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1. (★)经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长，叫作这点到圆的切线长。
答案
解：线段
解析
【分析】
这是一道概念识记类题目，考查切线长的定义。解题时首先要区分切线和切线长的差异：切线是过切点的直线，没有固定长度；而切线长是有确定数值的长度，对应切线上圆外点和切点这两个端点之间的部分，只有线段才有确定长度，因此结合定义即可确定空缺处的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。切线是没有长度的直线，只有两点之间的线段可度量长度，因此空缺处应填“线段”。
【答案】
线段
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对教材基础定义的记忆与理解，熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这是一道概念识记类题目，考查切线长的定义。解题时首先要区分切线和切线长的差异：切线是过切点的直线，没有固定长度；而切线长是有确定数值的长度，对应切线上圆外点和切点这两个端点之间的部分，只有线段才有确定长度，因此结合定义即可确定空缺处的内容。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。切线是没有长度的直线，只有两点之间的线段可度量长度，因此空缺处应填“线段”。
【答案】
线段
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对教材基础定义的记忆与理解，熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. (★)从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且这一点和圆心的连线平分的夹角.
如图，几何语言：
∵ PA,PB分别与$\odot O$相切于点A,B，
∴ PA PB，∠APO ∠BPO.
如图，几何语言：
∵ PA,PB分别与$\odot O$相切于点A,B，
∴ PA PB，∠APO ∠BPO.
答案
解：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
$\because$ $PA,PB$分别与$\odot O$相切于点$A,B$，
$\therefore$ $PA \boldsymbol{=} PB$，$∠ APO \boldsymbol{=} ∠ BPO$。
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
$\because$ $PA,PB$分别与$\odot O$相切于点$A,B$，
$\therefore$ $PA \boldsymbol{=} PB$，$∠ APO \boldsymbol{=} ∠ BPO$。
解析
【分析】
本题考查切线长定理的内容与几何应用，解题时首先回忆切线长定理的核心结论：从圆外一点引圆的两条切线时，有两个关键结论，一是两条切线的长度相等，二是该点与圆心的连线会平分两条切线的夹角，再对应题目的几何表述，直接根据定理补全内容和等量关系即可。
【解析】
根据切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
已知PA、PB分别是⊙O过点P的两条切线，切点为A、B，因此PA、PB是同一点引出的两条切线长，可得PA=PB；
PO为点P与圆心O的连线，根据定理它平分两条切线的夹角∠APB，因此∠APO=∠BPO。
【答案】
切线长；两条切线；=；=
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对切线长定理的记忆和几何语言的规范应用，掌握该定理是解决圆的相关几何计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长定理的内容与几何应用，解题时首先回忆切线长定理的核心结论：从圆外一点引圆的两条切线时，有两个关键结论，一是两条切线的长度相等，二是该点与圆心的连线会平分两条切线的夹角，再对应题目的几何表述，直接根据定理补全内容和等量关系即可。
【解析】
根据切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
已知PA、PB分别是⊙O过点P的两条切线，切点为A、B，因此PA、PB是同一点引出的两条切线长，可得PA=PB；
PO为点P与圆心O的连线，根据定理它平分两条切线的夹角∠APB，因此∠APO=∠BPO。
【答案】
切线长；两条切线；=；=
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对切线长定理的记忆和几何语言的规范应用，掌握该定理是解决圆的相关几何计算、证明题的基础。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图,从$\odot O$外一点P引$\odot O$的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果$∠ APB=60°$,PA=8,那么弦AB的长为 【 】
A.8
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
A.8
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知PA、PB是⊙O的两条切线，首先联想到切线长定理，可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠APB=60°，根据等边三角形的判定定理，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此△PAB是等边三角形，三边相等，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：PA=PB
又
∵∠APB=60°
∴△PAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AB=PA
∵PA=8
∴AB=8
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的切线性质和三角形的判定结合考查，解题关键是先利用切线长定理得到等腰三角形，再结合角度条件判定等边三角形，进而得到边长关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知PA、PB是⊙O的两条切线，首先联想到切线长定理，可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠APB=60°，根据等边三角形的判定定理，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此△PAB是等边三角形，三边相等，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：PA=PB
又
∵∠APB=60°
∴△PAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴AB=PA
∵PA=8
∴AB=8
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的切线性质和三角形的判定结合考查，解题关键是先利用切线长定理得到等腰三角形，再结合角度条件判定等边三角形，进而得到边长关系。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,PA,PB是$\odot O$的切线,切点分别为A,B,如果$∠ P=60°$,那么$∠ AOB$等于度.
答案
$\boldsymbol{120}$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，即可得到两个直角；再结合四边形内角和为360°，已知∠P的度数，代入计算即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
∵四边形OAPB的内角和为360°
∴∠OAP+∠OBP+∠P+∠AOB=360°
将∠OAP=90°，∠OBP=90°，∠P=60°代入得：
90°+90°+60°+∠AOB=360°
解得∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
【答案】
120
【知识点】
切线的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线性质的应用，解题的关键是牢记切线垂直于过切点的半径，结合四边形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据切线的性质，得到OA与PA垂直、OB与PB垂直，即可得到两个直角；再结合四边形内角和为360°，已知∠P的度数，代入计算即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°
∵四边形OAPB的内角和为360°
∴∠OAP+∠OBP+∠P+∠AOB=360°
将∠OAP=90°，∠OBP=90°，∠P=60°代入得：
90°+90°+60°+∠AOB=360°
解得∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°
【答案】
120
【知识点】
切线的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线性质的应用，解题的关键是牢记切线垂直于过切点的半径，结合四边形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.9
5. (★)学了圆的切线这节内容后,小郑设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知:如图,⊙O及⊙O外任意一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:①连接OP;
②分别以点O,P为圆心,以大于$\frac{1}{2}OP$长为半径画弧,交点为A,B,作直线AB,交OP于点M;
③以点M为圆心,OM的长为半径画圆,交⊙O于C,D两点;
④作直线CP,DP,即直线CP,DP为所求的切线.
