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14.如图,在$△ ABC$中,CD与BE分别是AB,AC边上的高,且$CD=BE$。试判断$△ ABC$的形状,并说明理由。
答案
14. 方法一:$\because CD$与$BE$分别是$AB,AC$边上的高,$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。$\because CD=BE$,
$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABE≌△ ACD,\therefore AB=AC$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形。方法二:利用面积
法,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BE$
$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ABE≌△ ACD,\therefore AB=AC$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形。方法二:利用面积
法,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BE$
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，已知AB、AC边上的高CD=BE，可从两个思路入手：一是借助高的性质得到直角，结合公共角和已知等边，证明三角形全等，推导AB和AC相等；二是利用三角形面积的两种表示方法，结合高相等直接推导AB和AC的等量关系，若能得到AB=AC，即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
方法一：
∵ CD与BE分别是AB，AC边上的高，
∴ ∠ADC = ∠AEB = 90°。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠ADC \\∠A = ∠A \\BE = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACD（AAS），
∴ AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
方法二（面积法）：
三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BE$，
∴ $\frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BE$，
又
∵ CD = BE，
∴ 等式两边同时约去$\frac{1}{2}CD$（高CD不为0），得AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题，解题思路灵活，既可以通过全等三角形的性质推导边的关系，也可以用面积法快速得到两边相等，有助于锻炼多方法解题的思维。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，已知AB、AC边上的高CD=BE，可从两个思路入手：一是借助高的性质得到直角，结合公共角和已知等边，证明三角形全等，推导AB和AC相等；二是利用三角形面积的两种表示方法，结合高相等直接推导AB和AC的等量关系，若能得到AB=AC，即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
方法一：
∵ CD与BE分别是AB，AC边上的高，
∴ ∠ADC = ∠AEB = 90°。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠ADC \\∠A = ∠A \\BE = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACD（AAS），
∴ AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
方法二（面积法）：
三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BE$，
∴ $\frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BE$，
又
∵ CD = BE，
∴ 等式两边同时约去$\frac{1}{2}CD$（高CD不为0），得AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题，解题思路灵活，既可以通过全等三角形的性质推导边的关系，也可以用面积法快速得到两边相等，有助于锻炼多方法解题的思维。
【难度系数】
0.8
15.已知一个等腰三角形的周长为15，且三边均为整数，则它的腰长为
7或6或5或4
。答案
15. 7或6或5或4
解析
【分析】
遇到等腰三角形边长计算问题，首先利用等腰三角形两腰相等的性质，设腰长为未知数，用周长表示出底边长；再结合“三角形边长为正”“三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）”列出不等式，求出腰长的取值范围；最后结合“三边均为整数”的条件，筛选出符合要求的腰长值即可，注意不要漏验三边是否满足构成三角形的条件。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$x$，则底边长为$15-2x$。
