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1. (★)如图,半径为r的⊙O与直线l相切于点A,则OA (填“＞”“=”或“＜”)r.
答案
=
解析
【分析】
要判断OA和半径r的大小关系，首先回忆圆切线的相关性质：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径。本题中⊙O和直线l相切于A，OA是圆心O到切点A的垂线段，也就是圆心O到切线l的距离，由此可直接推出OA和半径r的关系。
【解析】
已知⊙O与直线l相切于点A，根据切线的性质：圆的切线到圆心的距离等于圆的半径。线段OA是圆心O到切线l的垂线段，即圆心O到直线l的距离，因此OA的长度等于⊙O的半径r，故填“=”。
【答案】
=
【知识点】
1.切线的性质 2.点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆切线性质的理解与应用，熟练掌握基础定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断OA和半径r的大小关系，首先回忆圆切线的相关性质：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径。本题中⊙O和直线l相切于A，OA是圆心O到切点A的垂线段，也就是圆心O到切线l的距离，由此可直接推出OA和半径r的关系。
【解析】
已知⊙O与直线l相切于点A，根据切线的性质：圆的切线到圆心的距离等于圆的半径。线段OA是圆心O到切线l的垂线段，即圆心O到直线l的距离，因此OA的长度等于⊙O的半径r，故填“=”。
【答案】
=
【知识点】
1.切线的性质 2.点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆切线性质的理解与应用，熟练掌握基础定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. (★)(1)切线的性质:圆的切线于过切点的半径.
如第1题图,几何语言:
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$A$,
∴ $OA$ $l$.
(2)切线的判定定理:经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线.
如第1题图,几何语言:
∵ $OA ⊥ l$于点$A$,$OA$是半径,
∴ 直线$l$是$\odot O$的.
如第1题图,几何语言:
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$A$,
∴ $OA$ $l$.
(2)切线的判定定理:经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线.
如第1题图,几何语言:
∵ $OA ⊥ l$于点$A$,$OA$是半径,
∴ 直线$l$是$\odot O$的.
答案
解：
(1) 圆的切线 $\boldsymbol{垂直}$ 于过切点的半径.
$\because$ 直线$l$与$\odot O$相切于点$A$,
$\therefore \ OA \ \boldsymbol{⊥}\ l$.
(2) 切线的判定定理:经过半径的 $\boldsymbol{外端}$ 并且 $\boldsymbol{垂直}$ 于这条半径的直线是圆的切线.
$\because \ OA ⊥ l$于点$A$,$OA$是半径,
$\therefore \ $ 直线$l$是$\odot O$的 $\boldsymbol{切线}$.
(1) 圆的切线 $\boldsymbol{垂直}$ 于过切点的半径.
$\because$ 直线$l$与$\odot O$相切于点$A$,
$\therefore \ OA \ \boldsymbol{⊥}\ l$.
(2) 切线的判定定理:经过半径的 $\boldsymbol{外端}$ 并且 $\boldsymbol{垂直}$ 于这条半径的直线是圆的切线.
$\because \ OA ⊥ l$于点$A$,$OA$是半径,
$\therefore \ $ 直线$l$是$\odot O$的 $\boldsymbol{切线}$.
