6. (★)如图，PA，PB是$\odot O$的切线，AC是$\odot O$的直径，$∠ C=55°$，则$∠ APB$等于【 】


A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$

D

【分析】
解题时先从已知条件出发：首先∠ACB是弧AB对应的圆周角，可利用圆周角定理求出对应的圆心角∠AOB的度数；再结合PA、PB是圆的切线，根据切线性质可知切线垂直于过切点的半径，得到∠OAP和∠OBP均为直角；最后利用四边形内角和为360°，即可求出∠APB的度数。也可结合切线长定理，通过等腰三角形的角度计算求解。
【解析】
解：
∵同弧AB所对的圆周角为∠ACB=55°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
∵四边形OAPB的内角和为360°
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是利用圆周角定理搭建已知角和圆心角的桥梁，再结合切线的性质计算角度，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

7. (★★)如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，C是优弧$\overset{\frown}{ACB}$上的一点(不与A，B重合)，连接AC，BC，若$∠ P=α$，则$∠ ACB$的度数为


A.$90°+\frac{1}{2}α$
B.$90°-\frac{1}{2}α$
C.$180°-α$
D.$180°-\frac{1}{2}α$

B

【分析】
本题可通过构造辅助线求解：首先根据切线的性质，连接圆心与切点OA、OB，得到两个直角；再利用四边形内角和为360°，求出圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-α=180°-α$，
∵$∠ ACB$是优弧$\overset{\frown}{ACB}$上的圆周角，所对的弧为劣弧$\overset{\frown}{AB}$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是连接圆心与切点构造辅助线，将待求圆周角和已知角通过圆心角建立关联，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

8. (★★)如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D.若$AB=8$，$AC=6$，则BD的长为.

(第8题) (第9题)

$\boldsymbol{2}$

【分析】
本题可利用切线长定理解题，首先明确：从圆外一点向圆引两条切线，两条切线的长度相等。第一步，先看圆外点A引出的两条切线AC、AP，可得二者长度相等，由AC的长度即可求出AP的长度；第二步，用AB的总长度减去AP的长度，得到BP的长度；第三步，再看圆外点B引出的两条切线BP、BD，二者长度相等，即可由BP的长度得到BD的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵AC、AP是点A向⊙O引出的两条切线，切点分别为C、P，
∴$AP=AC=6$，
∵$AB=8$，
∴$BP=AB-AP=8-6=2$，
又
∵BP、BD是点B向⊙O引出的两条切线，切点分别为P、D，
∴$BD=BP=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于切线长定理的基础应用题型，解题的关键是找准圆外同一点引出的两条切线，利用切线长相等的性质转化线段关系，结合线段的和差计算即可得出结果，是圆章节的常见基础题。
【难度系数】
0.8

9. (★★)如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，$\odot O$的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在$\overset{\frown}{AB}$上，若PA长为2，则$△ PEF$的周长是。

$\boldsymbol{4}$

【分析】
本题可利用切线长定理解答，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先由PA、PB是⊙O的切线可得PA=PB=2；再由EF是⊙O的切线，可知从E点引出的两条切线EA=EC，从F点引出的两条切线FB=FC。接下来将△PEF的周长拆分，通过等量代换转化为PA与PB的和，即可求出周长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PA=2，
∴ PB=PA=2，
又
∵ EF是⊙O的切线，切点为C，
∴ EA=EC，FB=FC，
△PEF的周长为：
$C_{△ PEF}=PE + EF + PF$
$=PE + EC + CF + PF$
将EC替换为EA，CF替换为FB，得：
$=PE + EA + FB + PF$
$=(PE+EA)+(PF+FB)$
$=PA + PB$
$=2+2=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练运用切线长定理进行边长的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，计算难度低，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

10. (★★)如图,在矩形ABCD中,求作$\odot O$,使$\odot O$经过B,C两点且与AD边相切.小明的作法如下:
①作线段BC的垂直平分线$l_1$,交线段AD于点E;
②连接CE,作线段CE的垂直平分线$l_2$,交$l_1$于点O;
③以点O为圆心,EO长为半径作圆.
$\odot O$即为所求作的圆.

(1)根据小明的作法,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明过程:
证明:连接OB,OC.
∵ $l_1$垂直平分线段BC,
∴ $OB=OC,OE⊥ BC$.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $AD// BC$.
∴ $OE⊥ AD$.
∵ OE为$\odot O$的半径,
∴ $\odot O$与AD相切()(填推理的依据).
∵ $l_2$垂直平分线段CE,
∴ $OC=$.
$\therefore OB=OC=OE$.
$\therefore \odot O$经过B,C两点且与AD边相切.

解：
(1) 补全图形：
分别以点C、E为圆心，大于$\frac{1}{2}CE$的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线得到线段CE的垂直平分线$l_2$，标记$l_2$与$l_1$的交点为O；再以点O为圆心，EO长为半径作圆，保留所有尺规作图的弧痕与直线痕迹，得到符合要求的$\odot O$。
(2) 第一个推理依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
第二个空：$\boldsymbol{OE}$。

【分析】
(1) 作图思路：要补全图形，首先按照尺规作线段垂直平分线的方法作出CE的垂直平分线$l_2$，找到$l_2$与$l_1$的交点O，再以O为圆心、EO为半径画圆即可，注意保留所有作图痕迹。
(2) 证明思路：第一空需结合切线的判定条件推导依据，已知OE垂直AD且OE是半径，对应切线的判定定理；第二空利用线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即可得到OC对应的线段长度。
【解析】
(1) 补全图形步骤：
①分别以点C、E为圆心，取大于$\frac{1}{2}CE$的长度为半径画弧，两弧在CE两侧各有1个交点，过这两个交点作直线，得到线段CE的垂直平分线$l_2$，标记$l_2$与$l_1$的交点为O；
②以点O为圆心，EO的长度为半径作圆，保留所有作图的弧痕、直线痕迹，即得到所求$\odot O$。
(2) 证明填空：
第一处：已知$OE⊥ AD$，且OE是$\odot O$的半径，符合切线的判定条件，所以推理依据是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
第二处：因为$l_2$垂直平分线段CE，根据线段垂直平分线的性质，点O在$l_2$上，因此$OC=OE$。
【答案】
(1) 按上述尺规作图方法补全图形，保留作图痕迹即可；
(2) 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；$\boldsymbol{OE}$
【知识点】
切线的判定；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图和基础几何证明，考查核心几何定理的应用，解题时只要熟练掌握切线判定规则和线段垂直平分线的性质，就能快速作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8