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13. (★★)如图,在$△ ABC$中,$O$为$AC$上的一点,以点$O$为圆心,$OC$为半径的$\odot O$与$BC$相切于点$C$,过点$A$作$AD ⊥ BO$交$BO$的延长线于点$D$,且$∠ AOD=∠ BAD$.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线;
(2)若$∠ BAD=60°,AD=6$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线;
(2)若$∠ BAD=60°,AD=6$,求$\odot O$的半径长.
答案
解：(1) 证明：
过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵AD⊥BO，
∴∠D=90°，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，∠AOD + ∠OAD = 90°，
又∵∠AOD = ∠BAD，
∴∠ABD = ∠OAD，
∵∠BOC = ∠AOD，
∴∠BOC = ∠BAD，
∴∠ABD = ∠OBC，即BO平分∠ABC，
∵OE⊥AB，OC⊥BC，
∴OE = OC，
∵OE是⊙O的半径，且OE⊥AB，
∴AB为⊙O的切线。
(2) 解：
∵∠BAD = 60°，∠AOD = ∠BAD，
∴∠AOD = 60°，
在Rt△ADO中，∠D = 90°，∠AOD = 60°，AD = 6，
∴∠OAD = 30°，
由$\tan∠ AOD=\frac{AD}{OD}$，得$OD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{AO}$，得$AO=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在Rt△ADB中，∠D = 90°，∠BAD = 60°，
∴∠ABD = 30°，
由$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，得$BD=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}$，
∴$BO = BD - OD = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
在Rt△BOC中，∠OCB = 90°，∠OBC = ∠ABD = 30°，
∴$OC = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
答：⊙O的半径长为$2\sqrt{3}$。
过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵AD⊥BO，
∴∠D=90°，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，∠AOD + ∠OAD = 90°，
又∵∠AOD = ∠BAD，
∴∠ABD = ∠OAD，
∵∠BOC = ∠AOD，
∴∠BOC = ∠BAD，
∴∠ABD = ∠OBC，即BO平分∠ABC，
∵OE⊥AB，OC⊥BC，
∴OE = OC，
∵OE是⊙O的半径，且OE⊥AB，
∴AB为⊙O的切线。
(2) 解：
∵∠BAD = 60°，∠AOD = ∠BAD，
∴∠AOD = 60°，
在Rt△ADO中，∠D = 90°，∠AOD = 60°，AD = 6，
∴∠OAD = 30°，
由$\tan∠ AOD=\frac{AD}{OD}$，得$OD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{AO}$，得$AO=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在Rt△ADB中，∠D = 90°，∠BAD = 60°，
∴∠ABD = 30°，
由$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，得$BD=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}$，
∴$BO = BD - OD = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
在Rt△BOC中，∠OCB = 90°，∠OBC = ∠ABD = 30°，
∴$OC = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
答：⊙O的半径长为$2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AB为$\odot O$的切线，由于AB与$\odot O$的公共点未明确给出，因此采用“作垂直，证半径”的思路：过点O作$OE⊥ AB$于E，只需证明OE等于$\odot O$的半径OC即可。已知$\odot O$切BC于C，可得$OC⊥ BC$，结合$AD⊥ BD$、$∠ AOD=∠ BAD$的条件，可推导角的等量关系，证明BO平分$∠ ABC$，再利用角平分线的性质即可得到$OE=OC$，完成切线证明。
(2) 已知$∠ BAD=60°$、$AD=6$，先在$Rt△ ADO$和$Rt△ ADB$中，利用锐角三角函数分别求出OD、BD的长度，进而得到BO的长度；再结合(1)中得到的$∠ OBC=∠ ABD=30°$，在$Rt△ BOC$中利用30°直角三角形的性质即可求出OC的长度，即$\odot O$的半径。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE⊥ AB$于点E，
∵$\odot O$与BC相切于点C，
∴$OC⊥ BC$，
∵$AD⊥ BO$，
∴$∠ D=90°$，
∴$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，$∠ AOD + ∠ OAD = 90°$，
又
∵$∠ AOD = ∠ BAD$，
∴$∠ ABD = ∠ OAD$，
∵$∠ BOC = ∠ AOD$，
∴$∠ BOC = ∠ BAD$，
∴$∠ ABD = ∠ OBC$，即BO平分$∠ ABC$，
