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7.已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,交AC于点G,EF⊥AB,垂足为F。求证:EF=ED。
答案
7. 证明: $\because AB=AC$,AD 是 BC 边上的中线, $\therefore AD ⊥ BC$。又$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF ⊥ AB$,$\therefore EF=ED$
解析
【分析】
要证明EF=ED，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先需明确两个前提：一是点E在∠ABC的角平分线上（题中已知BG是∠ABC的平分线，E在BG上，该条件已满足）；二是ED、EF分别是点E到∠ABC两边BC、AB的距离。题中已给出EF⊥AB，因此只需证明ED⊥BC即可。结合等腰△ABC中AB=AC，AD是底边BC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可推出AD⊥BC，即ED⊥BC，两个前提均满足，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合，即三线合一）。
又
∵ BG平分∠ABC，EF⊥AB，ED⊥BC，
∴ EF=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明: $\because AB=AC$,AD 是 BC 边上的中线, $\therefore AD ⊥ BC$。又$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF ⊥ AB$,$\therefore EF=ED$
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查两个核心性质的综合应用，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到ED与BC的垂直关系，再匹配角平分线的性质即可快速得到结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要证明EF=ED，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先需明确两个前提：一是点E在∠ABC的角平分线上（题中已知BG是∠ABC的平分线，E在BG上，该条件已满足）；二是ED、EF分别是点E到∠ABC两边BC、AB的距离。题中已给出EF⊥AB，因此只需证明ED⊥BC即可。结合等腰△ABC中AB=AC，AD是底边BC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可推出AD⊥BC，即ED⊥BC，两个前提均满足，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合，即三线合一）。
又
∵ BG平分∠ABC，EF⊥AB，ED⊥BC，
∴ EF=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明: $\because AB=AC$,AD 是 BC 边上的中线, $\therefore AD ⊥ BC$。又$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF ⊥ AB$,$\therefore EF=ED$
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查两个核心性质的综合应用，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到ED与BC的垂直关系，再匹配角平分线的性质即可快速得到结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,点D在BC边上,$BD=AD=AC$,E为CD的中点,若$∠ CAE=16°$,则$∠ B=$
37
°。答案
8. 37
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，出现等腰△ADC且E是底边CD的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE⊥CD，由此先在直角三角形AEC中求出∠C的度数；再利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ADC=∠C，最后结合BD=AD的等边对等角关系，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导得出∠B与∠ADC的数量关系，即可计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD=AC，E是CD的中点，
∴AE⊥CD（等腰三角形三线合一），即∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠C=90°-∠CAE=90°-16°=74°。
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°（等边对等角）。
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD（等边对等角）。
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=74°÷2=37°。
【答案】
37
