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5. (★)在平面直角坐标系中,以点(3,4)为圆心,4为半径长的圆与y轴的位置关系是
【 】
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
【 】
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断圆与y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到y轴的距离d，再将d和圆的半径r比较大小：若d＞r，圆与直线相离；若d=r，圆与直线相切；若d＜r，圆与直线相交。首先明确y轴是直线x=0，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，代入圆心坐标即可算出d，再和r比较就能得出结论。
【解析】
第一步：计算圆心到y轴的距离
已知圆心坐标为(3,4)，平面直角坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，因此圆心到y轴的距离d=|3|=3。
第二步：比较距离和半径的大小
已知圆的半径r=4，可得d=3 ＜ r=4。
第三步：判定位置关系
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离小于半径时，圆与直线相交，因此该圆与y轴相交。
【答案】
C
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离计算
2. 直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题的关键是熟练掌握“比较圆心到直线的距离与半径大小”的判定逻辑，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断圆与y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到y轴的距离d，再将d和圆的半径r比较大小：若d＞r，圆与直线相离；若d=r，圆与直线相切；若d＜r，圆与直线相交。首先明确y轴是直线x=0，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，代入圆心坐标即可算出d，再和r比较就能得出结论。
【解析】
第一步：计算圆心到y轴的距离
已知圆心坐标为(3,4)，平面直角坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，因此圆心到y轴的距离d=|3|=3。
第二步：比较距离和半径的大小
已知圆的半径r=4，可得d=3 ＜ r=4。
第三步：判定位置关系
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离小于半径时，圆与直线相交，因此该圆与y轴相交。
【答案】
C
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离计算
2. 直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题的关键是熟练掌握“比较圆心到直线的距离与半径大小”的判定逻辑，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. (★)已知$\odot O$的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为6.5 cm，则直线l和$\odot O$的公共点个数为
【 】
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
【 】
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确判断直线和圆位置关系的核心方法：通过比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小，确定二者的位置关系，再对应得到公共点的个数。具体对应规则为：①若$d＞r$，直线与圆相离，公共点个数为0；②若$d=r$，直线与圆相切，公共点个数为1；③若$d＜r$，直线与圆相交，公共点个数为2。接下来只需从题干提取$d$和$r$的数值，代入比较即可。
【解析】
解：由题意可知，$\odot O$的半径$r=7\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6.5\ \mathrm{cm}$。
因为$6.5\ \mathrm{cm}＜7\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$l$和$\odot O$的位置关系为相交，因此二者的公共点个数为2个。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆位置关系的判定规则，熟练掌握圆心到直线的距离和半径的大小关系对应的位置、公共点数量特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确判断直线和圆位置关系的核心方法：通过比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小，确定二者的位置关系，再对应得到公共点的个数。具体对应规则为：①若$d＞r$，直线与圆相离，公共点个数为0；②若$d=r$，直线与圆相切，公共点个数为1；③若$d＜r$，直线与圆相交，公共点个数为2。接下来只需从题干提取$d$和$r$的数值，代入比较即可。
【解析】
解：由题意可知，$\odot O$的半径$r=7\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6.5\ \mathrm{cm}$。
因为$6.5\ \mathrm{cm}＜7\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，所以直线$l$和$\odot O$的位置关系为相交，因此二者的公共点个数为2个。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆位置关系的判定规则，熟练掌握圆心到直线的距离和半径的大小关系对应的位置、公共点数量特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. (★★)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,AB=6 cm,O 为边 AB 上一点(O 不与点 A,B 重合).若 AO=x cm,⊙O 的半径长为1 cm,当x 在什么范围内取值时,直线 AC 与⊙O 相离、相切、相交?
