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7. 在一次矿难事故的调查中发现:从零时起,井内空气中 CO 的浓度达到 4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7 h 达到最高值 46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中 CO 的浓度成反比例下降,如图. 根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中 CO 的浓度 y(单位:mg/L)关于时间 x(单位:h)的函数解析式,并写出相应的自变量的取值范围.
(2)当空气中 CO 的浓度达到 34 mg/L 时,井下 3 km 的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以每小时多少千米的速度撤离才能在爆炸前撤离到地面?
(3)矿工只有在空气中 CO 的浓度降到 4 mg/L 及以下时,才能回到矿井开展生产自救,矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
(1)求爆炸前后空气中 CO 的浓度 y(单位:mg/L)关于时间 x(单位:h)的函数解析式,并写出相应的自变量的取值范围.
(2)当空气中 CO 的浓度达到 34 mg/L 时,井下 3 km 的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以每小时多少千米的速度撤离才能在爆炸前撤离到地面?
(3)矿工只有在空气中 CO 的浓度降到 4 mg/L 及以下时,才能回到矿井开展生产自救,矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
答案
(1)
∵ 爆炸前 CO 的浓度呈直线型增加，
∴ 设 $y=kx+b$.
将$(0,4),(7,46)$代入,得
∴ $\begin{cases} b=4,\\7k+b=46.\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=6,\\b=4.\end{cases}$
∴ $y=6x+4(0≤ x≤7)$.
∵ 爆炸后 CO 的浓度成反比例下降，
∴ 设 $y=\dfrac{m}{x}$.
将$(7,46)$代入,得
∴ $m=7×46=322$.
∴ $y=\dfrac{322}{x}(x＞7)$.
综上,$y=\begin{cases}6x+4,0≤ x≤7,\\\dfrac{322}{x},x＞7.\end{cases}$
(2) 把 $y = 34$ 代入 $y = 6x + 4$ 中,得 $6x + 4=34$.
∴ $x=5$.
∴ 可用来逃生的时间至多为 $7-5=2(\mathrm{h})$.
∴ 逃生的最小速度为 $\dfrac{3}{2}=1.5(\mathrm{km/h})$.
∴ 他们至少要以 1.5 km/h 的速度撤离才能在爆炸前撤离到地面.
(3)将 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{322}{x}$ 中,
得 $x=80.5$.
∵ $80.5-7=73.5(\mathrm{h})$,
∴ 矿工至少在爆炸后 73.5 h 才能下井.
∵ 爆炸前 CO 的浓度呈直线型增加，
∴ 设 $y=kx+b$.
将$(0,4),(7,46)$代入,得
∴ $\begin{cases} b=4,\\7k+b=46.\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=6,\\b=4.\end{cases}$
∴ $y=6x+4(0≤ x≤7)$.
∵ 爆炸后 CO 的浓度成反比例下降，
∴ 设 $y=\dfrac{m}{x}$.
将$(7,46)$代入,得
∴ $m=7×46=322$.
∴ $y=\dfrac{322}{x}(x＞7)$.
综上,$y=\begin{cases}6x+4,0≤ x≤7,\\\dfrac{322}{x},x＞7.\end{cases}$
(2) 把 $y = 34$ 代入 $y = 6x + 4$ 中,得 $6x + 4=34$.
∴ $x=5$.
∴ 可用来逃生的时间至多为 $7-5=2(\mathrm{h})$.
∴ 逃生的最小速度为 $\dfrac{3}{2}=1.5(\mathrm{km/h})$.
∴ 他们至少要以 1.5 km/h 的速度撤离才能在爆炸前撤离到地面.
(3)将 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{322}{x}$ 中,
得 $x=80.5$.
∵ $80.5-7=73.5(\mathrm{h})$,
∴ 矿工至少在爆炸后 73.5 h 才能下井.