∵$OE⊥ AB$，$OC⊥ BC$，
∴$OE = OC$，
∵OE是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$，
∴AB为$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵$∠ BAD = 60°$，$∠ AOD = ∠ BAD$，
∴$∠ AOD = 60°$，
在$Rt△ ADO$中，$∠ D = 90°$，$∠ AOD = 60°$，$AD = 6$，
∴$∠ OAD = 30°$，
由$\tan∠ AOD=\frac{AD}{OD}$，得$OD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{AO}$，得$AO=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ D = 90°$，$∠ BAD = 60°$，
∴$∠ ABD = 30°$，
由$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，得$BD=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}$，
∴$BO = BD - OD = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
在$Rt△ BOC$中，$∠ OCB = 90°$，$∠ OBC = ∠ ABD = 30°$，
∴$OC = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线判定的常用方法、角平分线的性质以及锐角三角函数在直角三角形中的应用，解题的关键是根据切线判定的思路合理添加辅助线，通过角的等量转化得到角平分线，再结合直角三角形的边角关系计算求解，掌握切线的两种判定方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明AB为$\odot O$的切线，由于AB与$\odot O$的公共点未明确给出，因此采用“作垂直，证半径”的思路：过点O作$OE⊥ AB$于E，只需证明OE等于$\odot O$的半径OC即可。已知$\odot O$切BC于C，可得$OC⊥ BC$，结合$AD⊥ BD$、$∠ AOD=∠ BAD$的条件，可推导角的等量关系，证明BO平分$∠ ABC$，再利用角平分线的性质即可得到$OE=OC$，完成切线证明。
(2) 已知$∠ BAD=60°$、$AD=6$，先在$Rt△ ADO$和$Rt△ ADB$中，利用锐角三角函数分别求出OD、BD的长度，进而得到BO的长度；再结合(1)中得到的$∠ OBC=∠ ABD=30°$，在$Rt△ BOC$中利用30°直角三角形的性质即可求出OC的长度，即$\odot O$的半径。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE⊥ AB$于点E，
∵$\odot O$与BC相切于点C，
∴$OC⊥ BC$，
∵$AD⊥ BO$，
∴$∠ D=90°$，
∴$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，$∠ AOD + ∠ OAD = 90°$，
又
∵$∠ AOD = ∠ BAD$，
∴$∠ ABD = ∠ OAD$，
∵$∠ BOC = ∠ AOD$，
∴$∠ BOC = ∠ BAD$，
∴$∠ ABD = ∠ OBC$，即BO平分$∠ ABC$，
∵$OE⊥ AB$，$OC⊥ BC$，
∴$OE = OC$，
∵OE是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$，
∴AB为$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵$∠ BAD = 60°$，$∠ AOD = ∠ BAD$，
∴$∠ AOD = 60°$，
在$Rt△ ADO$中，$∠ D = 90°$，$∠ AOD = 60°$，$AD = 6$，
∴$∠ OAD = 30°$，
由$\tan∠ AOD=\frac{AD}{OD}$，得$OD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
由$\sin∠ AOD=\frac{AD}{AO}$，得$AO=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ D = 90°$，$∠ BAD = 60°$，
∴$∠ ABD = 30°$，
由$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，得$BD=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}$，
∴$BO = BD - OD = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
在$Rt△ BOC$中，$∠ OCB = 90°$，$∠ OBC = ∠ ABD = 30°$，
∴$OC = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线判定的常用方法、角平分线的性质以及锐角三角函数在直角三角形中的应用，解题的关键是根据切线判定的思路合理添加辅助线，通过角的等量转化得到角平分线，再结合直角三角形的边角关系计算求解，掌握切线的两种判定方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.65
14. (★★★)在$\odot O$中,半径$OC$垂直于弦$AB$,垂足为$D$,$∠ AOC=60°$,$E$为弦$AB$所对的优弧上一点.
(1)如图①,求$∠ AOB$和$∠ CEB$的度数;
(2)如图②,$CE$与$AB$相交于点$F$,$EF=EB$,过点$E$作$\odot O$的切线,与$CO$的延长线相交于点$G$,若$OA=3$,求$EG$的长.
(1)如图①,求$∠ AOB$和$∠ CEB$的度数;
(2)如图②,$CE$与$AB$相交于点$F$,$EF=EB$,过点$E$作$\odot O$的切线,与$CO$的延长线相交于点$G$,若$OA=3$,求$EG$的长.
