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1. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$。
(1)若AD是BC上的中线，则$∠ ADB =$
(2)若$AD ⊥ BC$，$∠ BAD = 35°$，则$∠ BAC =$
(3)若$∠ BAD = ∠ CAD$，$BD = 3\ \mathrm{cm}$，则$BC =$
（第1题）
(1)若AD是BC上的中线，则$∠ ADB =$
90
°。(2)若$AD ⊥ BC$，$∠ BAD = 35°$，则$∠ BAC =$
70
°。(3)若$∠ BAD = ∠ CAD$，$BD = 3\ \mathrm{cm}$，则$BC =$
6
cm。（第1题）答案
1. (1)90 (2)70 (3)6
解析
【分析】
本题考查等腰三角形“三线合一”的性质应用，解题思路如下：首先明确等腰三角形的核心性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。我们只需要根据每个小问给出的已知条件，对应匹配三线合一的结论，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$同时是$BC$边上的高，因此$∠ ADB=90°$；
(2) 已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，即$∠ BAC=2∠ BAD$，代入$∠ BAD=35°$，得$∠ BAC=2×35°=70°$；
(3) 已知$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，说明$AD$是$∠ BAC$的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$同时是$BC$边上的中线，即$D$为$BC$中点，故$BC=2BD$，代入$BD=3\mathrm{cm}$，得$BC=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$90$；(2)$70$；(3)$6$
【知识点】
等腰三角形三线合一、角度计算、线段计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础考查题，核心考点为三线合一的应用，题型简单直接，熟练掌握三线合一的三种对应场景即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形“三线合一”的性质应用，解题思路如下：首先明确等腰三角形的核心性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。我们只需要根据每个小问给出的已知条件，对应匹配三线合一的结论，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$同时是$BC$边上的高，因此$∠ ADB=90°$；
(2) 已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，即$∠ BAC=2∠ BAD$，代入$∠ BAD=35°$，得$∠ BAC=2×35°=70°$；
(3) 已知$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，说明$AD$是$∠ BAC$的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$同时是$BC$边上的中线，即$D$为$BC$中点，故$BC=2BD$，代入$BD=3\mathrm{cm}$，得$BC=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$90$；(2)$70$；(3)$6$
【知识点】
等腰三角形三线合一、角度计算、线段计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础考查题，核心考点为三线合一的应用，题型简单直接，熟练掌握三线合一的三种对应场景即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$△ ABC$是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使$CE=CD$，连结DE。有下列结论：①$BD ⊥ AC$；②BD平分$∠ ABC$；③$BD=DE$；④$∠ BDE=120°$。其中，正确的是
①②③④
。（填序号）答案
2. ①②③④
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先利用等边三角形“三线合一”的性质，判断BD作为中线时，是否同时满足高和角平分线的特征，验证①②；再结合CE=CD得到等腰△CDE，利用三角形外角性质和等腰三角形等边对等角求出∠E的度数，和∠DBC的度数对比，验证③；最后通过三角形内角和计算∠BDE的度数，验证④。
【解析】
1. 已知$△ ABC$是等边三角形，BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，等边三角形的中线与对应边上的高、对应角的平分线互相重合，因此$BD ⊥ AC$，且BD平分$∠ ABC$，故①②结论正确。
2. 等边三角形的内角均为$60°$，因此$∠ ACB=60°$，可得$∠ DCE=180°-∠ ACB=120°$。
3. 因为$CE=CD$，所以$△ CDE$是等腰三角形，根据等边对等角得$∠ CDE=∠ E$，因此$∠ E=\frac{180°-∠ DCE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
4. 由BD平分$∠ ABC$，得$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，因此$∠ DBC=∠ E$，根据等角对等边可得$BD=DE$，故③结论正确。
5. 在$△ BDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BDE=180°-∠ DBC-∠ E=180°-30°-30°=120°$，故④结论正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是对等边三角形、等腰三角形性质的灵活运用，通过角度推导即可判断所有结论，解题时注意结合图形理清角之间的关系。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：首先利用等边三角形“三线合一”的性质，判断BD作为中线时，是否同时满足高和角平分线的特征，验证①②；再结合CE=CD得到等腰△CDE，利用三角形外角性质和等腰三角形等边对等角求出∠E的度数，和∠DBC的度数对比，验证③；最后通过三角形内角和计算∠BDE的度数，验证④。
【解析】
