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11. (★★)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径长为。
答案
解：连接OA。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=2，
∴OA = $\frac{1}{2}$ PO = 1，
即⊙O的半径长为$\boldsymbol{1}$。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=2，
∴OA = $\frac{1}{2}$ PO = 1，
即⊙O的半径长为$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接圆心与切点，构造垂直关系作为解题突破口：①先连接OA，根据切线的性质可得OA⊥PA，得到Rt△OAP；②PA、PB是⊙O的两条切线，根据切线长定理可知PO平分∠APB，结合已知∠APB=60°，可求出∠APO=30°；③在Rt△OAP中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合PO=2即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：连接OA。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=2，
∴OA = $\frac{1}{2}$ PO = 1，
即⊙O的半径长为1。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线问题的常用辅助线作法，结合切线长定理得到角的度数，再利用特殊直角三角形的性质计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接圆心与切点，构造垂直关系作为解题突破口：①先连接OA，根据切线的性质可得OA⊥PA，得到Rt△OAP；②PA、PB是⊙O的两条切线，根据切线长定理可知PO平分∠APB，结合已知∠APB=60°，可求出∠APO=30°；③在Rt△OAP中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，结合PO=2即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：连接OA。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PO平分∠APB，
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=30°，PO=2，
∴OA = $\frac{1}{2}$ PO = 1，
即⊙O的半径长为1。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线问题的常用辅助线作法，结合切线长定理得到角的度数，再利用特殊直角三角形的性质计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如图,一圆与四边形ABCD的各边均相切,且$BC=10$,$AD=7$,则四边形ABCD的周长为
【】
A.32
B.34
C.36
D.38
【】
A.32
B.34
C.36
D.38
答案
B
解析
【分析】
解题第一步先判断四边形类型：已知四边形ABCD的四条边都与同一圆相切，因此它是圆的外切四边形；第二步回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等；第三步结合已知边长，先计算一组对边的和，再利用性质得到另一组对边的和，相加即可得到四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边都与圆相切，
∴ 四边形ABCD是圆的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$AB + CD = AD + BC$。
已知$AD=7$，$BC=10$，代入得：$AD + BC = 7 + 10 = 17$，因此$AB + CD = 17$。
四边形ABCD的周长 $= AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 17 + 17 = 34$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，解题的核心是熟记圆外切四边形对边和相等的性质，不需要复杂推导即可求解。
【难度系数】
0.7
解题第一步先判断四边形类型：已知四边形ABCD的四条边都与同一圆相切，因此它是圆的外切四边形；第二步回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等；第三步结合已知边长，先计算一组对边的和，再利用性质得到另一组对边的和，相加即可得到四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边都与圆相切，
∴ 四边形ABCD是圆的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$AB + CD = AD + BC$。
已知$AD=7$，$BC=10$，代入得：$AD + BC = 7 + 10 = 17$，因此$AB + CD = 17$。
四边形ABCD的周长 $= AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (AD + BC) = 17 + 17 = 34$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆外切四边形的性质
2. 四边形周长计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆外切四边形性质的直接应用，解题的核心是熟记圆外切四边形对边和相等的性质，不需要复杂推导即可求解。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D. F为$\odot O$上的点，连接AF，BF，若PA=5，$∠ P=40°$，则$△ PCD$的周长和$∠ AFB$的度数分别为 【 】
A.10,40°
B.10,80°
C.15,70°
D.10,70°
A.10,40°
B.10,80°
C.15,70°
D.10,70°
答案
D
解析
【分析】
解题分两部分思考：①求△PCD周长：回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得PA=PB、CA=CE、DB=DE，将△PCD的周长拆分后转化为PA+PB即可计算；②求∠AFB度数：先根据切线的性质得OA⊥PA、OB⊥PB，结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=5$，$CA=CE$，$DB=DE$
$△ PCD$的周长$=PC + CD + PD = PC + CE + ED + PD$
将$CE=CA$、$ED=DB$代入得：
周长$=PC + CA + PD + DB = PA + PB = 5 + 5 = 10$
2. 计算∠AFB的度数：
连接OA、OB，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ P=40°$
∴$∠ AOB = 360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ P = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°$
∵$∠ AFB$是劣弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是劣弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理：$∠ AFB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×140° = 70°$
综上，$△ PCD$的周长为10，$∠ AFB$为$70°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线相关性质的应用，解题关键是会用切线长定理转化线段长度，结合圆周角定理计算角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题分两部分思考：①求△PCD周长：回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得PA=PB、CA=CE、DB=DE，将△PCD的周长拆分后转化为PA+PB即可计算；②求∠AFB度数：先根据切线的性质得OA⊥PA、OB⊥PB，结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=5$，$CA=CE$，$DB=DE$
$△ PCD$的周长$=PC + CD + PD = PC + CE + ED + PD$
将$CE=CA$、$ED=DB$代入得：
周长$=PC + CA + PD + DB = PA + PB = 5 + 5 = 10$
2. 计算∠AFB的度数：
连接OA、OB，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ P=40°$
∴$∠ AOB = 360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ P = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°$
∵$∠ AFB$是劣弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是劣弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理：$∠ AFB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×140° = 70°$
综上，$△ PCD$的周长为10，$∠ AFB$为$70°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线相关性质的应用，解题关键是会用切线长定理转化线段长度，结合圆周角定理计算角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器. 