答案
解：
(1) ∵ 半径OC⊥弦AB，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BOC=∠ AOC=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=120°$。
∵ $∠ CEB$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆周角，
∴ $∠ CEB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OE，
∵ GE是$\odot O$的切线，
∴ $OE⊥ GE$，即 $∠ OEG=90°$。
∵ $EF=EB$，$∠ CEB=30°$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ DFC=∠ EFB=75°$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ $∠ CDF=90°$，
∴ $∠ OCE=90°-∠ DFC=15°$。
∵ $OE=OC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE=15°$，
∴ $∠ COE=180°-15°-15°=150°$，
∴ $∠ GOE=180°-∠ COE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=OA=3$，
$\tan∠ GOE=\frac{EG}{OE}$，
∴ $EG=OE·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
综上，(1) $∠ AOB=120°$，$∠ CEB=30°$；(2) $EG=\sqrt{3}$。
(1) ∵ 半径OC⊥弦AB，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BOC=∠ AOC=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=120°$。
∵ $∠ CEB$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆周角，
∴ $∠ CEB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OE，
∵ GE是$\odot O$的切线，
∴ $OE⊥ GE$，即 $∠ OEG=90°$。
∵ $EF=EB$，$∠ CEB=30°$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ DFC=∠ EFB=75°$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ $∠ CDF=90°$，
∴ $∠ OCE=90°-∠ DFC=15°$。
∵ $OE=OC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE=15°$，
∴ $∠ COE=180°-15°-15°=150°$，
∴ $∠ GOE=180°-∠ COE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=OA=3$，
$\tan∠ GOE=\frac{EG}{OE}$，
∴ $EG=OE·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
综上，(1) $∠ AOB=120°$，$∠ CEB=30°$；(2) $EG=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据OC⊥AB的条件，运用垂径定理得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由等弧对等圆心角可得∠BOC=∠AOC=60°，求和即可得到∠AOB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可求出∠CEB的度数。
(2) 求解第二问时，首先连接OE，根据切线的性质可得OE⊥GE，得到直角三角形OEG；再结合EF=EB和第一问求出的∠CEB=30°，利用等腰三角形内角和性质算出∠EFB，通过对顶角相等得到∠DFC，在Rt△CDF中利用直角三角形两锐角互余求出∠OCE；结合OE=OC的等腰三角形性质算出∠OEC，进而求出∠COE，利用平角定义得到∠GOE的度数；最后在Rt△OEG中用三角函数即可求出EG的长度。
【解析】
(1)
∵ 半径OC⊥弦AB，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BOC=∠ AOC=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=120°$。
∵ $∠ CEB$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆周角，
∴ $∠ CEB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OE，
∵ GE是$\odot O$的切线，
∴ $OE⊥ GE$，即 $∠ OEG=90°$。
∵ $EF=EB$，$∠ CEB=30°$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ DFC=∠ EFB=75°$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ $∠ CDF=90°$，
∴ $∠ OCE=90°-∠ DFC=15°$。
∵ $OE=OC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE=15°$，
∴ $∠ COE=180°-15°-15°=150°$，
∴ $∠ GOE=180°-∠ COE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=OA=3$，
$\tan∠ GOE=\frac{EG}{OE}$，
∴ $EG=OE·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠AOB=120°$，$∠CEB=30°$；(2) $EG=\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线的性质
【点评】
本题是圆的典型综合题，融合了圆的性质与三角形相关知识，解题核心是熟练运用圆的基础定理推导角度，再结合直角三角形的性质计算线段长度，能够有效考查学生对圆章节核心知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先根据OC⊥AB的条件，运用垂径定理得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，由等弧对等圆心角可得∠BOC=∠AOC=60°，求和即可得到∠AOB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可求出∠CEB的度数。
(2) 求解第二问时，首先连接OE，根据切线的性质可得OE⊥GE，得到直角三角形OEG；再结合EF=EB和第一问求出的∠CEB=30°，利用等腰三角形内角和性质算出∠EFB，通过对顶角相等得到∠DFC，在Rt△CDF中利用直角三角形两锐角互余求出∠OCE；结合OE=OC的等腰三角形性质算出∠OEC，进而求出∠COE，利用平角定义得到∠GOE的度数；最后在Rt△OEG中用三角函数即可求出EG的长度。
【解析】
(1)
∵ 半径OC⊥弦AB，
∴ 由垂径定理得 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ BOC=∠ AOC=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=120°$。
∵ $∠ CEB$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 所对的圆周角，
∴ $∠ CEB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OE，
∵ GE是$\odot O$的切线，
∴ $OE⊥ GE$，即 $∠ OEG=90°$。
∵ $EF=EB$，$∠ CEB=30°$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ DFC=∠ EFB=75°$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ $∠ CDF=90°$，
∴ $∠ OCE=90°-∠ DFC=15°$。
∵ $OE=OC$，
∴ $∠ OEC=∠ OCE=15°$，
∴ $∠ COE=180°-15°-15°=150°$，
∴ $∠ GOE=180°-∠ COE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，$OE=OA=3$，
$\tan∠ GOE=\frac{EG}{OE}$，
∴ $EG=OE·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠AOB=120°$，$∠CEB=30°$；(2) $EG=\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、切线的性质
【点评】
本题是圆的典型综合题，融合了圆的性质与三角形相关知识，解题核心是熟练运用圆的基础定理推导角度，再结合直角三角形的性质计算线段长度，能够有效考查学生对圆章节核心知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
