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16.已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AE=AC,EF//BC,交AC于F。求证:CE平分∠DEF。
答案
17. (1)$∠ EDF=50°$
(2)证明: $\because AB=BC,E$ 是 AC 的中点, $\therefore ∠ ABE=∠ CBE$。$\because DF⊥ AB$,$DE⊥ BC$,$\therefore ∠ FGB+∠ ABE=∠ DEG+∠ CBE=90°$,$\therefore ∠ FGB=∠ DEG$。又$\because ∠ DGE=∠ FGB,\therefore ∠ DGE=∠ DEG$
17. 如图，在$△ ABC$中，$AB＝BC$，$D$为边$BC$上的一点，$DE ⊥ BC$，交$AC$于点$E$，$DF ⊥ AB$于点$F$。
(1)若$∠ AED＝155°$，求$∠ EDF$的度数。
(2)连结$BE$交$DF$于点$G$，若点$E$是$AC$的中点，求证：$∠ DGE＝∠ DEG$。
(1)若$∠ AED＝155°$，求$∠ EDF$的度数。
(2)连结$BE$交$DF$于点$G$，若点$E$是$AC$的中点，求证：$∠ DGE＝∠ DEG$。
答案
解：(1)
∵ ∠AED = 155°，
∴ ∠CED = 180° - ∠AED = 25°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
在Rt△CDE中，∠C = 90° - ∠CED = 65°，
∵ AB = BC，
∴ ∠A = ∠C = 65°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 50°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
在Rt△BDF中，∠BDF = 90° - ∠B = 40°，
∵ ∠BDE = 90°，即∠BDF + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDF = 50°。
(2)证明：
∵ AB = BC，点E是AC的中点，
∴ BE ⊥ AC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BEC = 90°，
∴ ∠DEG + ∠DEC = 90°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
∴ ∠C + ∠DEC = 90°，
∴ ∠DEG = ∠C，
∵ AB = BC，
∴ ∠ABC = ∠C，
∵ BE ⊥ AC，
∴ ∠EBC + ∠C = 90°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
∴ ∠DBG + ∠BDF = 90°，
又∵ ∠DBG即∠EBC，
∴ ∠BDF = ∠C，
在Rt△BDG中，∠BDG = 90°，
∴ ∠DGE + ∠DBG = 90°，
∴ ∠DGE = ∠C，
∴ ∠DGE = ∠DEG。
∵ ∠AED = 155°，
∴ ∠CED = 180° - ∠AED = 25°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
在Rt△CDE中，∠C = 90° - ∠CED = 65°，
∵ AB = BC，
∴ ∠A = ∠C = 65°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 50°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
在Rt△BDF中，∠BDF = 90° - ∠B = 40°，
∵ ∠BDE = 90°，即∠BDF + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDF = 50°。
(2)证明：
∵ AB = BC，点E是AC的中点，
∴ BE ⊥ AC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BEC = 90°，
∴ ∠DEG + ∠DEC = 90°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
∴ ∠C + ∠DEC = 90°，
∴ ∠DEG = ∠C，
∵ AB = BC，
∴ ∠ABC = ∠C，
∵ BE ⊥ AC，
∴ ∠EBC + ∠C = 90°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
∴ ∠DBG + ∠BDF = 90°，
又∵ ∠DBG即∠EBC，
∴ ∠BDF = ∠C，
在Rt△BDG中，∠BDG = 90°，
∴ ∠DGE + ∠DBG = 90°，
∴ ∠DGE = ∠C，
∴ ∠DGE = ∠DEG。
解析
【分析】
(1) 求∠EDF的度数可按以下思路推导：首先利用邻补角性质由∠AED求出∠CED，再结合DE⊥BC，在Rt△CDE中求出∠C；根据AB=BC可知△ABC为等腰三角形，得∠A=∠C，结合三角形内角和求出∠B；再由DF⊥AB，在Rt△BDF中求出∠BDF，最后根据∠BDF与∠EDF互余，即可求出∠EDF的度数。
(2) 要证∠DGE=∠DEG，可通过证明两个角都等于∠C推导：首先利用等腰三角形“三线合一”性质，由AB=BC、E是AC中点得BE⊥AC，再根据同角的余角相等推出∠DEG=∠C；随后同样利用余角的性质推导∠DGE=∠C，通过等量代换即可得证两个角相等。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AED = 155°，