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形外角的性质逐步推导角度关系，理清各角之间的联系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，出现等腰△ADC且E是底边CD的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE⊥CD，由此先在直角三角形AEC中求出∠C的度数；再利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ADC=∠C，最后结合BD=AD的等边对等角关系，以及三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导得出∠B与∠ADC的数量关系，即可计算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD=AC，E是CD的中点，
∴AE⊥CD（等腰三角形三线合一），即∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠C=90°-∠CAE=90°-16°=74°。
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=74°（等边对等角）。
∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD（等边对等角）。
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B=74°÷2=37°。
【答案】
37
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合三角形外角的性质逐步推导角度关系，理清各角之间的联系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. △ABC是等边三角形，中线AD，BE交于点O，则∠BOC=
120
°答案
9. 120
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的核心性质：其一，等边三角形三个内角均为60°；其二，等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足三线合一，即中线、高、角平分线互相重合；同时三角形的三条中线交于同一点。解题思路如下：第一步先确定等边三角形各内角的度数；第二步利用三线合一的性质，得到中线同时为角平分线，从而求出△BOC中两个底角的度数；第三步结合三角形内角和为180°，计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵AD、BE是△ABC的中线，三角形的三条中线交于一点，
∴连接OC，OC为AB边上的中线。
根据等边三角形三线合一的性质，中线同时是角平分线，
∴BE平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=½∠ABC=½×60°=30°，∠OCB=½∠ACB=½×60°=30°。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
【答案】
120
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察等边三角形三线合一性质的应用，只要熟练掌握特殊三角形的基础性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的核心性质：其一，等边三角形三个内角均为60°；其二，等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足三线合一，即中线、高、角平分线互相重合；同时三角形的三条中线交于同一点。解题思路如下：第一步先确定等边三角形各内角的度数；第二步利用三线合一的性质，得到中线同时为角平分线，从而求出△BOC中两个底角的度数；第三步结合三角形内角和为180°，计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵AD、BE是△ABC的中线，三角形的三条中线交于一点，
∴连接OC，OC为AB边上的中线。
根据等边三角形三线合一的性质，中线同时是角平分线，
∴BE平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=½∠ABC=½×60°=30°，∠OCB=½∠ACB=½×60°=30°。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
【答案】
120
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考察等边三角形三线合一性质的应用，只要熟练掌握特殊三角形的基础性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在等边△ABC中，三个内角的平分线AD，BE，CF相交于点O。下列结论错误的是（
A.点O到△ABC各边的距离相等
B.点O到△ABC各顶点的距离相等
C.△OAB≌△OBC≌△OCA
D.将△ABC绕点O旋转60°后能与原三角形重合
D
）A.点O到△ABC各边的距离相等
B.点O到△ABC各顶点的距离相等
C.△OAB≌△OBC≌△OCA
D.将△ABC绕点O旋转60°后能与原三角形重合
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的相关性质，解题时先明确等边三角形三条内角平分线的交点是其中心，具备“四心合一”的特点，再逐一分析四个选项：首先利用角平分线的性质判断A选项；结合等边三角形外心的性质判断B选项；通过全等三角形的判定定理判断C选项；根据旋转重合的条件，计算等边三角形绕中心旋转的最小重合角度判断D选项，最终选出错误结论即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD、BE、CF是三个内角的平分线，
∴交点O是等边△ABC的中心，同时为内心、外心、重心、垂心。
1. 分析选项A：角平分线上的点到角两边的距离相等，O在∠A、∠B、∠C的角平分线上，因此点O到△ABC三边的距离相等，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，O是△ABC的外心，因此OA=OB=OC，即点O到△ABC各顶点的距离相等，B结论正确，不符合题意。
