot O$中，$OD = OB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ODB$，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
【答案】
$∠ ABD = ∠ EBD$，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的常用辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质即可快速推导角的等量关系。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABD=∠EBD，可通过中间角等量代换推导。首先遇到圆的切线，优先考虑连接过切点的半径，利用切线性质得到垂直关系：连接OD后，由切线性质可得OD⊥CD，结合已知BE⊥CD，可推出OD与BE平行，进而得到∠EBD=∠ODB；再根据圆的半径相等，OD=OB，可得△ODB是等腰三角形，推出∠ABD=∠ODB，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ DC是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD ⊥ DC$，
又
∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $OD // BE$，
∴ $∠ EBD = ∠ ODB$，
∵ 在$\odot O$中，$OD = OB$，
∴ $∠ ABD = ∠ ODB$，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
【答案】
$∠ ABD = ∠ EBD$，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查切线性质的应用，解题的关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的常用辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质即可快速推导角的等量关系。
【难度系数】
0.8
3. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以腰AB为直径作$\odot O$交底边BC于点P,$PE ⊥ AC$,垂足为E.求证:PE是$\odot O$的切线.
答案
证明：连接$OP$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
解析
【分析】
要证明PE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知点P在$\odot O$上，只需证明半径OP与PE垂直即可。首先连接辅助线OP，利用等腰三角形性质推导角的等量关系：由$AB=AC$可得底角$∠ B=∠ C$，由半径相等$OB=OP$可得$∠ B=∠ OPB$，进而推出$∠ OPB=∠ C$，根据同位角相等可得$OP// AC$；再结合已知$PE⊥ AC$，即可推出$PE⊥ OP$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接$OP$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接$OP$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线判定的基础典型题，用到了切线证明中“连半径，证垂直”的常用思路，通过角的等量关系转化得到平行关系，进而推导垂直，逻辑链条清晰，熟练掌握切线判定方法和等腰三角形相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要证明PE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知点P在$\odot O$上，只需证明半径OP与PE垂直即可。首先连接辅助线OP，利用等腰三角形性质推导角的等量关系：由$AB=AC$可得底角$∠ B=∠ C$，由半径相等$OB=OP$可得$∠ B=∠ OPB$，进而推出$∠ OPB=∠ C$，根据同位角相等可得$OP// AC$；再结合已知$PE⊥ AC$，即可推出$PE⊥ OP$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接$OP$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接$OP$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
$\because OB=OP$，
$\therefore ∠ B = ∠ OPB$，
$\therefore ∠ OPB = ∠ C$，
$\therefore OP // AC$。
$\because PE ⊥ AC$，
$\therefore PE ⊥ OP$。
又$\because OP$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线判定的基础典型题，用到了切线证明中“连半径，证垂直”的常用思路，通过角的等量关系转化得到平行关系，进而推导垂直，逻辑链条清晰，熟练掌握切线判定方法和等腰三角形相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4. (★★)如图,AB为$\odot O$的直径,BC是$\odot O$的切线,切点为B,OC平行于弦AD.
(1)求证:DC是$\odot O$的切线;
(2)直线AB与CD交于点F,且$DF=4$, $AF=2$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:DC是$\odot O$的切线;
(2)直线AB与CD交于点F,且$DF=4$, $AF=2$,求$\odot O$的半径长.