解析
【分析】
本题考查圆的切线的性质与判定定理的基础识记，解题时先回忆对应定理内容：①切线的性质是已知直线为圆的切线时，可得切线与过切点的半径垂直，对应几何语言即可得到垂直关系；②切线的判定定理需要同时满足两个条件：一是直线经过半径的外端，二是直线与这条半径垂直，同时满足两个条件即可判定直线是圆的切线，对应填入空缺内容即可。
【解析】
(1) 根据切线的性质规则：圆的切线垂直于过切点的半径。
已知直线$l$与$\odot O$相切于点$A$，$OA$是过切点$A$的半径，因此$OA⊥ l$。
所以第一空填“垂直”，第二空填“$⊥$”。
(2) 根据切线的判定定理规则：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
已知$OA$是半径，且$OA⊥ l$于点$A$，即$l$经过半径$OA$的外端$A$，且与$OA$垂直，因此直线$l$是$\odot O$的切线。
所以第三空填“外端”，第四空填“垂直”，第五空填“切线”。
【答案】
(1) 垂直；$⊥$
(2) 外端；垂直；切线
【知识点】
切线的性质；切线的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查圆的切线核心基础定理的内容与几何语言表达，是学习切线相关证明、计算类题型的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线的性质与判定定理的基础识记，解题时先回忆对应定理内容：①切线的性质是已知直线为圆的切线时，可得切线与过切点的半径垂直，对应几何语言即可得到垂直关系；②切线的判定定理需要同时满足两个条件：一是直线经过半径的外端，二是直线与这条半径垂直，同时满足两个条件即可判定直线是圆的切线，对应填入空缺内容即可。
【解析】
(1) 根据切线的性质规则：圆的切线垂直于过切点的半径。
已知直线$l$与$\odot O$相切于点$A$，$OA$是过切点$A$的半径，因此$OA⊥ l$。
所以第一空填“垂直”，第二空填“$⊥$”。
(2) 根据切线的判定定理规则：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
已知$OA$是半径，且$OA⊥ l$于点$A$，即$l$经过半径$OA$的外端$A$，且与$OA$垂直，因此直线$l$是$\odot O$的切线。
所以第三空填“外端”，第四空填“垂直”，第五空填“切线”。
【答案】
(1) 垂直；$⊥$
(2) 外端；垂直；切线
【知识点】
切线的性质；切线的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查圆的切线核心基础定理的内容与几何语言表达，是学习切线相关证明、计算类题型的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图,已知$\odot O$的半径长为5,直线EF经过$\odot O$上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与$\odot O$相切的是
【 】
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
【 】
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
答案
D
解析
【分析】
要判定直线EF与$\odot O$相切，需结合切线的判定定理分析：切线判定需满足两个条件，①直线经过半径的外端，②直线与这条半径垂直，二者缺一不可。已知点P在$\odot O$上，故OP是$\odot O$的半径，接下来逐一核对选项是否满足判定条件即可：
选项A中OP=5仅能说明OP是半径，无法证明EF和OP垂直，不能判定相切；选项B中OE=OF只能说明$△ OEF$是等腰三角形，若OP不垂直EF，EF仍与圆相交，不符合要求；选项C中O到EF的距离是4，小于半径5，此时直线和圆相交，不是相切；选项D中$OP⊥ EF$，满足“半径垂直于过半径外端的直线”的判定条件，可判定EF是切线。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在$\odot O$上，因此OP是$\odot O$的半径。
选项A：OP=5只能说明P在$\odot O$上，无法证明EF与$\odot O$相切，A错误；
选项B：OE=OF仅能说明$△ OEF$为等腰三角形，若OP不垂直EF，EF仍与$\odot O$相交，不能判定相切，B错误；
选项C：O到直线EF的距离为4，小于$\odot O$的半径5，此时直线EF与$\odot O$相交，C错误；
选项D：$OP⊥ EF$，且OP是$\odot O$的半径、P是半径外端，符合切线判定定理，可判定EF与$\odot O$相切，D正确。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定定理；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是要牢记切线判定的两个必备条件，做题时需注意两个条件必须同时满足，缺一不可，避免遗漏条件导致误判。
【难度系数】
0.8
要判定直线EF与$\odot O$相切，需结合切线的判定定理分析：切线判定需满足两个条件，①直线经过半径的外端，②直线与这条半径垂直，二者缺一不可。已知点P在$\odot O$上，故OP是$\odot O$的半径，接下来逐一核对选项是否满足判定条件即可：
选项A中OP=5仅能说明OP是半径，无法证明EF和OP垂直，不能判定相切；选项B中OE=OF只能说明$△ OEF$是等腰三角形，若OP不垂直EF，EF仍与圆相交，不符合要求；选项C中O到EF的距离是4，小于半径5，此时直线和圆相交，不是相切；选项D中$OP⊥ EF$，满足“半径垂直于过半径外端的直线”的判定条件，可判定EF是切线。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在$\odot O$上，因此OP是$\odot O$的半径。
选项A：OP=5只能说明P在$\odot O$上，无法证明EF与$\odot O$相切，A错误；
选项B：OE=OF仅能说明$△ OEF$为等腰三角形，若OP不垂直EF，EF仍与$\odot O$相交，不能判定相切，B错误；
选项C：O到直线EF的距离为4，小于$\odot O$的半径5，此时直线EF与$\odot O$相交，C错误；
选项D：$OP⊥ EF$，且OP是$\odot O$的半径、P是半径外端，符合切线判定定理，可判定EF与$\odot O$相切，D正确。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定定理；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是要牢记切线判定的两个必备条件，做题时需注意两个条件必须同时满足，缺一不可，避免遗漏条件导致误判。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,AB为$\odot O$的直径,直线CD与$\odot O$相切于点C,连接AC,若$∠ ACD=50°$,则$∠ BAC$的度数为 【 】