1. 已知$△ ABC$是等边三角形，BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质，等边三角形的中线与对应边上的高、对应角的平分线互相重合，因此$BD ⊥ AC$，且BD平分$∠ ABC$，故①②结论正确。
2. 等边三角形的内角均为$60°$，因此$∠ ACB=60°$，可得$∠ DCE=180°-∠ ACB=120°$。
3. 因为$CE=CD$，所以$△ CDE$是等腰三角形，根据等边对等角得$∠ CDE=∠ E$，因此$∠ E=\frac{180°-∠ DCE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
4. 由BD平分$∠ ABC$，得$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，因此$∠ DBC=∠ E$，根据等角对等边可得$BD=DE$，故③结论正确。
5. 在$△ BDE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BDE=180°-∠ DBC-∠ E=180°-30°-30°=120°$，故④结论正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是对等边三角形、等腰三角形性质的灵活运用，通过角度推导即可判断所有结论，解题时注意结合图形理清角之间的关系。
【难度系数】
0.7
3. 下列命题中，正确的是 （
A.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B.等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C.顶角相等的两个等腰三角形全等
D.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍
A
）A.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
B.等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
C.顶角相等的两个等腰三角形全等
D.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道等腰三角形相关性质的辨析选择题，解题时需逐一分析每个选项，结合等腰三角形性质、平行线判定、全等三角形判定等知识点判断正误，尤其要注意概念里的细节限定条件，避开常见易错陷阱。
【解析】
我们逐个对选项进行判断：
1. 选项A：设等腰三角形顶角为∠A，两底角为∠B、∠C，根据等腰三角形两底角相等可得∠B=∠C。根据三角形外角性质，顶角的外角等于不相邻两个内角和，即等于∠B+∠C=2∠B。外角平分线将该外角平分为两个相等的角，每个角的大小都等于∠B，此时这两个角和底角∠B为同位角，同位角相等则两直线平行，因此顶角的外角平分线与底边平行，A表述正确。
2. 选项B：等腰三角形的“三线合一”仅指底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有的高线、中线、角平分线都重合，比如腰上的高线和腰上的中线就不重合，B表述错误。
3. 选项C：顶角相等的两个等腰三角形三个内角都对应相等（AAA），但全等三角形判定需要至少一组对应边相等，仅角对应相等只能判定两个三角形相似，不能判定全等，C表述错误。
4. 选项D：当等腰三角形的腰长为底边长的2倍时，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边），例如腰长为4、底边长为2，可构成合法的等腰三角形，因此等腰三角形的一边可以是另一边的2倍，D表述错误。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对等腰三角形相关性质的准确理解，需要注意区分三线合一的适用范围、全等三角形的判定条件等易混淆知识点，牢固掌握基础概念就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
这是一道等腰三角形相关性质的辨析选择题，解题时需逐一分析每个选项，结合等腰三角形性质、平行线判定、全等三角形判定等知识点判断正误，尤其要注意概念里的细节限定条件，避开常见易错陷阱。
【解析】
我们逐个对选项进行判断：
1. 选项A：设等腰三角形顶角为∠A，两底角为∠B、∠C，根据等腰三角形两底角相等可得∠B=∠C。根据三角形外角性质，顶角的外角等于不相邻两个内角和，即等于∠B+∠C=2∠B。外角平分线将该外角平分为两个相等的角，每个角的大小都等于∠B，此时这两个角和底角∠B为同位角，同位角相等则两直线平行，因此顶角的外角平分线与底边平行，A表述正确。
2. 选项B：等腰三角形的“三线合一”仅指底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有的高线、中线、角平分线都重合，比如腰上的高线和腰上的中线就不重合，B表述错误。
3. 选项C：顶角相等的两个等腰三角形三个内角都对应相等（AAA），但全等三角形判定需要至少一组对应边相等，仅角对应相等只能判定两个三角形相似，不能判定全等，C表述错误。
4. 选项D：当等腰三角形的腰长为底边长的2倍时，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边），例如腰长为4、底边长为2，可构成合法的等腰三角形，因此等腰三角形的一边可以是另一边的2倍，D表述错误。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对等腰三角形相关性质的准确理解，需要注意区分三线合一的适用范围、全等三角形的判定条件等易混淆知识点，牢固掌握基础概念就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 6$，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$CD = 4$，则$△ ABC$的周长为（
A.18
B.20
C.22
D.24
B
）A.18
B.20
C.22
D.24
答案
4. B
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时也是BC边上的中线，因此可得出BC=2CD，求出BC的长度后，将三角形三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∴BC=2CD，
已知CD=4，
∴BC=2×4=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+6+8=20。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形性质的应用，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，准确算出底边的长度即可求解。