答案
(1) 证明：
连接OD。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ DAO = ∠ COB$，$∠ ADO = ∠ COD$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ DAO = ∠ ADO$，
∴ $∠ COD = ∠ COB$。
在$△ COD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OD = OB \\∠ COD = ∠ COB \\OC = OC\end{cases}$
∴ $△ COD ≌ △ COB$（SAS），
∴ $∠ CDO = ∠ CBO$。
∵ $BC$是$\odot O$的切线，
∴ $OB⊥ BC$，即$∠ CBO = 90°$，
∴ $∠ CDO = 90°$，即$OD⊥ DC$。
又∵ $OD$是$\odot O$的半径，
∴ $DC$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = r$，$OF = AF + OA = 2 + r$。
∵ $DC$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DF$，即$∠ FDO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDO$中，由勾股定理得：
$DF^2 + OD^2 = OF^2$
代入$DF=4$：
$4^2 + r^2 = (2 + r)^2$
展开化简：
$16 + r^2 = r^2 + 4r + 4$
$4r = 12$
解得$r=3$。
∴ $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{3}$。
连接OD。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ DAO = ∠ COB$，$∠ ADO = ∠ COD$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ DAO = ∠ ADO$，
∴ $∠ COD = ∠ COB$。
在$△ COD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OD = OB \\∠ COD = ∠ COB \\OC = OC\end{cases}$
∴ $△ COD ≌ △ COB$（SAS），
∴ $∠ CDO = ∠ CBO$。
∵ $BC$是$\odot O$的切线，
∴ $OB⊥ BC$，即$∠ CBO = 90°$，
∴ $∠ CDO = 90°$，即$OD⊥ DC$。
又∵ $OD$是$\odot O$的半径，
∴ $DC$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = r$，$OF = AF + OA = 2 + r$。
∵ $DC$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DF$，即$∠ FDO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDO$中，由勾股定理得：
$DF^2 + OD^2 = OF^2$
代入$DF=4$：
$4^2 + r^2 = (2 + r)^2$
展开化简：
$16 + r^2 = r^2 + 4r + 4$
$4r = 12$
解得$r=3$。
∴ $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明DC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD垂直于DC。已知BC是⊙O的切线，可得∠CBO=90°，结合AD//OC的平行线性质、OA=OD的等腰三角形等边对等角性质，可推出∠COD=∠COB，再通过SAS证明△COD和△COB全等，即可得到∠CDO=∠CBO=90°，完成切线证明。
(2) 求⊙O的半径，可设半径为r，利用切线的性质得到△FDO是直角三角形，将OD、OF的长度用含r的式子表示后，代入勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OD。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ DAO = ∠ COB$，$∠ ADO = ∠ COD$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ DAO = ∠ ADO$，
∴ $∠ COD = ∠ COB$。
在$△ COD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OD = OB \\∠ COD = ∠ COB \\OC = OC\end{cases}$
∴ $△ COD ≌ △ COB$（SAS），
∴ $∠ CDO = ∠ CBO$。
∵ $BC$是$\odot O$的切线，
∴ $OB⊥ BC$，即$∠ CBO = 90°$，
∴ $∠ CDO = 90°$，即$OD⊥ DC$。
又
∵ $OD$是$\odot O$的半径，
∴ $DC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = r$，$OF = AF + OA = 2 + r$。
∵ $DC$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DF$，即$∠ FDO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDO$中，由勾股定理得：
$DF^2 + OD^2 = OF^2$
代入$DF=4$：
$4^2 + r^2 = (2 + r)^2$
展开化简：
$16 + r^2 = r^2 + 4r + 4$
$4r = 12$
解得$r=3$。
【答案】
(1) DC是$\odot O$的切线，证明成立；(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问的解题关键是掌握切线判定的常用辅助线思路“连半径，证垂直”，第二问运用方程思想结合勾股定理求线段长，是圆类题型的常见考法，解题逻辑清晰，侧重基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD垂直于DC。已知BC是⊙O的切线，可得∠CBO=90°，结合AD//OC的平行线性质、OA=OD的等腰三角形等边对等角性质，可推出∠COD=∠COB，再通过SAS证明△COD和△COB全等，即可得到∠CDO=∠CBO=90°，完成切线证明。
(2) 求⊙O的半径，可设半径为r，利用切线的性质得到△FDO是直角三角形，将OD、OF的长度用含r的式子表示后，代入勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OD。
∵ $AD// OC$，
∴ $∠ DAO = ∠ COB$，$∠ ADO = ∠ COD$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ DAO = ∠ ADO$，
∴ $∠ COD = ∠ COB$。
在$△ COD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OD = OB \\∠ COD = ∠ COB \\OC = OC\end{cases}$
∴ $△ COD ≌ △ COB$（SAS），
∴ $∠ CDO = ∠ CBO$。
∵ $BC$是$\odot O$的切线，
∴ $OB⊥ BC$，即$∠ CBO = 90°$，
∴ $∠ CDO = 90°$，即$OD⊥ DC$。
又
∵ $OD$是$\odot O$的半径，
∴ $DC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = r$，$OF = AF + OA = 2 + r$。
∵ $DC$是$\odot O$的切线，
∴ $OD⊥ DF$，即$∠ FDO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDO$中，由勾股定理得：
$DF^2 + OD^2 = OF^2$
代入$DF=4$：
$4^2 + r^2 = (2 + r)^2$
展开化简：
$16 + r^2 = r^2 + 4r + 4$
$4r = 12$
解得$r=3$。
【答案】
(1) DC是$\odot O$的切线，证明成立；(2) $\odot O$的半径长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问的解题关键是掌握切线判定的常用辅助线思路“连半径，证垂直”，第二问运用方程思想结合勾股定理求线段长，是圆类题型的常见考法，解题逻辑清晰，侧重基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
