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某汽车的输出功率$P$(单位:W)为一定值,汽车行驶时的速度$v$(单位:m/s)与它所受的牵引力$F$(单位:N)之间的函数关系如图所示.
(1)求这辆汽车的功率,并写出$v$与$F$之间的函数解析式;
(2)当它所受的牵引力为$2\ 400\ \mathrm{N}$时,汽车的速度为多少?
(3)如果限定汽车的速度不超过$30\ \mathrm{m/s}$,则$F$在什么范围内?
(1)求这辆汽车的功率,并写出$v$与$F$之间的函数解析式;
(2)当它所受的牵引力为$2\ 400\ \mathrm{N}$时,汽车的速度为多少?
(3)如果限定汽车的速度不超过$30\ \mathrm{m/s}$,则$F$在什么范围内?
答案
(1)设v与F之间的函数解析式为$v=\frac{P}{F}$.
把$(3\ 000,20)$代入$v=\frac{P}{F}$,得$P=60\ 000(\mathrm{W})$.
∴ 这辆汽车的功率是 60 000 W,函数解析式为 $v=\frac{60\ 000}{F}$.
(2)将 $F=2\ 400$ 代入 $v=\frac{60\ 000}{F}$,得 $v=25(\mathrm{m/s})$.
故汽车的速度为 25 m/s.
(3)把 $v≤30$ 代入 $v=\frac{60\ 000}{F}$,
得$\frac{60\ 000}{F}≤30$,
解得 $F≥2\ 000(\mathrm{N})$.
故 F 不小于 2 000 N.
把$(3\ 000,20)$代入$v=\frac{P}{F}$,得$P=60\ 000(\mathrm{W})$.
∴ 这辆汽车的功率是 60 000 W,函数解析式为 $v=\frac{60\ 000}{F}$.
(2)将 $F=2\ 400$ 代入 $v=\frac{60\ 000}{F}$,得 $v=25(\mathrm{m/s})$.
故汽车的速度为 25 m/s.
(3)把 $v≤30$ 代入 $v=\frac{60\ 000}{F}$,
得$\frac{60\ 000}{F}≤30$,
解得 $F≥2\ 000(\mathrm{N})$.
故 F 不小于 2 000 N.
解析
【分析】
本题结合物理中汽车功率的知识，利用功率公式$P=Fv$可知，当功率$P$为定值时，速度$v$与牵引力$F$成反比例关系，因此需先通过图像上的已知点求出功率$P$，得到$v$与$F$的函数解析式，再代入数值或解不等式解决后续问题。解题时需明确反比例函数的形式，注意$F$为牵引力，取值为正，解不等式时不等号方向的变化。
【解析】
(1) 根据功率公式$P=Fv$，可知当功率$P$为定值时，$v$与$F$成反比例关系，设函数解析式为$v=\frac{P}{F}$。
将图像上的点$(3000,20)$代入解析式，得$20=\frac{P}{3000}$，解得$P=3000×20=60000\ \mathrm{W}$。
因此，汽车的功率为$60000\ \mathrm{W}$，$v$与$F$的函数解析式为$v=\frac{60000}{F}$。
(2) 当牵引力$F=2400\ \mathrm{N}$时，将$F=2400$代入函数解析式$v=\frac{60000}{F}$，得$v=\frac{60000}{2400}=25\ \mathrm{m/s}$。
即汽车的速度为$25\ \mathrm{m/s}$。
(3) 限定汽车速度$v≤30\ \mathrm{m/s}$，将$v=\frac{60000}{F}$代入不等式，得$\frac{60000}{F}≤30$。
因为牵引力$F＞0$，两边同时乘$F$，不等号方向不变，解得$F≥\frac{60000}{30}=2000\ \mathrm{N}$。
即牵引力$F$的范围是不小于$2000\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 这辆汽车的功率是$60000\ \mathrm{W}$，函数解析式为$v=\frac{60000}{F}$；
(2) 汽车的速度为$25\ \mathrm{m/s}$；
(3) $F≥2000\ \mathrm{N}$。
【知识点】
反比例函数应用，功率公式
【点评】
本题将物理知识与数学中的反比例函数结合，考查学生对函数解析式的求解及应用，步骤清晰，注重知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题结合物理中汽车功率的知识，利用功率公式$P=Fv$可知，当功率$P$为定值时，速度$v$与牵引力$F$成反比例关系，因此需先通过图像上的已知点求出功率$P$，得到$v$与$F$的函数解析式，再代入数值或解不等式解决后续问题。解题时需明确反比例函数的形式，注意$F$为牵引力，取值为正，解不等式时不等号方向的变化。
【解析】
(1) 根据功率公式$P=Fv$，可知当功率$P$为定值时，$v$与$F$成反比例关系，设函数解析式为$v=\frac{P}{F}$。
将图像上的点$(3000,20)$代入解析式，得$20=\frac{P}{3000}$，解得$P=3000×20=60000\ \mathrm{W}$。
因此，汽车的功率为$60000\ \mathrm{W}$，$v$与$F$的函数解析式为$v=\frac{60000}{F}$。
(2) 当牵引力$F=2400\ \mathrm{N}$时，将$F=2400$代入函数解析式$v=\frac{60000}{F}$，得$v=\frac{60000}{2400}=25\ \mathrm{m/s}$。
即汽车的速度为$25\ \mathrm{m/s}$。
(3) 限定汽车速度$v≤30\ \mathrm{m/s}$，将$v=\frac{60000}{F}$代入不等式，得$\frac{60000}{F}≤30$。
因为牵引力$F＞0$，两边同时乘$F$，不等号方向不变，解得$F≥\frac{60000}{30}=2000\ \mathrm{N}$。
即牵引力$F$的范围是不小于$2000\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 这辆汽车的功率是$60000\ \mathrm{W}$，函数解析式为$v=\frac{60000}{F}$；
