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8. (★★)如图，$\odot O$是某个地球仪的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角$∠ IFH$(即平行于GD的光线HF与$\odot O$的切线FI所成的锐角)的大小为
【 】
A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$49°$
【 】
A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$49°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到OF与切线FI垂直，得到直角∠OFI=90°；再结合已知角度计算出OD与OF的夹角∠DOF的度数；之后根据平行线的性质，由HF//GD（即HF//OD）求出HF与OF的夹角∠HFO的度数；最后用∠HFO减去直角∠OFI即可得到所求的∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
由题意得$∠ DOB = 23.5°$，$∠ FOB = 23.5°$，
∴$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
∵太阳光线$HF // GD$，且GD经过O、D两点，
∴$HF // OD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ HFO + ∠ DOF = 180°$，
∴$∠ HFO = 180° - 47° = 133°$。
∴$∠ IFH = ∠ HFO - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际背景考查几何知识的应用，解题的核心是准确提取几何模型，熟练运用切线和平行线的性质进行角度推导，注重对知识灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质得到OF与切线FI垂直，得到直角∠OFI=90°；再结合已知角度计算出OD与OF的夹角∠DOF的度数；之后根据平行线的性质，由HF//GD（即HF//OD）求出HF与OF的夹角∠HFO的度数；最后用∠HFO减去直角∠OFI即可得到所求的∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
由题意得$∠ DOB = 23.5°$，$∠ FOB = 23.5°$，
∴$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
∵太阳光线$HF // GD$，且GD经过O、D两点，
∴$HF // OD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ HFO + ∠ DOF = 180°$，
∴$∠ HFO = 180° - 47° = 133°$。
∴$∠ IFH = ∠ HFO - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际背景考查几何知识的应用，解题的核心是准确提取几何模型，熟练运用切线和平行线的性质进行角度推导，注重对知识灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. (★★)如图，P是$\odot O$的直径AB延长线上的一点，PM与$\odot O$相切于点M，连接AM，$∠ P=30°$，若$PM=2\sqrt{3}$，则AM的长为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用切线的性质构造直角三角形，结合角度关系推导边的关系：第一步，遇到圆的切线，优先连接切点与圆心，得到直角三角形Rt△PMO；第二步，利用直角三角形两锐角互余求出∠POM的度数；第三步，结合半径相等得到等腰△OMA，利用外角性质求出∠PAM的度数；第四步，通过等角对等边得到PM与AM的等量关系，即可求出AM的长度。
【解析】
连接OM，
∵ PM是$\odot O$的切线，M为切点，
∴ $OM⊥ PM$，即$∠ OMP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PMO$中，$∠ P=30°$，
∴ $∠ POM=90°-∠ P=60°$，
又
∵ $OM=OA$（$\odot O$的半径相等），
∴ $∠ OAM=∠ OMA$，
∵ $∠ POM$是$△ OMA$的外角，
∴ $∠ POM=∠ OAM+∠ OMA=2∠ OAM$，
∴ $∠ OAM=\frac{1}{2}∠ POM=30°$，
∴ $∠ P=∠ OAM=30°$，
∴ $PM=AM$，
∵ $PM=2\sqrt{3}$，
∴ $AM=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线构造方法，再结合三角形的角度、边的关系求解，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是利用切线的性质构造直角三角形，结合角度关系推导边的关系：第一步，遇到圆的切线，优先连接切点与圆心，得到直角三角形Rt△PMO；第二步，利用直角三角形两锐角互余求出∠POM的度数；第三步，结合半径相等得到等腰△OMA，利用外角性质求出∠PAM的度数；第四步，通过等角对等边得到PM与AM的等量关系，即可求出AM的长度。
【解析】
连接OM，
∵ PM是$\odot O$的切线，M为切点，
∴ $OM⊥ PM$，即$∠ OMP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PMO$中，$∠ P=30°$，
∴ $∠ POM=90°-∠ P=60°$，
又
∵ $OM=OA$（$\odot O$的半径相等），
∴ $∠ OAM=∠ OMA$，
∵ $∠ POM$是$△ OMA$的外角，
∴ $∠ POM=∠ OAM+∠ OMA=2∠ OAM$，
∴ $∠ OAM=\frac{1}{2}∠ POM=30°$，
∴ $∠ P=∠ OAM=30°$，
∴ $PM=AM$，
∵ $PM=2\sqrt{3}$，
∴ $AM=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线构造方法，再结合三角形的角度、边的关系求解，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. (★★) 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切).”如图.问题：若正方形的边长为10丈，$\odot O$的半径长为2丈，则点D到$\odot O$的最短距离为丈. 