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察到直线CD与圆相切，根据切线的性质，优先考虑连接过切点C的半径OC，得到OC与CD垂直，即可求出∠OCA的度数；再结合圆的半径相等，可知△OAC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ OCA=∠ OCD - ∠ ACD=90° - 50°=40°$，
又
∵ $OA=OC$（同圆的半径相等），
∴ $∠ BAC=∠ OCA=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等边对等角；半径相等
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，解题关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的辅助线做法，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆中角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到直线CD与圆相切，根据切线的性质，优先考虑连接过切点C的半径OC，得到OC与CD垂直，即可求出∠OCA的度数；再结合圆的半径相等，可知△OAC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ OCA=∠ OCD - ∠ ACD=90° - 50°=40°$，
又
∵ $OA=OC$（同圆的半径相等），
∴ $∠ BAC=∠ OCA=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等边对等角；半径相等
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，解题关键是掌握“见切线，连切点，得垂直”的辅助线做法，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆中角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. (★)如图,AB是$\odot O$的直径,P是AB延长线上的一点,PC与$\odot O$相切于点C.若$∠ P=40°$,则$∠ A$的度数为 【 】
A.$30°$
B.$50°$
C.$25°$
D.$10°$
A.$30°$
B.$50°$
C.$25°$
D.$10°$
答案
C
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先想到连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系。本题先连接OC，可得OC⊥PC，先在Rt△OCP中求出∠COP的度数；再结合OA=OC得到等腰△OAC，利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC与$\odot O$相切于点C，
∴ OC⊥PC，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=40°$，
∴ $∠ COP=90° - ∠ P=90° -40°=50°$，
∵ OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A + ∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COP=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础计算类题目，解题的关键是掌握“见切线，连半径，得垂直”的常用辅助线作法，再结合三角形的相关性质求解即可，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，首先想到连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系。本题先连接OC，可得OC⊥PC，先在Rt△OCP中求出∠COP的度数；再结合OA=OC得到等腰△OAC，利用三角形外角的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC与$\odot O$相切于点C，
∴ OC⊥PC，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=40°$，
∴ $∠ COP=90° - ∠ P=90° -40°=50°$，
∵ OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A + ∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=\frac{1}{2}∠ COP=\frac{1}{2}×50°=25°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础计算类题目，解题的关键是掌握“见切线，连半径，得垂直”的常用辅助线作法，再结合三角形的相关性质求解即可，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6. (★)下列命题错误的是 【 】
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
C.如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线
D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
C.如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线
D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
答案
A
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定及命题真假的判断，解题思路如下：首先回忆圆的切线的三类判定依据：①切线定义：与圆只有唯一公共点的直线是圆的切线；②距离判定：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线；③定理判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。再逐一将四个选项与判定依据对照，判断描述是否完整、正确，找出错误的命题即可。