答案
解：过点O作OD⊥AC于点D。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，AO=x cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知⊙O的半径r=1 cm，且O在AB上不与A、B重合，故0＜x＜6：
1. 当直线AC与⊙O相切时，OD=r，即$\frac{1}{2}x=1$，解得x=2；
2. 当直线AC与⊙O相离时，OD＞r，即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，结合0＜x＜6，得2＜x＜6；
3. 当直线AC与⊙O相交时，OD＜r，即$\frac{1}{2}x＜1$，解得x＜2，结合0＜x＜6，得0＜x＜2。
综上：当2＜x＜6时，直线AC与⊙O相离；当x=2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，AO=x cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知⊙O的半径r=1 cm，且O在AB上不与A、B重合，故0＜x＜6：
1. 当直线AC与⊙O相切时，OD=r，即$\frac{1}{2}x=1$，解得x=2；
2. 当直线AC与⊙O相离时，OD＞r，即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，结合0＜x＜6，得2＜x＜6；
3. 当直线AC与⊙O相交时，OD＜r，即$\frac{1}{2}x＜1$，解得x＜2，结合0＜x＜6，得0＜x＜2。
综上：当2＜x＜6时，直线AC与⊙O相离；当x=2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交。
解析
【分析】
要判断直线AC与⊙O的位置关系，核心是比较圆心O到直线AC的距离与⊙O半径的大小。首先过点O作OD⊥AC得到圆心到AC的距离OD；结合Rt△ABC的已知角度可推出∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，用含x的式子表示出OD的长度；最后分别根据直线与圆相离、相切、相交对应的数量关系列方程或不等式，结合O不与A、B重合的限定条件确定x的取值范围即可。
【解析】
过点O作OD⊥AC于点D。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，AO=x cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知⊙O的半径r=1 cm，且O在AB上不与A、B重合，故0＜x＜6：
1. 当直线AC与⊙O相切时，OD=r，即$\frac{1}{2}x=1$，解得x=2；
2. 当直线AC与⊙O相离时，OD＞r，即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，结合0＜x＜6，得2＜x＜6；
3. 当直线AC与⊙O相交时，OD＜r，即$\frac{1}{2}x＜1$，解得x＜2，结合0＜x＜6，得0＜x＜2。
【答案】
当2＜x＜6时，直线AC与⊙O相离；当x=2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交。
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用，解题关键是熟练掌握直线与圆三类位置关系对应的数量关系，求解时注意结合题目给出的限定条件确定未知数的取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
要判断直线AC与⊙O的位置关系，核心是比较圆心O到直线AC的距离与⊙O半径的大小。首先过点O作OD⊥AC得到圆心到AC的距离OD；结合Rt△ABC的已知角度可推出∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，用含x的式子表示出OD的长度；最后分别根据直线与圆相离、相切、相交对应的数量关系列方程或不等式，结合O不与A、B重合的限定条件确定x的取值范围即可。
【解析】
过点O作OD⊥AC于点D。
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴ ∠A=90°-60°=30°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，AO=x cm，
∴ $OD=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知⊙O的半径r=1 cm，且O在AB上不与A、B重合，故0＜x＜6：
1. 当直线AC与⊙O相切时，OD=r，即$\frac{1}{2}x=1$，解得x=2；
2. 当直线AC与⊙O相离时，OD＞r，即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，结合0＜x＜6，得2＜x＜6；
3. 当直线AC与⊙O相交时，OD＜r，即$\frac{1}{2}x＜1$，解得x＜2，结合0＜x＜6，得0＜x＜2。
【答案】
当2＜x＜6时，直线AC与⊙O相离；当x=2时，直线AC与⊙O相切；当0＜x＜2时，直线AC与⊙O相交。
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用，解题关键是熟练掌握直线与圆三类位置关系对应的数量关系，求解时注意结合题目给出的限定条件确定未知数的取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
8. (★)如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=8，以点A为圆心，3为半径长作圆，下列说法正确的是 【 】
A.点B在⊙A上
B.点C在⊙A内
C.直线BC与⊙A相切
D.直线BC与⊙A相交
A.点B在⊙A上
B.点C在⊙A内
C.直线BC与⊙A相切
D.直线BC与⊙A相交
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需分别判断点与圆、直线与圆的位置关系：①判断点B、C和⊙A的位置关系：只需比较AB、AC的长度与⊙A半径3的大小，若距离大于半径则点在圆外，等于则在圆上，小于则在圆内；②判断直线BC和⊙A的位置关系：需先求出圆心A到直线BC的距离，再和半径3比较，若距离等于半径则直线与圆相切，大于则相离，小于则相交。可通过作等腰三角形底边上的高，结合三线合一和勾股定理求出该距离。