∴ ∠CED = 180° - ∠AED = 25°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
在Rt△CDE中，∠C = 90° - ∠CED = 90° - 25° = 65°，
∵ AB = BC，
∴ ∠A = ∠C = 65°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 65° - 65° = 50°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
在Rt△BDF中，∠BDF = 90° - ∠B = 90° - 50° = 40°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠BDE = 90°，即∠BDF + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDF = 90° - 40° = 50°。
(2) 证明：
∵ AB = BC，点E是AC的中点，
∴ BE ⊥ AC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BEC = 90°，
∴ ∠DEG + ∠DEC = 90°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
∴ ∠C + ∠DEC = 90°，
∴ ∠DEG = ∠C，
∵ BE ⊥ AC，
∴ ∠EBC + ∠C = 90°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
∴ ∠DBG + ∠BDF = 90°，
又
∵ ∠DBG即∠EBC，
∴ ∠BDF = ∠C，
∵ DE ⊥ BC，即∠BDG = 90°，
∴ ∠DGE + ∠DBG = 90°，
∴ ∠DGE = ∠C，
∴ ∠DGE = ∠DEG。
【答案】
(1) $\boxed{50°}$
(2) 已证得$∠ DGE=∠ DEG$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的典型题型，第一问侧重基础性质的应用，需理清角度间的和差、互余关系；第二问核心是利用等腰三角形三线合一的性质，结合余角的等量代换推导角相等，对逻辑推导能力有一定要求，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠EDF的度数可按以下思路推导：首先利用邻补角性质由∠AED求出∠CED，再结合DE⊥BC，在Rt△CDE中求出∠C；根据AB=BC可知△ABC为等腰三角形，得∠A=∠C，结合三角形内角和求出∠B；再由DF⊥AB，在Rt△BDF中求出∠BDF，最后根据∠BDF与∠EDF互余，即可求出∠EDF的度数。
(2) 要证∠DGE=∠DEG，可通过证明两个角都等于∠C推导：首先利用等腰三角形“三线合一”性质，由AB=BC、E是AC中点得BE⊥AC，再根据同角的余角相等推出∠DEG=∠C；随后同样利用余角的性质推导∠DGE=∠C，通过等量代换即可得证两个角相等。
【解析】
(1) 解：
∵ ∠AED = 155°，
∴ ∠CED = 180° - ∠AED = 25°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
在Rt△CDE中，∠C = 90° - ∠CED = 90° - 25° = 65°，
∵ AB = BC，
∴ ∠A = ∠C = 65°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 65° - 65° = 50°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
在Rt△BDF中，∠BDF = 90° - ∠B = 90° - 50° = 40°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠BDE = 90°，即∠BDF + ∠EDF = 90°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠BDF = 90° - 40° = 50°。
(2) 证明：
∵ AB = BC，点E是AC的中点，
∴ BE ⊥ AC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BEC = 90°，
∴ ∠DEG + ∠DEC = 90°，
∵ DE ⊥ BC，
∴ ∠EDC = 90°，
∴ ∠C + ∠DEC = 90°，
∴ ∠DEG = ∠C，
∵ BE ⊥ AC，
∴ ∠EBC + ∠C = 90°，
∵ DF ⊥ AB，
∴ ∠DFB = 90°，
∴ ∠DBG + ∠BDF = 90°，
又
∵ ∠DBG即∠EBC，
∴ ∠BDF = ∠C，
∵ DE ⊥ BC，即∠BDG = 90°，
∴ ∠DGE + ∠DBG = 90°，
∴ ∠DGE = ∠C，
∴ ∠DGE = ∠DEG。
【答案】
(1) $\boxed{50°}$
(2) 已证得$∠ DGE=∠ DEG$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的典型题型，第一问侧重基础性质的应用，需理清角度间的和差、互余关系；第二问核心是利用等腰三角形三线合一的性质，结合余角的等量代换推导角相等，对逻辑推导能力有一定要求，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
