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5. (★★) 如图，OA = OB = 13 cm，AB = 24 cm，$\odot O$的直径为10 cm. 求证：AB是$\odot O$的切线.
答案
证明：
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明AB是⊙O的切线，可依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。由于题干未明确AB与⊙O的公共点，因此选择“作垂直、证半径”的思路解题：首先过圆心O作AB的垂线段OC，再结合等腰三角形三线合一的性质得到AC的长度，接着用勾股定理计算OC的长度，最后验证OC的长度等于⊙O的半径，且OC垂直AB，即可完成证明。
【解析】
证明：
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
【答案】
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，重点考查切线判定的常用思路，解题时结合等腰三角形性质与勾股定理即可快速求解，熟练掌握切线判定的两种方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明AB是⊙O的切线，可依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。由于题干未明确AB与⊙O的公共点，因此选择“作垂直、证半径”的思路解题：首先过圆心O作AB的垂线段OC，再结合等腰三角形三线合一的性质得到AC的长度，接着用勾股定理计算OC的长度，最后验证OC的长度等于⊙O的半径，且OC垂直AB，即可完成证明。
【解析】
证明：
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
【答案】
过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OA = OB = 13 cm，
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×24 = 12 cm。
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5 cm。
∵ ⊙O的直径为10 cm，
∴ ⊙O的半径为5 cm。
∴ OC等于⊙O的半径，且OC⊥AB。
∴ AB是⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，重点考查切线判定的常用思路，解题时结合等腰三角形性质与勾股定理即可快速求解，熟练掌握切线判定的两种方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6. (★★)如图，O为正方形ABCD对角线上的一点，以点O为圆心，OA长为半径的$\odot O$与CD相切于点M.
(1)求证：BC与$\odot O$相切；
(2)若$\odot O$的半径长为$\sqrt{2}$，求正方形的边长.
(1)求证：BC与$\odot O$相切；
(2)若$\odot O$的半径长为$\sqrt{2}$，求正方形的边长.
答案
(1) 证明：
过点O作$ON ⊥ BC$，垂足为点N，连接$OM$。
∵ $\odot O$与$CD$相切于点$M$，
∴ $OM ⊥ CD$，且$OM=OA$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
∴ $∠ OCM = ∠ OCN = 45°$，
又∵ $OM ⊥ CD$，$ON ⊥ BC$，
∴ $OM=ON$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ $ON=OA$，即$ON$是$\odot O$的半径，
又∵ $ON ⊥ BC$，
∴ $BC$与$\odot O$相切。
---
(2) 解：
∵ $∠ OMC=90°$，$∠ OCM=45°$，
∴ $△ OMC$是等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2} · OM$。
已知$\odot O$半径$OA=OM=\sqrt{2}$，代入得：
$OC=\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，
∴ 对角线$AC=OA+OC=\sqrt{2}+2$。
设正方形边长为$a$，在$Rt△ ACD$中，由勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵ $AD=CD=a$，
∴ $2a^2=(2+\sqrt{2})^2$，
解得$a=\sqrt{2}+1$（边长为正，舍去负根）。
答：正方形的边长为$\sqrt{2}+1$。
过点O作$ON ⊥ BC$，垂足为点N，连接$OM$。
∵ $\odot O$与$CD$相切于点$M$，
∴ $OM ⊥ CD$，且$OM=OA$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
∴ $∠ OCM = ∠ OCN = 45°$，
又∵ $OM ⊥ CD$，$ON ⊥ BC$，
∴ $OM=ON$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ $ON=OA$，即$ON$是$\odot O$的半径，
又∵ $ON ⊥ BC$，
∴ $BC$与$\odot O$相切。
---
(2) 解：
∵ $∠ OMC=90°$，$∠ OCM=45°$，
∴ $△ OMC$是等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2} · OM$。
已知$\odot O$半径$OA=OM=\sqrt{2}$，代入得：
$OC=\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，
∴ 对角线$AC=OA+OC=\sqrt{2}+2$。
设正方形边长为$a$，在$Rt△ ACD$中，由勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵ $AD=CD=a$，
∴ $2a^2=(2+\sqrt{2})^2$，