【解析】
1. 判断点B、C与⊙A的位置关系：
已知⊙A的半径$ r=3 $，$ AB=AC=5 $，
∵$ 5＞3 $，即$ AB＞r $，$ AC＞r $，
∴点B、点C都在⊙A外，故A、B选项错误。
2. 判断直线BC与⊙A的位置关系：
过点A作$ AD⊥ BC $于点D，
∵$ AB=AC $，$ AD⊥ BC $，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∵$ BC=8 $，
∴$ BD=\frac{1}{2}BC=4 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，由勾股定理得：
$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3 $，
即圆心A到直线BC的距离等于⊙A的半径3，因此直线BC与⊙A相切，故C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定、直线与圆的位置关系判定、勾股定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查位置关系的判定逻辑，解题关键是利用等腰三角形的性质和勾股定理求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得到结论。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分别判断点与圆、直线与圆的位置关系：①判断点B、C和⊙A的位置关系：只需比较AB、AC的长度与⊙A半径3的大小，若距离大于半径则点在圆外，等于则在圆上，小于则在圆内；②判断直线BC和⊙A的位置关系：需先求出圆心A到直线BC的距离，再和半径3比较，若距离等于半径则直线与圆相切，大于则相离，小于则相交。可通过作等腰三角形底边上的高，结合三线合一和勾股定理求出该距离。
【解析】
1. 判断点B、C与⊙A的位置关系：
已知⊙A的半径$ r=3 $，$ AB=AC=5 $，
∵$ 5＞3 $，即$ AB＞r $，$ AC＞r $，
∴点B、点C都在⊙A外，故A、B选项错误。
2. 判断直线BC与⊙A的位置关系：
过点A作$ AD⊥ BC $于点D，
∵$ AB=AC $，$ AD⊥ BC $，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∵$ BC=8 $，
∴$ BD=\frac{1}{2}BC=4 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，由勾股定理得：
$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3 $，
即圆心A到直线BC的距离等于⊙A的半径3，因此直线BC与⊙A相切，故C选项正确，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定、直线与圆的位置关系判定、勾股定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查位置关系的判定逻辑，解题关键是利用等腰三角形的性质和勾股定理求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得到结论。
【难度系数】
0.7
9. (★★)如图是两个同心圆,圆心为点O,已知小圆的半径OA=3,大圆的半径OB=5,则大圆中一条长为6的弦一定和小圆 【 】
A.相交
B.相切
C.相离
D.位置关系无法确定
A.相交
B.相切
C.相离
D.位置关系无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断大圆的弦与小圆的位置关系，只需比较圆心到弦的距离和小圆半径的大小：若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于半径则相离。首先利用垂径定理求出弦长的一半，再结合大圆半径，用勾股定理求出圆心到弦的距离，最后和小圆半径对比即可得出结论。
【解析】
设大圆中长为6的弦为CD，过圆心O作OM⊥CD于点M。
根据垂径定理，可得：$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
在Rt△OMC中，OC为大圆半径，$OC=OB=5$，$CM=3$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
已知小圆半径$OA=3$，因为$4＞3$，即圆心到弦的距离大于小圆半径，因此这条弦和小圆相离。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是通过垂径定理和勾股定理求出圆心到弦的距离，再结合距离与半径的大小关系判断位置关系，是圆部分的常规考点。
【难度系数】
0.7
要判断大圆的弦与小圆的位置关系，只需比较圆心到弦的距离和小圆半径的大小：若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于半径则相离。首先利用垂径定理求出弦长的一半，再结合大圆半径，用勾股定理求出圆心到弦的距离，最后和小圆半径对比即可得出结论。
【解析】
设大圆中长为6的弦为CD，过圆心O作OM⊥CD于点M。
根据垂径定理，可得：$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$。
在Rt△OMC中，OC为大圆半径，$OC=OB=5$，$CM=3$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
已知小圆半径$OA=3$，因为$4＞3$，即圆心到弦的距离大于小圆半径，因此这条弦和小圆相离。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是通过垂径定理和勾股定理求出圆心到弦的距离，再结合距离与半径的大小关系判断位置关系，是圆部分的常规考点。
【难度系数】
0.7
10. (★★)已知圆心A到直线m的距离为$d$,$\odot A$的半径为$r$,若$d$,$r$是方程$x^2 -7x +12=0$的两个根,则直线$m$和$\odot A$的位置关系是 .