(2) 汽车的速度为$25\ \mathrm{m/s}$；
(3) $F≥2000\ \mathrm{N}$。
【知识点】
反比例函数应用，功率公式
【点评】
本题将物理知识与数学中的反比例函数结合，考查学生对函数解析式的求解及应用，步骤清晰，注重知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】
0.7
1. 面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要解决本题，需先根据直角三角形面积公式推导y与x的函数关系，再结合函数类型和图像特征逐一判断选项。步骤为：1. 利用面积公式建立等式；2. 整理得到函数关系式，确定函数类型；3. 分析各选项图像是否符合该函数的特点。
【解析】
根据直角三角形面积公式：$ S=\frac{1}{2}xy $，已知面积为2，代入得：$ 2=\frac{1}{2}xy $，整理得$ xy=4 $，即$ y=\frac{4}{x} $（x＞0，y＞0，边长为正数），这是第一象限内的反比例函数，图像为双曲线。
对选项分析：
选项A：x=1时y=2，此时xy=2≠4，不符合函数关系，排除；
选项B：图像为正比例函数，与推导的反比例函数不符，排除；
选项C：x=1时y=4，x=4时y=1，满足xy=4，符合反比例函数$ y=\frac{4}{x} $的图像特征，正确；
选项D：图像是孤立的两个点，不是完整的反比例函数图像，不符合y随x的变化规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图像、直角三角形面积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是根据面积推导函数关系式，再结合图像特征判断，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先根据直角三角形面积公式推导y与x的函数关系，再结合函数类型和图像特征逐一判断选项。步骤为：1. 利用面积公式建立等式；2. 整理得到函数关系式，确定函数类型；3. 分析各选项图像是否符合该函数的特点。
【解析】
根据直角三角形面积公式：$ S=\frac{1}{2}xy $，已知面积为2，代入得：$ 2=\frac{1}{2}xy $，整理得$ xy=4 $，即$ y=\frac{4}{x} $（x＞0，y＞0，边长为正数），这是第一象限内的反比例函数，图像为双曲线。
对选项分析：
选项A：x=1时y=2，此时xy=2≠4，不符合函数关系，排除；
选项B：图像为正比例函数，与推导的反比例函数不符，排除；
选项C：x=1时y=4，x=4时y=1，满足xy=4，符合反比例函数$ y=\frac{4}{x} $的图像特征，正确；
选项D：图像是孤立的两个点，不是完整的反比例函数图像，不符合y随x的变化规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图像、直角三角形面积公式
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是根据面积推导函数关系式，再结合图像特征判断，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. 某列高铁从甲地驶往乙地,行完全程所需的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系如图所示.若该高铁行驶完全程的时间是2.5 h,则该高铁的平均速度为 (
A.180 km/h
B.240 km/h
C.280 km/h
D.300 km/h
B
)A.180 km/h
B.240 km/h
C.280 km/h
D.300 km/h
答案
2.B
解析
【分析】根据行程问题中“路程=速度×时间”，全程路程固定，因此时间$ t $与速度$ v $成反比例函数关系，设函数表达式为$ t=\frac{k}{v} $（$ k $为常数）。先利用图像给出的点求出全程路程（即常数$ k $），再将$ t=2.5h $代入表达式，计算对应的速度即可。
【解析】因为全程路程固定，所以$ t $与$ v $成反比例函数，设$ t=\frac{k}{v} $。由图像可知，当$ v=200km/h $时，$ t=3h $，代入得：$ 3=\frac{k}{200} $，解得$ k=600 $，即全程路程为$ 600km $。当$ t=2.5h $时，代入$ t=\frac{600}{v} $，得$ 2.5=\frac{600}{v} $，解得$ v=600÷2.5=240(km/h) $。
【答案】B
【知识点】反比例函数应用、行程问题基本关系
【点评】本题结合实际行程问题考查反比例函数的应用，核心是理解“路程一定时，时间与速度成反比”，先确定函数解析式再代入求值，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】因为全程路程固定，所以$ t $与$ v $成反比例函数，设$ t=\frac{k}{v} $。由图像可知，当$ v=200km/h $时，$ t=3h $，代入得：$ 3=\frac{k}{200} $，解得$ k=600 $，即全程路程为$ 600km $。当$ t=2.5h $时，代入$ t=\frac{600}{v} $，得$ 2.5=\frac{600}{v} $，解得$ v=600÷2.5=240(km/h) $。
【答案】B
【知识点】反比例函数应用、行程问题基本关系
【点评】本题结合实际行程问题考查反比例函数的应用，核心是理解“路程一定时，时间与速度成反比”，先确定函数解析式再代入求值，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
3. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成一段双曲线，建立如图所示的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5 m，进口AB//OD，且AB=2 m，出口C点距水面的距离CD为1 m，则B，C之间的水平距离DE的长为
8
m.答案
3.8