(1)在图中,使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)将下面的证明过程补充完整.
证明:在图中连接OC,OD.
∵ OP为⊙M的直径,
∴ ∠ODP=90°()(填写推理依据).
∴ OD⊥DP.
又∵ OD是⊙O的半径,
∴ DP是⊙O的切线()
)(填写推理依据).
同理CP是⊙O的切线.
已知:如图,⊙O及⊙O外任意一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:①连接OP;
②分别以点O,P为圆心,以大于$\frac{1}{2}OP$长为半径画弧,交点为A,B,作直线AB,交OP于点M;
③以点M为圆心,OM的长为半径画圆,交⊙O于C,D两点;
④作直线CP,DP,即直线CP,DP为所求的切线.
(1)在图中,使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)将下面的证明过程补充完整.
证明:在图中连接OC,OD.
∵ OP为⊙M的直径,
∴ ∠ODP=90°()(填写推理依据).
∴ OD⊥DP.
又∵ OD是⊙O的半径,
∴ DP是⊙O的切线()
)(填写推理依据).
同理CP是⊙O的切线.
答案
解：
(1) 按要求补全图形：
用直尺连接线段OP；
分别以点O、P为圆心，大于$\frac{1}{2}OP$的长为半径画弧，得到两个交点A、B，作直线AB，直线AB与OP的交点即为点M；
以点M为圆心，OM的长为半径画圆，该圆与⊙O的两个交点即为点C、D；
作直线CP、DP，保留所有画弧、辅助线的作图痕迹。
(2) 第一处推理依据：直径所对的圆周角是直角
第二处推理依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(1) 按要求补全图形：
用直尺连接线段OP；
分别以点O、P为圆心，大于$\frac{1}{2}OP$的长为半径画弧，得到两个交点A、B，作直线AB，直线AB与OP的交点即为点M；
以点M为圆心，OM的长为半径画圆，该圆与⊙O的两个交点即为点C、D；
作直线CP、DP，保留所有画弧、辅助线的作图痕迹。
(2) 第一处推理依据：直径所对的圆周角是直角
第二处推理依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解析
【分析】
(1) 作图题按照题目给出的作法步骤依次操作即可，注意严格遵循每一步的作图要求，所有画弧、连线的痕迹都要完整保留，不得随意擦除。
(2) 证明填空部分：首先看第一处推理，已知OP是⊙M的直径，∠ODP是⊙M中直径OP所对的圆周角，结合圆周角定理的推论即可得到对应依据；第二处推理已知OD是⊙O的半径，且OD⊥DP，符合圆的切线的判定条件，对应填写切线的判定定理即可。
【解析】
(1) 补全图形操作：
① 用直尺连接线段OP；
② 分别以点O、P为圆心，取大于$\frac{1}{2}OP$的长度为半径画弧，两弧交于A、B两点，过A、B作直线AB，直线AB与OP的交点即为点M；
③ 以点M为圆心，OM的长为半径画圆，该圆与⊙O的两个交点记为C、D；
④ 作直线CP、DP，保留所有作图痕迹即可。
(2) 第一处：OP为⊙M的直径，∠ODP是直径OP所对的圆周角，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ODP=90°。
第二处：OD是⊙O的半径，且OD⊥DP，根据切线判定规则“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，可得DP是⊙O的切线。
【答案】
(1) 按上述步骤作图，保留全部作图痕迹；
(2) 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
尺规作图，圆周角定理推论，切线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，属于常规基础题，既要求学生掌握规范的作图方法，也需要学生熟练记忆相关定理，明确定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
(1) 作图题按照题目给出的作法步骤依次操作即可，注意严格遵循每一步的作图要求，所有画弧、连线的痕迹都要完整保留，不得随意擦除。
(2) 证明填空部分：首先看第一处推理，已知OP是⊙M的直径，∠ODP是⊙M中直径OP所对的圆周角，结合圆周角定理的推论即可得到对应依据；第二处推理已知OD是⊙O的半径，且OD⊥DP，符合圆的切线的判定条件，对应填写切线的判定定理即可。
【解析】
(1) 补全图形操作：
① 用直尺连接线段OP；
② 分别以点O、P为圆心，取大于$\frac{1}{2}OP$的长度为半径画弧，两弧交于A、B两点，过A、B作直线AB，直线AB与OP的交点即为点M；
③ 以点M为圆心，OM的长为半径画圆，该圆与⊙O的两个交点记为C、D；
④ 作直线CP、DP，保留所有作图痕迹即可。
(2) 第一处：OP为⊙M的直径，∠ODP是直径OP所对的圆周角，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ODP=90°。
第二处：OD是⊙O的半径，且OD⊥DP，根据切线判定规则“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，可得DP是⊙O的切线。
【答案】
(1) 按上述步骤作图，保留全部作图痕迹；
(2) 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
尺规作图，圆周角定理推论，切线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，属于常规基础题，既要求学生掌握规范的作图方法，也需要学生熟练记忆相关定理，明确定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