3. 分析选项C：在△OAB、△OBC、△OCA中，AB=BC=CA（等边三角形三边相等），OA=OB=OC（外心到顶点距离相等），根据SSS全等判定定理，可得△OAB≌△OBC≌△OCA，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：等边三角形绕中心旋转的最小重合角度为$360°÷3=120°$，因此旋转$60°$后无法与原三角形重合，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；图形的旋转
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查等边三角形“四心合一”的特殊性质，只要熟练掌握相关基础知识点，逐一排查选项即可得出正确答案，需要注意图形旋转重合的角度需对应图形等分周角的结果。
【难度系数】
0.7
本题考查等边三角形的相关性质，解题时先明确等边三角形三条内角平分线的交点是其中心，具备“四心合一”的特点，再逐一分析四个选项：首先利用角平分线的性质判断A选项；结合等边三角形外心的性质判断B选项；通过全等三角形的判定定理判断C选项；根据旋转重合的条件，计算等边三角形绕中心旋转的最小重合角度判断D选项，最终选出错误结论即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD、BE、CF是三个内角的平分线，
∴交点O是等边△ABC的中心，同时为内心、外心、重心、垂心。
1. 分析选项A：角平分线上的点到角两边的距离相等，O在∠A、∠B、∠C的角平分线上，因此点O到△ABC三边的距离相等，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，O是△ABC的外心，因此OA=OB=OC，即点O到△ABC各顶点的距离相等，B结论正确，不符合题意。
3. 分析选项C：在△OAB、△OBC、△OCA中，AB=BC=CA（等边三角形三边相等），OA=OB=OC（外心到顶点距离相等），根据SSS全等判定定理，可得△OAB≌△OBC≌△OCA，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：等边三角形绕中心旋转的最小重合角度为$360°÷3=120°$，因此旋转$60°$后无法与原三角形重合，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；图形的旋转
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查等边三角形“四心合一”的特殊性质，只要熟练掌握相关基础知识点，逐一排查选项即可得出正确答案，需要注意图形旋转重合的角度需对应图形等分周角的结果。
【难度系数】
0.7
11. 如图，已知线段 $ a $，$ h $，作等腰 $ △ ABC $，使 $ AB = AC $，且 $ BC = a $，$ BC $ 边上的高 $ AD = h $。张红的作法是：①作线段 $ BC = a $；②作线段 $ BC $ 的垂直平分线 $ MN $，$ MN $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $；③在直线 $ MN $ 上截取线段 $ h $；④连结 $ AB $，$ AC $，$ △ ABC $ 为所求的等腰三角形。上述作法的四个步骤中，有错误的一步是 （
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
11. C
解析
【分析】
要判断作图步骤的对错，首先结合等腰三角形的性质梳理正确的作图逻辑：等腰三角形底边的高、中线和顶角平分线重合（三线合一），因此顶点A一定在底边BC的垂直平分线上，且A到BC的距离等于高h。我们依次验证每一步：第一步确定底边长度，第二步作底边的垂直平分线找到高所在的直线，第三步需要在垂直平分线上确定顶点A的位置，要求A到垂足D的长度为h，第四步连接三边得到三角形，据此判断错误步骤即可。
【解析】
我们逐一分析各步骤：
1. 步骤①：作线段$BC=a$，确定等腰三角形的底边，操作正确；
2. 步骤②：作BC的垂直平分线MN，交BC于点D。根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC的高必然在MN上，D为BC的中点，操作正确；
3. 步骤③：“在直线MN上截取线段h”表述错误。正确操作应该是以D为端点，在MN上截取长度为h的线段DA，才能确定顶点A的位置，原步骤没有明确截取的端点，无法唯一确定A点，操作错误；
4. 步骤④：确定A点后连接AB、AC，即可得到所求的等腰三角形，操作正确。
因此错误的是步骤③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，尺规作图，垂直平分线性质
【点评】
本题考查等腰三角形的规范作图，需要注意作图步骤的严谨性，截取线段时要明确端点和长度要求，才能准确确定图形顶点的位置。
【难度系数】
0.8
要判断作图步骤的对错，首先结合等腰三角形的性质梳理正确的作图逻辑：等腰三角形底边的高、中线和顶角平分线重合（三线合一），因此顶点A一定在底边BC的垂直平分线上，且A到BC的距离等于高h。我们依次验证每一步：第一步确定底边长度，第二步作底边的垂直平分线找到高所在的直线，第三步需要在垂直平分线上确定顶点A的位置，要求A到垂足D的长度为h，第四步连接三边得到三角形，据此判断错误步骤即可。
【解析】
我们逐一分析各步骤：
1. 步骤①：作线段$BC=a$，确定等腰三角形的底边，操作正确；
2. 步骤②：作BC的垂直平分线MN，交BC于点D。根据等腰三角形三线合一的性质，底边BC的高必然在MN上，D为BC的中点，操作正确；
3. 步骤③：“在直线MN上截取线段h”表述错误。正确操作应该是以D为端点，在MN上截取长度为h的线段DA，才能确定顶点A的位置，原步骤没有明确截取的端点，无法唯一确定A点，操作错误；
4. 步骤④：确定A点后连接AB、AC，即可得到所求的等腰三角形，操作正确。
因此错误的是步骤③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，尺规作图，垂直平分线性质
【点评】
本题考查等腰三角形的规范作图，需要注意作图步骤的严谨性，截取线段时要明确端点和长度要求，才能准确确定图形顶点的位置。
【难度系数】
0.8
