12. 已知:如图,在等腰$△ ABC$中,$CH$是底边上的高线,点$P$是线段$CH$上不与端点重合的任意一点,连结$AP$并延长交$BC$于点$E$,连结$BP$并延长交$AC$于点$F$。
(1)求证:$∠ CAE=∠ CBF$。
(2)求证:$AE=BF$。

12. 提示:(1)由$∠ CAB=∠ CBA,∠ PAB=∠ PBA$ 可得$∠ CAE=∠ CBF$；
(2)由$△ AEC≌△ BFC$,可得$AE=BF$

【分析】
(1) 要证明∠CAE=∠CBF，首先利用等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，且底边上的高线同时是底边的垂直平分线。先由等腰△ABC得∠CAB=∠CBA，再由CH是底边AB的高线，可得CH垂直平分AB，因此点P在CH上时PA=PB，进而得∠PAB=∠PBA，将∠CAB减去∠PAB、∠CBA减去∠PBA，即可得到∠CAE=∠CBF。
(2) 要证明AE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知AE在△AEC中，BF在△BFC中，已知AC=BC，∠C是公共角，再结合第一问已证的∠CAE=∠CBF，即可通过ASA判定△AEC≌△BFC，根据全等三角形对应边相等就可得到AE=BF。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等腰三角形，CH是底边AB上的高线，
∴AC=BC，∠CAB=∠CBA，且CH垂直平分AB，
∵点P在线段CH上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠CAB - ∠PAB = ∠CBA - ∠PBA，即∠CAE=∠CBF。
(2) 证明：
在△AEC和△BFC中：
$\{\begin{array}{l}∠ACE=∠BCF（公共角）\\AC=BC（等腰三角形两腰相等）\\∠CAE=∠CBF（已证）\end{array} $
∴△AEC≌△BFC（ASA），
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
(1) ∠CAE=∠CBF得证；(2) AE=BF得证
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形性质和全等三角形判定、性质的综合运用，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质找到角的等量关系，为证明三角形全等提供条件，掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7

13.已知:如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4。求证:OB=OD。

13. 证明: 在 $△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中, $\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AC=AC,\\∠ 3=∠ 4,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADC$ (ASA), $\therefore AB=AD$,
$\therefore △ ABD$ 是等腰三角形。又$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore OB=OD$(等腰三角形三线合一)

【分析】
要证明OB=OD，我们可以先通过证明三角形全等得到AB=AD，再利用等腰三角形的性质推导结论。首先观察△ABC和△ADC，已知∠1=∠2，∠3=∠4，且AC是两个三角形的公共边，满足角边角（ASA）的全等判定条件，可先证得△ABC≌△ADC，得到AB=AD，即△ABD为等腰三角形。又因为∠1=∠2，说明AC是等腰△ABD的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，顶角平分线同时是底边的中线，即可推出OB=OD。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\AC=AC,\\∠3=∠4,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$（ASA），
$\therefore AB=AD$，$△ ABD$是等腰三角形。
又$\because ∠1=∠2$，
$\therefore OB=OD$（等腰三角形三线合一）。
【答案】
$OB=OD$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的三线合一
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是先利用ASA判定三角形全等得到等线段，再结合等腰三角形三线合一的性质得出结论，能够帮助学生巩固全等三角形和等腰三角形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

14.已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点E在AC边上,点F在BA的延长线上,$∠ AEF=∠ AFE$。求证:$EF⊥ BC$。

14. 作 BC 边上的高 AD,D 为垂足。$\because AB=AC,AD⊥ BC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。又$\because ∠ BAC=∠ F+∠ AEF,∠ AEF=∠ AFE,\therefore ∠ CAD=∠ AEF,\therefore AD// EF$。$\because AD⊥ BC,\therefore EF⊥ BC$

【分析】
要证明$EF⊥BC$，我们可以转化思路：先利用等腰三角形的性质找到一条垂直于$BC$的直线，再证明$EF$和这条直线平行，即可得到$EF⊥BC$的结论。
第一步，已知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，作$BC$边上的高$AD$，可得$AD⊥BC$，此时只需证明$AD// EF$即可。
第二步，证明$AD// EF$可通过找相等的内错角推导：首先由三线合一得$∠ BAC=2∠ CAD$；再根据三角形外角性质，$∠ BAC$是$△ AEF$的外角，结合已知$∠ AEF=∠ AFE$，可得$∠ BAC=2∠ AEF$，由此推出$∠ CAD=∠ AEF$，内错角相等即可判定$AD// EF$，最终得出$EF⊥BC$。
【解析】
证明：作$BC$边上的高$AD$，$D$为垂足。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\because ∠ BAC$是$△ AEF$的外角，
$\therefore ∠ BAC=∠ F+∠ AEF$，
又$\because ∠ AEF=∠ AFE$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ AEF$，
结合$∠ BAC=2∠ CAD$，可得$∠ CAD=∠ AEF$，
$\therefore AD// EF$（内错角相等，两直线平行）。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore EF⊥ BC$（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
【答案】
作 $BC$ 边上的高 $AD$,$D$ 为垂足。$\because AB=AC,AD⊥ BC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。又$\because ∠ BAC=∠ F+∠ AEF,∠ AEF=∠ AFE,\therefore ∠ CAD=∠ AEF,\therefore AD// EF$。$\because AD⊥ BC,\therefore EF⊥ BC$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 三角形外角性质
3. 平行线的判定与性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，通过作等腰三角形底边上的高搭建已知条件和结论的桥梁，将垂直关系的证明转化为平行关系的推导，考查了学生对基础几何知识点的综合运用能力，合理作辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.7

15.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,EC⊥BC,EC=BD,DF=FE。
(1)求证:△ABD≌△ACE。
(2)求证:AF⊥DE。

15. 提示:(1)利用 $AB=AC,EC=BD,∠ B=∠ ACE=45°$,证出全等
(2)利用等腰三角形三线合一证出

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ACE，首先梳理已知条件：已给出AB=AC、BD=EC两组边对应相等，只需证明两组边的夹角∠B和∠ACE相等即可。先根据等腰直角△ABC的性质得∠B=45°，再结合EC⊥BC计算出∠ACE=45°，即可得到夹角相等，用SAS判定定理即可证明全等。
(2) 要证明AF⊥DE，由(1)的全等结论可推出AD=AE，即△ADE是等腰三角形，已知DF=FE说明F是DE中点，根据等腰三角形三线合一的性质，底边的中线同时是底边的高，即可推出AF⊥DE。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠ACB=45°，
∵EC⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases}AB=AC(已知)\\∠ B=∠ ACE(已证)\\BD=EC(已知)\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得AD=AE，即△ADE为等腰三角形，
又
∵DF=FE，即AF是等腰△ADE底边DE上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得AF⊥DE。
【答案】
(1) △ABD≌△ACE成立；(2) AF⊥DE成立。
【知识点】
全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形性质结合的基础常考题，解题逻辑清晰，关键是先推导角度得到全等的判定条件，再利用全等的性质得到等腰三角形，结合三线合一完成垂直的证明，有助于巩固相关核心知识点。
【难度系数】
0.7