答案
$\boldsymbol{8\sqrt{2}-2}$
解析
【分析】
要计算点D到$\odot O$的最短距离，首先明确点到圆的最短距离为点到圆心的距离减去圆的半径，因此解题步骤分为两步：第一步求点D到圆心O的距离，第二步减去半径得到结果。首先，由$\odot O$与正方形相邻两边AB、BC相切可知，圆心O在正方形的对角线BD上，先计算正方形对角线BD的总长度，再结合半径求出O到点B的距离，用BD总长减去BO长度即可得到DO的长度，最后减去半径就能算出最短距离。
【解析】
1. 连接正方形对角线BD：
已知正方形ABCD边长为10丈，由勾股定理可得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$丈，且BD平分$∠ ABC$。
2. 确定O的位置并求OB长度：
因为$\odot O$与AB、BC均相切，根据切线性质，圆心O在$∠ ABC$的角平分线BD上；过O作$OE⊥ AB$于E，则$OE=BE=2$丈（$\odot O$半径），在$Rt△ OBE$中，$OB=\sqrt{OE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$丈。
3. 计算点D到$\odot O$的最短距离：
先得$OD=BD-OB=10\sqrt{2}-2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$丈，点到圆的最短距离为点到圆心距离减半径，因此最短距离为$OD-r=8\sqrt{2}-2$丈。
【答案】
$\boldsymbol{8\sqrt{2}-2}$
【知识点】
点与圆的位置关系；正方形的性质；切线的性质
【点评】
本题结合古代数学文化考查几何计算，解题核心是掌握点到圆的最短距离的计算规律，结合切线和正方形的性质即可快速推导，侧重对基础几何性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
要计算点D到$\odot O$的最短距离，首先明确点到圆的最短距离为点到圆心的距离减去圆的半径，因此解题步骤分为两步：第一步求点D到圆心O的距离，第二步减去半径得到结果。首先，由$\odot O$与正方形相邻两边AB、BC相切可知，圆心O在正方形的对角线BD上，先计算正方形对角线BD的总长度，再结合半径求出O到点B的距离，用BD总长减去BO长度即可得到DO的长度，最后减去半径就能算出最短距离。
【解析】
1. 连接正方形对角线BD：
已知正方形ABCD边长为10丈，由勾股定理可得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$丈，且BD平分$∠ ABC$。
2. 确定O的位置并求OB长度：
因为$\odot O$与AB、BC均相切，根据切线性质，圆心O在$∠ ABC$的角平分线BD上；过O作$OE⊥ AB$于E，则$OE=BE=2$丈（$\odot O$半径），在$Rt△ OBE$中，$OB=\sqrt{OE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$丈。
3. 计算点D到$\odot O$的最短距离：
先得$OD=BD-OB=10\sqrt{2}-2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$丈，点到圆的最短距离为点到圆心距离减半径，因此最短距离为$OD-r=8\sqrt{2}-2$丈。
【答案】
$\boldsymbol{8\sqrt{2}-2}$
【知识点】
点与圆的位置关系；正方形的性质；切线的性质
【点评】
本题结合古代数学文化考查几何计算，解题核心是掌握点到圆的最短距离的计算规律，结合切线和正方形的性质即可快速推导，侧重对基础几何性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
11. (★★)△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF,已知∠B＝∠EAC,根据弦AB的变化,两人分别探究直线EF与⊙O的位置关系:
甲:如图①,当弦AB过点O时,EF与⊙O相切;
乙:如图②,当弦AB不过点O时,EF也与⊙O相切.
下列判断正确的是
【
】
A.甲对,乙不对
B.甲不对,乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
甲:如图①,当弦AB过点O时,EF与⊙O相切;
乙:如图②,当弦AB不过点O时,EF也与⊙O相切.