根据三角形边长的要求和三边关系，可列不等式组：
1. 底边长为正：$15-2x＞0$，解得$x＜7.5$；
2. 两腰之和大于底边长：$x+x＞15-2x$，化简得$4x＞15$，解得$x＞3.75$。
因为边长为整数，所以$x$可取的整数值为4、5、6、7，分别验证均满足三角形三边关系：
当$x=4$时，三边长为4、4、7，$4+4＞7$，符合要求；
当$x=5$时，三边长为5、5、5，等边三角形是特殊的等腰三角形，符合要求；
当$x=6$时，三边长为6、6、3，$6+3＞6$，符合要求；
当$x=7$时，三边长为7、7、1，$7+1＞7$，符合要求。
【答案】
7或6或5或4
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于等腰三角形的基础题型，解题的关键是不要遗漏三角形三边关系的限制条件，同时注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，避免漏解，最后结合整数限制筛选结果即可。
【难度系数】
0.7
遇到等腰三角形边长计算问题，首先利用等腰三角形两腰相等的性质，设腰长为未知数，用周长表示出底边长；再结合“三角形边长为正”“三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）”列出不等式，求出腰长的取值范围；最后结合“三边均为整数”的条件，筛选出符合要求的腰长值即可，注意不要漏验三边是否满足构成三角形的条件。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$x$，则底边长为$15-2x$。
根据三角形边长的要求和三边关系，可列不等式组：
1. 底边长为正：$15-2x＞0$，解得$x＜7.5$；
2. 两腰之和大于底边长：$x+x＞15-2x$，化简得$4x＞15$，解得$x＞3.75$。
因为边长为整数，所以$x$可取的整数值为4、5、6、7，分别验证均满足三角形三边关系：
当$x=4$时，三边长为4、4、7，$4+4＞7$，符合要求；
当$x=5$时，三边长为5、5、5，等边三角形是特殊的等腰三角形，符合要求；
当$x=6$时，三边长为6、6、3，$6+3＞6$，符合要求；
当$x=7$时，三边长为7、7、1，$7+1＞7$，符合要求。
【答案】
7或6或5或4
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于等腰三角形的基础题型，解题的关键是不要遗漏三角形三边关系的限制条件，同时注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，避免漏解，最后结合整数限制筛选结果即可。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$CE=3AE$,连结$BE$交$AD$于点$F$,连结$CF$,若$△ CEF$的面积为$3$,则$△ ABF$的面积为
4
,$△ CDF$的面积为6
。答案
16. 4 6
解析
【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是△ABC的对称轴，可得△ABF与△ACF面积相等、△BDF与△CDF面积相等。再根据等高三角形的面积比等于对应底的比，结合已知CE=3AE和△CEF的面积，先求出△AEF的面积，进而得到△ACF的面积，即可算出△ABF的面积。之后通过△ABF和△AEF的面积比得到BF与EF的比值，再利用该比值求出△BCF的面积，最后平分△BCF的面积得到△CDF的面积。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC的对称轴，$BD=CD$，因此$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，$S_{△ BDF}=S_{△ CDF}$。
2. 由$CE=3AE$得$AE:CE=1:3$，△AEF和△CEF以F为公共顶点，底都在AC上，二者等高，故面积比等于底的比，即$S_{△ AEF}:S_{△ CEF}=AE:CE=1:3$。已知$S_{△ CEF}=3$，因此$S_{△ AEF}=1$。
3. 可得$S_{△ ACF}=S_{△ AEF}+S_{△ CEF}=1+3=4$，结合$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，得$S_{△ ABF}=4$。
4. △ABF和△AEF以A为公共顶点，底都在BE上，二者等高，故$S_{△ ABF}:S_{△ AEF}=BF:EF=4:1$。
5. △CBF和△CEF以C为公共顶点，底都在BE上，二者等高，故$S_{△ CBF}:S_{△ CEF}=BF:EF=4:1$，因此$S_{△ CBF}=4×3=12$。
6. 因$BD=CD$，△BDF和△CDF以F为公共顶点，底都在BC上，二者等高，故$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ CBF}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
4；6
【知识点】