答案
解：解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为$d,r$是方程的两个根，因此分两种情况：
当$d=3$，$r=4$时，$d＜r$，直线$m$和$\odot A$相交；
当$d=4$，$r=3$时，$d＞r$，直线$m$和$\odot A$相离。
综上，直线$m$和$\odot A$的位置关系是相交或相离。
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为$d,r$是方程的两个根，因此分两种情况：
当$d=3$，$r=4$时，$d＜r$，直线$m$和$\odot A$相交；
当$d=4$，$r=3$时，$d＞r$，直线$m$和$\odot A$相离。
综上，直线$m$和$\odot A$的位置关系是相交或相离。
解析
【分析】
要解决这道题，第一步需要先求解给定的一元二次方程，得到d和r的可能取值；第二步由于题目仅说明d、r是方程的两个根，未明确二者的大小对应关系，因此需要分两种情况讨论d和r的大小；第三步根据直线与圆位置关系的判定规则，分别判断两种情况下的位置关系，最后汇总得到最终结果。
【解析】
解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为$d$，$r$是方程的两个根，因此分两种情况讨论：
当$d=3$，$r=4$时，$d＜r$，直线$m$和$\odot A$相交；
当$d=4$，$r=3$时，$d＞r$，直线$m$和$\odot A$相离。
综上，直线$m$和$\odot A$的位置关系是相交或相离。
【答案】
相交或相离
【知识点】
一元二次方程的解法、直线与圆的位置关系判定、分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了一元二次方程的求解能力，又考查了直线与圆位置关系的判定方法，解题时要注意题干未明确d和r的对应关系，需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，第一步需要先求解给定的一元二次方程，得到d和r的可能取值；第二步由于题目仅说明d、r是方程的两个根，未明确二者的大小对应关系，因此需要分两种情况讨论d和r的大小；第三步根据直线与圆位置关系的判定规则，分别判断两种情况下的位置关系，最后汇总得到最终结果。
【解析】
解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为$d$，$r$是方程的两个根，因此分两种情况讨论：
当$d=3$，$r=4$时，$d＜r$，直线$m$和$\odot A$相交；
当$d=4$，$r=3$时，$d＞r$，直线$m$和$\odot A$相离。
综上，直线$m$和$\odot A$的位置关系是相交或相离。
【答案】
相交或相离
【知识点】
一元二次方程的解法、直线与圆的位置关系判定、分类讨论思想
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了一元二次方程的求解能力，又考查了直线与圆位置关系的判定方法，解题时要注意题干未明确d和r的对应关系，需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. (★★)如图，$\odot O$的半径$OC=5\ \mathrm{cm}$，直线$l⊥ OC$，垂足为$H$，且$l$交$\odot O$于$A,B$两点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，若$l$沿$OC$所在直线平移后与$\odot O$相切，则平移的距离是
【 】
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
【 】
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
答案
D
解析
【分析】
解题首先需要利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再通过勾股定理算出圆心O到直线l的初始距离OH；接着根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，分直线向上平移、向下平移两种情况分别计算平移距离，避免漏解。
【解析】
连接OA，
∵ $OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
直线l平移后与$\odot O$相切时，圆心O到直线l的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 直线l沿OC向上平移：平移距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$；
② 直线l沿OC向下平移：平移距离为$5+3=8\ \mathrm{cm}$。
因此平移的距离是$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的性质
【点评】
本题易错点是忽略平移的两种方向，出现漏解，熟练掌握圆的相关性质、树立分类讨论思想是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解题首先需要利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再通过勾股定理算出圆心O到直线l的初始距离OH；接着根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，分直线向上平移、向下平移两种情况分别计算平移距离，避免漏解。
【解析】
连接OA，
∵ $OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
直线l平移后与$\odot O$相切时，圆心O到直线l的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
① 直线l沿OC向上平移：平移距离为$5-3=2\ \mathrm{cm}$；
② 直线l沿OC向下平移：平移距离为$5+3=8\ \mathrm{cm}$。
因此平移的距离是$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆相切的性质
【点评】
本题易错点是忽略平移的两种方向，出现漏解，熟练掌握圆的相关性质、树立分类讨论思想是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
