12. (★★)在同一平面内,已知$\odot O$的半径长为2,圆心O到直线l的距离为3,P为$\odot O$上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是
【 】

A.2
B.5
C.6
D.8

B

【分析】
要计算圆上一点到直线的最大距离，首先明确点到直线的距离为垂线段长度。我们可以先确定圆心到直线的固定距离，再结合圆的半径分析最值的位置：过圆心作直线的垂线，圆上到直线最远的点，在垂线背离直线的一侧与圆的交点处，该点到直线的距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径。
【解析】
过圆心$O$作$OA ⊥$直线$l$，垂足为$A$，由题意可知$OA=3$，$\odot O$的半径$r=OP=2$。
延长$AO$交$\odot O$于点$P$，此时点$P$到直线$l$的距离为最大距离，计算得：
$PA = OA + OP = 3 + 2 = 5$
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离；圆的基本性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础类题型，主要考查圆上点到定直线的距离最值计算，解题的核心是掌握最值的取法规律：圆上点到定直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，最小距离为圆心到直线的距离减半径。
【难度系数】
0.8

13. (★★)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径长为1 cm的⊙P的圆心在直线OA上,开始时,PO=6 cm,如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么当⊙P的运动时间t(单位:s)满足条件 时,⊙P与直线CD相切.

解：
过点P作PE⊥CD于点E，当⊙P与直线CD相切时，圆心到直线CD的距离等于半径，即PE = 1 cm。
∵ ∠AOC = 30°，
∴ 在Rt△POE中，OP = 2PE = 2×1 = 2 cm。
分两种情况：
1. 当点P在点O左侧的OA上时，点P移动的距离为6 - 2 = 4 cm，运动时间t = 4÷1 = 4 s；
2. 当点P在点O右侧的OB上时，点P移动的距离为6 + 2 = 8 cm，运动时间t = 8÷1 = 8 s。
综上，满足的条件是$\boldsymbol{t=4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{t=8\ \mathrm{s}}$。

【分析】
解题时首先要明确直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于半径。已知∠AOC=30°，我们可以过圆心P作CD的垂线构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质算出相切时OP的长度。再结合圆心P的运动方向，分P在O点左侧、P在O点右侧两种情况计算移动路程，最后根据速度求出对应的运动时间即可。
【解析】
过点P作PE⊥CD于点E，当⊙P与直线CD相切时，圆心到直线CD的距离等于半径，即PE = 1 cm。
∵ ∠AOC = 30°，
∴ 在Rt△POE中，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此OP = 2PE = 2×1 = 2 cm。
分两种情况讨论：
1. 当点P在点O左侧的OA上时，点P移动的距离为6 - 2 = 4 cm，运动速度为1 cm/s，因此时间t = 4÷1 = 4 s；
2. 当点P在点O右侧的OB上时，点P移动的距离为6 + 2 = 8 cm，因此时间t = 8÷1 = 8 s。
【答案】
$\boldsymbol{t=4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{t=8\ \mathrm{s}}$
【知识点】
1. 直线与圆相切的判定
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 动点分类讨论
【点评】
本题是几何与动点结合的基础题，解题的关键是牢记直线与圆相切的判定条件，同时注意圆心在O点左右两侧都存在相切的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6

14. (★★★)如图，P为正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象上的一个动点，$\odot P$的半径长为2，设点P的坐标为$(m,n)$。
(1)求$\odot P$与直线$x=4$相切时m,n的值；
(2)分别写出$\odot P$与直线$x=4$相交、相离时m的取值范围。

解：
(1) ∵ 点$P(m,n)$在正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象上，
∴ $n=\frac{3}{4}m$。
∵ $\odot P$的半径为2，$\odot P$与直线$x=4$相切，
∴ 点$P$到直线$x=4$的距离等于半径2，即$|m-4|=2$。
当$m-4=2$时，解得$m=6$，此时$n=\frac{3}{4}×6=\frac{9}{2}$；
当$m-4=-2$时，解得$m=2$，此时$n=\frac{3}{4}×2=\frac{3}{2}$。
即$\begin{cases} m=2 \\ n=\frac{3}{2} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=6 \\ n=\frac{9}{2} \end{cases}$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=4$相交时，圆心$P$到直线$x=4$的距离小于半径2，即$|m-4|＜2$，
解得$2＜m＜6$；
当$\odot P$与直线$x=4$相离时，圆心$P$到直线$x=4$的距离大于半径2，即$|m-4|＞2$，
解得$m＜2$或$m＞6$。

【分析】
解题时先回忆直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当d=r时两图形相切，d＜r时相交，d＞r时相离。首先点P在正比例函数图象上，坐标满足函数解析式，可先得到n和m的关系；其次直线x=4是垂直于x轴的直线，点P(m,n)到这条直线的距离等于横坐标差的绝对值，即$|m-4|$。
(1) 相切时满足d=r=2，据此列绝对值方程求出m的值，再代入正比例函数解析式即可求出对应n的值；
(2) 分别根据相交、相离对应的d与r的大小关系列绝对值不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 点$P(m,n)$在正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象上，
∴ $n=\frac{3}{4}m$。
∵ $\odot P$的半径为2，$\odot P$与直线$x=4$相切，
∴ 点$P$到直线$x=4$的距离等于半径2，即$|m-4|=2$。
当$m-4=2$时，解得$m=6$，此时$n=\frac{3}{4}×6=\frac{9}{2}$；
当$m-4=-2$时，解得$m=2$，此时$n=\frac{3}{4}×2=\frac{3}{2}$。
即$\begin{cases} m=2 \\ n=\frac{3}{2} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=6 \\ n=\frac{9}{2} \end{cases}$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=4$相交时，圆心$P$到直线$x=4$的距离小于半径2，即$|m-4|＜2$，
解得$2＜m＜6$；
当$\odot P$与直线$x=4$相离时，圆心$P$到直线$x=4$的距离大于半径2，即$|m-4|＞2$，
解得$m＜2$或$m＞6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} m=2 \\ n=\frac{3}{2} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=6 \\ n=\frac{9}{2} \end{cases}$；
(2) 相交时$2＜m＜6$，相离时$m＜2$或$m＞6$。
【知识点】
直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，绝对值不等式求解
【点评】
本题结合正比例函数性质考查直线与圆的位置关系，解题关键是掌握竖直线到点的距离的计算方法，以及不同位置关系下圆心距和半径的大小关系，解题时注意绝对值运算的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7