解析
【分析】
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解函数解析式：爆炸前CO浓度呈直线增长，符合一次函数模型，已知图像过(0,4)、(7,46)两点，用待定系数法即可求出一次函数解析式及对应自变量范围；爆炸后浓度呈反比例下降，符合反比例函数模型，已知图像过(7,46)，代入即可求出反比例函数解析式及对应自变量范围。
2. 计算撤离速度：34mg/L属于爆炸前的浓度增长阶段，将y=34代入一次函数求出报警时的时间，用爆炸时间减去报警时间得到可逃生的最长时间，再根据速度=路程÷时间计算最小撤离速度。
3. 计算可下井时间：4mg/L的最低允许浓度属于爆炸后的浓度下降阶段，将y=4代入反比例函数求出浓度降到4mg/L的总时间，减去爆炸发生的7h，即可得到爆炸后需要等待的最短时间。
【解析】
(1) 爆炸前CO浓度呈直线型增加，设函数解析式为$y=kx+b$，
将$(0,4)$、$(7,46)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=4\\7k+b=46 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=6\\b=4\end{cases}$，
即爆炸前函数解析式为$y=6x+4\ (0≤ x≤7)$。
爆炸后CO浓度成反比例下降，设函数解析式为$y=\dfrac{m}{x}$，
将$(7,46)$代入解析式，得$m=7×46=322$，
即爆炸后函数解析式为$y=\dfrac{322}{x}\ (x＞7)$。
综上，函数解析式为$y=\begin{cases}6x+4&(0≤ x≤7)\\\dfrac{322}{x}&(x＞7)\end{cases}$。
(2) 把$y = 34$代入$y = 6x + 4$，得：
$6x + 4=34$，解得$x=5$，
则最长可用逃生时间为$7-5=2(\mathrm{h})$，
最小撤离速度为$\dfrac{3}{2}=1.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 把$y=4$代入$y=\dfrac{322}{x}$，得：
$4=\dfrac{322}{x}$，解得$x=80.5$，
则爆炸后需要等待的时间为$80.5-7=73.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}6x+4&(0≤ x≤7)\\\dfrac{322}{x}&(x＞7)\end{cases}$
(2) 至少以1.5 km/h的速度撤离
(3) 至少在爆炸后73.5 h才能下井
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合实际救援场景考查函数的应用，解题核心是准确判断不同阶段的函数类型，注意分段函数的自变量取值范围，代入求值时要对应正确的函数段，计算时间时要明确节点，避免混淆总时长和分段时长。
【难度系数】
0.7
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解函数解析式：爆炸前CO浓度呈直线增长，符合一次函数模型，已知图像过(0,4)、(7,46)两点，用待定系数法即可求出一次函数解析式及对应自变量范围；爆炸后浓度呈反比例下降，符合反比例函数模型，已知图像过(7,46)，代入即可求出反比例函数解析式及对应自变量范围。
2. 计算撤离速度：34mg/L属于爆炸前的浓度增长阶段，将y=34代入一次函数求出报警时的时间，用爆炸时间减去报警时间得到可逃生的最长时间，再根据速度=路程÷时间计算最小撤离速度。
3. 计算可下井时间：4mg/L的最低允许浓度属于爆炸后的浓度下降阶段，将y=4代入反比例函数求出浓度降到4mg/L的总时间，减去爆炸发生的7h，即可得到爆炸后需要等待的最短时间。
【解析】
(1) 爆炸前CO浓度呈直线型增加，设函数解析式为$y=kx+b$，
将$(0,4)$、$(7,46)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=4\\7k+b=46 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=6\\b=4\end{cases}$，
即爆炸前函数解析式为$y=6x+4\ (0≤ x≤7)$。
爆炸后CO浓度成反比例下降，设函数解析式为$y=\dfrac{m}{x}$，
将$(7,46)$代入解析式，得$m=7×46=322$，
即爆炸后函数解析式为$y=\dfrac{322}{x}\ (x＞7)$。
综上，函数解析式为$y=\begin{cases}6x+4&(0≤ x≤7)\\\dfrac{322}{x}&(x＞7)\end{cases}$。
(2) 把$y = 34$代入$y = 6x + 4$，得：
$6x + 4=34$，解得$x=5$，
则最长可用逃生时间为$7-5=2(\mathrm{h})$，
最小撤离速度为$\dfrac{3}{2}=1.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 把$y=4$代入$y=\dfrac{322}{x}$，得：
$4=\dfrac{322}{x}$，解得$x=80.5$，
则爆炸后需要等待的时间为$80.5-7=73.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}6x+4&(0≤ x≤7)\\\dfrac{322}{x}&(x＞7)\end{cases}$
(2) 至少以1.5 km/h的速度撤离
(3) 至少在爆炸后73.5 h才能下井
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合实际救援场景考查函数的应用，解题核心是准确判断不同阶段的函数类型，注意分段函数的自变量取值范围，代入求值时要对应正确的函数段，计算时间时要明确节点，避免混淆总时长和分段时长。
【难度系数】
0.7