【解析】
我们结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
选项B：符合“圆心到直线的距离等于半径则直线为圆的切线”的判定规则，描述正确，不符合题意。
选项C：符合圆的切线的定义（与圆只有一个公共点的直线是切线），描述正确，不符合题意。
选项D：符合圆的切线的判定定理，两个核心条件“经过半径外端”“垂直于这条半径”都满足，描述正确，不符合题意。
选项A：仅描述了“垂直于半径”，缺少“经过半径的外端”这个必要条件，比如在半径内部任意一点作半径的垂线，该垂线就不是圆的切线，因此描述错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线判定；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆的切线判定条件的精准记忆，要注意切线判定定理的两个条件缺一不可，避免因对概念记忆不完整导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定及命题真假的判断，解题思路如下：首先回忆圆的切线的三类判定依据：①切线定义：与圆只有唯一公共点的直线是圆的切线；②距离判定：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线；③定理判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。再逐一将四个选项与判定依据对照，判断描述是否完整、正确，找出错误的命题即可。
【解析】
我们结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
选项B：符合“圆心到直线的距离等于半径则直线为圆的切线”的判定规则，描述正确，不符合题意。
选项C：符合圆的切线的定义（与圆只有一个公共点的直线是切线），描述正确，不符合题意。
选项D：符合圆的切线的判定定理，两个核心条件“经过半径外端”“垂直于这条半径”都满足，描述正确，不符合题意。
选项A：仅描述了“垂直于半径”，缺少“经过半径的外端”这个必要条件，比如在半径内部任意一点作半径的垂线，该垂线就不是圆的切线，因此描述错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线判定；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆的切线判定条件的精准记忆，要注意切线判定定理的两个条件缺一不可，避免因对概念记忆不完整导致判断错误。
【难度系数】
0.8
7. (★★)如图，D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线。
（第7题）
（第7题）答案
证明：
过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$是$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ OA是$\odot D$的切线。
过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$是$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ OA是$\odot D$的切线。
解析
【分析】
要证明OA是⊙D的切线，本题未明确给出OA与⊙D的公共点，因此选择“作垂直，证半径”的解题思路：首先过圆心D作OA的垂线段DF，再结合角平分线的性质证明DF的长度等于⊙D的半径DE，即可得出结论。
【解析】
证明：过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠AOB$的平分线，点D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$的长度等于$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ 根据切线的判定定理，OA是$\odot D$的切线。
【答案】
证明：过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$是$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ OA是$\odot D$的切线。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.切线的判定
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心是掌握切线判定的两类常用方法：若已知直线与圆的公共点，可连接圆心与公共点证明垂直；若未知公共点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径，结合对应几何性质即可求解。
【难度系数】
0.8
要证明OA是⊙D的切线，本题未明确给出OA与⊙D的公共点，因此选择“作垂直，证半径”的解题思路：首先过圆心D作OA的垂线段DF，再结合角平分线的性质证明DF的长度等于⊙D的半径DE，即可得出结论。
【解析】
证明：过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠AOB$的平分线，点D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$的长度等于$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ 根据切线的判定定理，OA是$\odot D$的切线。
【答案】
证明：过点D作$DF ⊥ OA$于点F。
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，D在OC上，且$DE ⊥ OB$，
∴ 由角平分线的性质可得：$DF = DE$。
∵ $\odot D$的半径为$DE$，
∴ $DF$是$\odot D$的半径，且$DF ⊥ OA$，
∴ OA是$\odot D$的切线。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.切线的判定
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心是掌握切线判定的两类常用方法：若已知直线与圆的公共点，可连接圆心与公共点证明垂直；若未知公共点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径，结合对应几何性质即可求解。
【难度系数】
0.8