下列判断正确的是
【
】A.甲对,乙不对
B.甲不对,乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
答案
C
解析
【分析】
要判断直线EF与⊙O的位置关系，核心是证明EF是否垂直于过点A的半径：
1. 分析甲的情况：当AB过圆心时，AB是直径，利用直径所对圆周角为直角，得到∠B+∠BAC=90°，结合已知∠B=∠EAC，等量代换即可得到EF⊥AB，进而判定相切；
2. 分析乙的情况：当AB不过圆心时，作辅助线过A作⊙O的直径AD，连接CD，同样利用直径所对圆周角为直角，结合同弧所对圆周角相等得∠B=∠D，再结合已知∠B=∠EAC，等量代换得到EF⊥AD，即可判定相切。
【解析】
证明甲的结论正确：
如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B + ∠BAC = 90°，
又
∵∠B = ∠EAC，
∴∠EAC + ∠BAC = ∠BAE = 90°，即AB⊥EF，
∵OA是⊙O的半径，点A在⊙O上，
∴EF与⊙O相切，甲的判断正确。
证明乙的结论正确：
如图②，过点A作⊙O的直径AD，连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D + ∠CAD = 90°，
∵∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
又
∵∠B = ∠EAC，
∴∠EAC = ∠D，
∴∠EAC + ∠CAD = ∠EAD = 90°，即AD⊥EF，
∵OA是⊙O的半径，点A在⊙O上，
∴EF与⊙O相切，乙的判断正确。
综上，甲、乙都对。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定定理、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题考查切线的判定，解题关键是掌握切线的判定条件，当没有直接给出过切点的半径时，可通过作直径构造辅助线，结合圆周角性质证明垂直关系，两种情况推导逻辑一致，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要判断直线EF与⊙O的位置关系，核心是证明EF是否垂直于过点A的半径：
1. 分析甲的情况：当AB过圆心时，AB是直径，利用直径所对圆周角为直角，得到∠B+∠BAC=90°，结合已知∠B=∠EAC，等量代换即可得到EF⊥AB，进而判定相切；
2. 分析乙的情况：当AB不过圆心时，作辅助线过A作⊙O的直径AD，连接CD，同样利用直径所对圆周角为直角，结合同弧所对圆周角相等得∠B=∠D，再结合已知∠B=∠EAC，等量代换得到EF⊥AD，即可判定相切。
【解析】
证明甲的结论正确：
如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B + ∠BAC = 90°，
又
∵∠B = ∠EAC，
∴∠EAC + ∠BAC = ∠BAE = 90°，即AB⊥EF，
∵OA是⊙O的半径，点A在⊙O上，
∴EF与⊙O相切，甲的判断正确。
证明乙的结论正确：
如图②，过点A作⊙O的直径AD，连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠D + ∠CAD = 90°，
∵∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
又
∵∠B = ∠EAC，
∴∠EAC = ∠D，
∴∠EAC + ∠CAD = ∠EAD = 90°，即AD⊥EF，
∵OA是⊙O的半径，点A在⊙O上，
∴EF与⊙O相切，乙的判断正确。
综上，甲、乙都对。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定定理、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题考查切线的判定，解题关键是掌握切线的判定条件，当没有直接给出过切点的半径时，可通过作直径构造辅助线，结合圆周角性质证明垂直关系，两种情况推导逻辑一致，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
12.(★★)如图,AB是$\odot O$的直径,点D在AB的延长线上,点C在$\odot O$上,$CA=CD$,
$∠ D=30°$.
(1)试判断直线CD与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$\odot O$的半径长为5,求点A到直线CD的距离.
$∠ D=30°$.
(1)试判断直线CD与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$\odot O$的半径长为5,求点A到直线CD的距离.