【难度系数】
0.8
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时也是BC边上的中线，因此可得出BC=2CD，求出BC的长度后，将三角形三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，
∴BC=2CD，
已知CD=4，
∴BC=2×4=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+6+8=20。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形性质的应用，解题关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，准确算出底边的长度即可求解。
【难度系数】
0.8
5. AD，CE 分别是$△ ABC$的中线和角平分线。若$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ ACE$的度数是 （
A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
B
）A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
5. B
解析
【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是三角形的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的角平分线，结合已知∠CAD=20°即可求出顶角∠BAC的度数；再利用三角形内角和定理计算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线，角平分线将角分成两个相等的小角，就能求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°
∵AB=AC，△ABC内角和为180°
∴∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°
又
∵CE是△ABC的角平分线
∴∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导角度，需要学生牢记等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是三角形的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是顶角∠BAC的角平分线，结合已知∠CAD=20°即可求出顶角∠BAC的度数；再利用三角形内角和定理计算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线，角平分线将角分成两个相等的小角，就能求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°
∵AB=AC，△ABC内角和为180°
∴∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°
又
∵CE是△ABC的角平分线
∴∠ACE=½∠ACB=½×70°=35°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导角度，需要学生牢记等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC。求证:AO⊥BC。
答案
6. 提示:先利用 SSS 证$△ AOB≌△ AOC$,再利用三线合一证得$AO⊥ BC$
解析
【分析】
要证明AO⊥BC，已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AO是∠BAC的角平分线即可。结合题目给出的OB=OC、AO为公共边的条件，可先通过SSS判定定理证明△AOB≌△AOC，利用全等三角形对应角相等得到∠BAO=∠CAO，确认AO是顶角平分线，最后通过三线合一推导出AO⊥BC。
【解析】
证明：
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知})\\OB=OC(\mathrm{已知})\\AO=AO(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ AOC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAO=∠ CAO$（全等三角形的对应角相等），即$AO$平分$∠ BAC$。
又$\because AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AO ⊥ BC$
【答案】
$AO⊥ BC$，证明如上。
【知识点】
SSS证全等，全等三角形性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形性质结合的基础证明题，解题关键是通过全等得到角相等的关系，再利用等腰三角形三线合一推导垂直结论，熟练掌握全等判定方法和等腰三角形性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要证明AO⊥BC，已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AO是∠BAC的角平分线即可。结合题目给出的OB=OC、AO为公共边的条件，可先通过SSS判定定理证明△AOB≌△AOC，利用全等三角形对应角相等得到∠BAO=∠CAO，确认AO是顶角平分线，最后通过三线合一推导出AO⊥BC。
【解析】
证明：
在$△ AOB$和$△ AOC$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知})\\OB=OC(\mathrm{已知})\\AO=AO(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ AOC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAO=∠ CAO$（全等三角形的对应角相等），即$AO$平分$∠ BAC$。
又$\because AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AO ⊥ BC$
【答案】
$AO⊥ BC$，证明如上。
【知识点】
SSS证全等，全等三角形性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形性质结合的基础证明题，解题关键是通过全等得到角相等的关系，再利用等腰三角形三线合一推导垂直结论，熟练掌握全等判定方法和等腰三角形性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