解得$a=\sqrt{2}+1$（边长为正，舍去负根）。
答：正方形的边长为$\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
(1) 要证明BC与$\odot O$相切，切线判定分两种情况：若已知直线与圆的公共点，就连接半径证垂直；若未知公共点，就过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。本题未给出BC与$\odot O$的交点，因此过O作$ON⊥BC$，只需证明ON等于$\odot O$的半径OA即可。结合CD与$\odot O$相切可得$OM⊥CD$、$OM=OA$，再利用正方形对角线平分内角，根据角平分线的性质可得$OM=ON$，即可完成证明。
(2) 求正方形边长可先求对角线AC的长度：由$△ OMC$是等腰直角三角形，结合已知半径可求出OC的长，$AC=OA+OC$；再根据正方形边长和对角线的关系，用勾股定理列方程即可求出边长。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$ON ⊥ BC$，垂足为点N，连接$OM$。
∵ $\odot O$与$CD$相切于点$M$，
∴ $OM ⊥ CD$，且$OM=OA$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
∴ $∠ OCM = ∠ OCN = 45°$，
又
∵ $OM ⊥ CD$，$ON ⊥ BC$，
∴ $OM=ON$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ $ON=OA$，即$ON$是$\odot O$的半径，
又
∵ $ON ⊥ BC$，
∴ $BC$与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵ $∠ OMC=90°$，$∠ OCM=45°$，
∴ $△ OMC$是等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2} · OM$。
已知$\odot O$半径$OA=OM=\sqrt{2}$，代入得：
$OC=\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，
∴ 对角线$AC=OA+OC=\sqrt{2}+2$。
设正方形边长为$a$，在$Rt△ ACD$中，由勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵ $AD=CD=a$，
∴ $2a^2=(2+\sqrt{2})^2$，
解得$a=\sqrt{2}+1$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 正方形的边长为$\sqrt{2}+1$。
【知识点】
切线的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础综合题，核心是熟练掌握切线的判定方法，会根据条件选择合适的辅助线，同时要能灵活运用等腰直角三角形的边角关系和勾股定理进行计算，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BC与$\odot O$相切，切线判定分两种情况：若已知直线与圆的公共点，就连接半径证垂直；若未知公共点，就过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。本题未给出BC与$\odot O$的交点，因此过O作$ON⊥BC$，只需证明ON等于$\odot O$的半径OA即可。结合CD与$\odot O$相切可得$OM⊥CD$、$OM=OA$，再利用正方形对角线平分内角，根据角平分线的性质可得$OM=ON$，即可完成证明。
(2) 求正方形边长可先求对角线AC的长度：由$△ OMC$是等腰直角三角形，结合已知半径可求出OC的长，$AC=OA+OC$；再根据正方形边长和对角线的关系，用勾股定理列方程即可求出边长。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$ON ⊥ BC$，垂足为点N，连接$OM$。
∵ $\odot O$与$CD$相切于点$M$，
∴ $OM ⊥ CD$，且$OM=OA$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，$AC$为对角线，
∴ $∠ OCM = ∠ OCN = 45°$，
又
∵ $OM ⊥ CD$，$ON ⊥ BC$，
∴ $OM=ON$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ $ON=OA$，即$ON$是$\odot O$的半径，
又
∵ $ON ⊥ BC$，
∴ $BC$与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵ $∠ OMC=90°$，$∠ OCM=45°$，
∴ $△ OMC$是等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2} · OM$。
已知$\odot O$半径$OA=OM=\sqrt{2}$，代入得：
$OC=\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，
∴ 对角线$AC=OA+OC=\sqrt{2}+2$。
设正方形边长为$a$，在$Rt△ ACD$中，由勾股定理：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵ $AD=CD=a$，
∴ $2a^2=(2+\sqrt{2})^2$，
解得$a=\sqrt{2}+1$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 正方形的边长为$\sqrt{2}+1$。
【知识点】
切线的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础综合题，核心是熟练掌握切线的判定方法，会根据条件选择合适的辅助线，同时要能灵活运用等腰直角三角形的边角关系和勾股定理进行计算，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