答案
解：(1) 直线CD与$\odot O$相切，理由如下：
连接$OC$，
$\because CA=CD$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ A=∠ D=30°$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ COD=∠ A+∠ OCA=60°$，
在$△ OCD$中，
$∠ OCD=180°-∠ COD-∠ D=180°-60°-30°=90°$，
即$OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$CD$与$\odot O$相切。
(2) 过点$A$作$AE⊥ CD$，垂足为$E$，
由(1)知$OC⊥ CD$，$\therefore OC// AE$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ D=30°$，$OC=5$，
$\therefore OD=2OC=10$，
$\therefore AD=OA+OD=5+10=15$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{15}{2}$。
答：点$A$到直线$CD$的距离为$\frac{15}{2}$。
连接$OC$，
$\because CA=CD$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ A=∠ D=30°$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ COD=∠ A+∠ OCA=60°$，
在$△ OCD$中，
$∠ OCD=180°-∠ COD-∠ D=180°-60°-30°=90°$，
即$OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$CD$与$\odot O$相切。
(2) 过点$A$作$AE⊥ CD$，垂足为$E$，
由(1)知$OC⊥ CD$，$\therefore OC// AE$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ D=30°$，$OC=5$，
$\therefore OD=2OC=10$，
$\therefore AD=OA+OD=5+10=15$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{15}{2}$。
答：点$A$到直线$CD$的距离为$\frac{15}{2}$。
解析
【分析】
(1)判断直线与圆的位置关系时，已知点C在圆上，结合切线的判定定理，只需证明半径OC与CD垂直即可。首先连接辅助线OC，利用CA=CD的等腰三角形性质得到∠A=∠D，再结合OA=OC的半径相等性质推导角度，通过三角形外角和内角和定理计算∠OCD的度数，判断是否为直角即可得出结论。
(2)求点A到直线CD的距离，需过A作CD的垂线段AE，AE的长即为所求距离。先结合(1)中OC⊥CD的结论，在Rt△OCD中利用30°角的直角三角形性质求出OD的长，再计算AD的总长度，最后在Rt△AED中利用30°角的性质求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 直线CD与$\odot O$相切，理由如下：
连接$OC$，
$\because CA=CD$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ A=∠ D=30°$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ COD=∠ A+∠ OCA=60°$，
在$△ OCD$中，
$∠ OCD=180°-∠ COD-∠ D=180°-60°-30°=90°$，
即$OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$CD$与$\odot O$相切。
(2) 过点$A$作$AE⊥ CD$，垂足为$E$，
由(1)知$OC⊥ CD$，$\therefore OC// AE$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ D=30°$，$OC=5$，
$\therefore OD=2OC=10$，
$\therefore AD=OA+OD=5+10=15$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) 直线$CD$与$\odot O$相切；
(2) 点$A$到直线$CD$的距离为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法和特殊直角三角形的计算，解题关键是正确添加辅助线，结合角度关系推导垂直关系，再利用特殊直角三角形的性质计算线段长度，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)判断直线与圆的位置关系时，已知点C在圆上，结合切线的判定定理，只需证明半径OC与CD垂直即可。首先连接辅助线OC，利用CA=CD的等腰三角形性质得到∠A=∠D，再结合OA=OC的半径相等性质推导角度，通过三角形外角和内角和定理计算∠OCD的度数，判断是否为直角即可得出结论。
(2)求点A到直线CD的距离，需过A作CD的垂线段AE，AE的长即为所求距离。先结合(1)中OC⊥CD的结论，在Rt△OCD中利用30°角的直角三角形性质求出OD的长，再计算AD的总长度，最后在Rt△AED中利用30°角的性质求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 直线CD与$\odot O$相切，理由如下：
连接$OC$，
$\because CA=CD$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ A=∠ D=30°$，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ COD=∠ A+∠ OCA=60°$，
在$△ OCD$中，
$∠ OCD=180°-∠ COD-∠ D=180°-60°-30°=90°$，
即$OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线$CD$与$\odot O$相切。
(2) 过点$A$作$AE⊥ CD$，垂足为$E$，
由(1)知$OC⊥ CD$，$\therefore OC// AE$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ D=30°$，$OC=5$，
$\therefore OD=2OC=10$，
$\therefore AD=OA+OD=5+10=15$，
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) 直线$CD$与$\odot O$相切；
(2) 点$A$到直线$CD$的距离为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法和特殊直角三角形的计算，解题关键是正确添加辅助线，结合角度关系推导垂直关系，再利用特殊直角三角形的性质计算线段长度，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