是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长.
使用方法:如图②所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为B, .
求证:.
是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长.使用方法:如图②所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为B, .
求证:.
答案
补充已知：
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补充求证：
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ EBA$和$△ EBO$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ EBA ≌ △ EBO(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，根据切线的性质得$OF⊥ EN$，
又$\because OB⊥ EB$，且$OB,OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到$∠ BEN$两边$EB,EN$的距离相等，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEF$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补充求证：
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ EBA$和$△ EBO$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ EBA ≌ △ EBO(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，根据切线的性质得$OF⊥ EN$，
又$\because OB⊥ EB$，且$OB,OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到$∠ BEN$两边$EB,EN$的距离相等，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEF$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
解析
【分析】
首先根据题中对三分角器的构造和使用说明补全已知和求证：已知需补充AB与半圆半径相等即$AB=OB$、$EN$与半圆$O$相切于$F$、点$A$在$EM$上这三个条件；求证为$EB,EO$把$∠MEN$三等分，即三个角相等。证明分两步推进：第一步利用垂直得到直角，结合$AB=OB$和公共边$EB$，用SAS证明$△ EBA≌△ EBO$，得到前两个角相等；第二步利用切线性质得到$OF⊥EN$，结合$OB⊥EB$、$OB=OF$，用角平分线判定定理得到$EO$平分$∠BEN$，即后两个角相等，联立即可证明三等分结论。
【解析】
补充已知：
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补充求证：
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ EBA$和$△ EBO$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ EBA ≌ △ EBO(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，根据切线的性质得$OF⊥ EN$，
又$\because OB⊥ EB$，且$OB,OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到$∠ BEN$两边$EB,EN$的距离相等，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEF$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
【答案】
已知补充：$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上；
求证：$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分；证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，切线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题以数学史上的三等分角问题为背景，结合实际工具的应用考查几何核心定理的综合运用，解题时需要学生准确梳理题干隐含条件，逐步推导角的等量关系，能很好地锻炼逻辑推理能力，同时让学生体会数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
首先根据题中对三分角器的构造和使用说明补全已知和求证：已知需补充AB与半圆半径相等即$AB=OB$、$EN$与半圆$O$相切于$F$、点$A$在$EM$上这三个条件；求证为$EB,EO$把$∠MEN$三等分，即三个角相等。证明分两步推进：第一步利用垂直得到直角，结合$AB=OB$和公共边$EB$，用SAS证明$△ EBA≌△ EBO$，得到前两个角相等；第二步利用切线性质得到$OF⊥EN$，结合$OB⊥EB$、$OB=OF$，用角平分线判定定理得到$EO$平分$∠BEN$，即后两个角相等，联立即可证明三等分结论。
【解析】
补充已知：
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补充求证：
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ EBA$和$△ EBO$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ EBA ≌ △ EBO(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，根据切线的性质得$OF⊥ EN$，
又$\because OB⊥ EB$，且$OB,OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到$∠ BEN$两边$EB,EN$的距离相等，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEF$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
【答案】
已知补充：$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上；
求证：$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEF$，即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分；证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，切线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题以数学史上的三等分角问题为背景，结合实际工具的应用考查几何核心定理的综合运用，解题时需要学生准确梳理题干隐含条件，逐步推导角的等量关系，能很好地锻炼逻辑推理能力，同时让学生体会数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