等腰三角形的性质；等高三角形面积比；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用等腰三角形的对称性得到面积相等的三角形，再通过等高三角形面积与底的对应关系进行面积转化，解题时要准确找到共顶点、底共线的等高三角形，将线段比和面积比灵活互化。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是△ABC的对称轴，可得△ABF与△ACF面积相等、△BDF与△CDF面积相等。再根据等高三角形的面积比等于对应底的比，结合已知CE=3AE和△CEF的面积，先求出△AEF的面积，进而得到△ACF的面积，即可算出△ABF的面积。之后通过△ABF和△AEF的面积比得到BF与EF的比值，再利用该比值求出△BCF的面积，最后平分△BCF的面积得到△CDF的面积。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC的对称轴，$BD=CD$，因此$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，$S_{△ BDF}=S_{△ CDF}$。
2. 由$CE=3AE$得$AE:CE=1:3$，△AEF和△CEF以F为公共顶点，底都在AC上，二者等高，故面积比等于底的比，即$S_{△ AEF}:S_{△ CEF}=AE:CE=1:3$。已知$S_{△ CEF}=3$，因此$S_{△ AEF}=1$。
3. 可得$S_{△ ACF}=S_{△ AEF}+S_{△ CEF}=1+3=4$，结合$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，得$S_{△ ABF}=4$。
4. △ABF和△AEF以A为公共顶点，底都在BE上，二者等高，故$S_{△ ABF}:S_{△ AEF}=BF:EF=4:1$。
5. △CBF和△CEF以C为公共顶点，底都在BE上，二者等高，故$S_{△ CBF}:S_{△ CEF}=BF:EF=4:1$，因此$S_{△ CBF}=4×3=12$。
6. 因$BD=CD$，△BDF和△CDF以F为公共顶点，底都在BC上，二者等高，故$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ CBF}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
4；6
【知识点】
等腰三角形的性质；等高三角形面积比；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用等腰三角形的对称性得到面积相等的三角形，再通过等高三角形面积与底的对应关系进行面积转化，解题时要准确找到共顶点、底共线的等高三角形，将线段比和面积比灵活互化。
【难度系数】
0.6
17.在正方形网格图1、图2中各画一个等腰三角形。要求:每个等腰三角形的一个顶点为格点A,其余顶点从格点B,C,D,E,F,G,H中选取,并且所画的两个三角形不全等。
答案
17. 如图
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确题目的所有要求：①两个等腰三角形均以格点A为一个顶点，其余顶点从B、C、D、E、F、G、H中选取；②两个三角形不全等。
解题思路如下：首先回忆等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。我们可以通过观察网格线段的平移特征，或者借助勾股定理计算长度，找到到点A距离相等的两个格点，连接后即可得到以A为顶角顶点的等腰三角形；最后验证两个三角形的边长不完全一致，保证不全等即可。
【解析】
我们可以按如下步骤作图：
1. 画第一个等腰三角形：观察网格可知，点B到A的横向、纵向偏移量和点H到A的横向、纵向偏移量完全一致，因此AB=AH，连接AB、AH、BH，得到等腰△ABH。
2. 画第二个等腰三角形：同理，点C到A的横向、纵向偏移量和点G到A的横向、纵向偏移量完全一致，因此AC=AG，连接AC、AG、CG，得到等腰△ACG。
两个三角形的腰长不相等，因此不全等，符合题目所有要求。（注：本题答案不唯一，只要满足题设条件的作图均正确）
【答案】
【知识点】
1. 等腰三角形判定
2. 全等三角形概念
3. 网格作图
【点评】
本题为开放型作图题，考查对等腰三角形判定的掌握和灵活运用能力，解题时需要逐一核对题设要求，避免遗漏条件，只要符合要求的答案都正确。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确题目的所有要求：①两个等腰三角形均以格点A为一个顶点，其余顶点从B、C、D、E、F、G、H中选取；②两个三角形不全等。
解题思路如下：首先回忆等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。我们可以通过观察网格线段的平移特征，或者借助勾股定理计算长度，找到到点A距离相等的两个格点，连接后即可得到以A为顶角顶点的等腰三角形；最后验证两个三角形的边长不完全一致，保证不全等即可。
【解析】
我们可以按如下步骤作图：
1. 画第一个等腰三角形：观察网格可知，点B到A的横向、纵向偏移量和点H到A的横向、纵向偏移量完全一致，因此AB=AH，连接AB、AH、BH，得到等腰△ABH。
2. 画第二个等腰三角形：同理，点C到A的横向、纵向偏移量和点G到A的横向、纵向偏移量完全一致，因此AC=AG，连接AC、AG、CG，得到等腰△ACG。
两个三角形的腰长不相等，因此不全等，符合题目所有要求。（注：本题答案不唯一，只要满足题设条件的作图均正确）
【答案】
【知识点】
1. 等腰三角形判定
2. 全等三角形概念
3. 网格作图
【点评】
本题为开放型作图题，考查对等腰三角形判定的掌握和灵活运用能力，解题时需要逐一核对题设要求，避免遗漏条件，只要符合要求的答案都正确。
【难度系数】
0.7
