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7. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征。右图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成。已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
D
）A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
7. D
解析
【分析】
首先观察图形可知阴影部分为圆环，圆环面积计算公式为$ S = π R^2 - π r^2 $，其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径。已知内圆（正方形内切圆）半径$ r=2 $，解题核心是求出外圆（正方形外接圆）半径$ R $：先由内切圆性质得到正方形的边长，再通过勾股定理求出正方形对角线长度，而正方形外接圆直径等于对角线长度，即可得到外圆半径，最后代入公式计算阴影面积。
【解析】
1. 求正方形的边长：
已知正方形内切圆半径$ r=2 $，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形边长$ a = 2r = 2×2 = 4 $。
2. 求外接圆的半径：
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$ \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} $，因此外接圆半径$ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $。
3. 计算阴影部分（圆环）的面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}} = π R^2 - π r^2 $
代入数值计算：
$ S_{\mathrm{阴影}} = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π - 4π = 4π $
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景出题，将几何图形性质和实际应用结合，解题的关键是理清正方形内切圆、外接圆与正方形边长的对应关系，整体考查内容偏基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知阴影部分为圆环，圆环面积计算公式为$ S = π R^2 - π r^2 $，其中$ R $为外圆半径，$ r $为内圆半径。已知内圆（正方形内切圆）半径$ r=2 $，解题核心是求出外圆（正方形外接圆）半径$ R $：先由内切圆性质得到正方形的边长，再通过勾股定理求出正方形对角线长度，而正方形外接圆直径等于对角线长度，即可得到外圆半径，最后代入公式计算阴影面积。
【解析】
1. 求正方形的边长：
已知正方形内切圆半径$ r=2 $，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形边长$ a = 2r = 2×2 = 4 $。
2. 求外接圆的半径：
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$ \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} $，因此外接圆半径$ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $。
3. 计算阴影部分（圆环）的面积：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}} = π R^2 - π r^2 $
代入数值计算：
$ S_{\mathrm{阴影}} = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π - 4π = 4π $
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景出题，将几何图形性质和实际应用结合，解题的关键是理清正方形内切圆、外接圆与正方形边长的对应关系，整体考查内容偏基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
8.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，D，E，F为切点。若$∠ DOB = 73°$，$∠ DOE = 120°$，则$∠ DOF =$
146
$°$，$∠ C =$ 60
$°$，$∠ A =$ 86
$°$。答案
8. 146 60 86
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，且内切圆的半径垂直于三角形的对应边。第一步求∠DOF：利用OB是∠ABC的角平分线，结合OD⊥BC、OF⊥AB，可证△OBD和△OBF全等，得到∠BOF=∠BOD，即可求出∠DOF；第二步求∠C：在四边形ODCE中，已知两个直角和∠DOE的度数，利用四边形内角和为360°即可计算∠C；第三步求∠A：先在Rt△OBD中求出∠OBD的度数，进而得到∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠A。
【解析】
1. 求∠DOF：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F为切点，
∴OD⊥BC，OF⊥AB，OB平分∠ABC，
∴∠ODB=∠OFB=90°，∠OBD=∠OBF，
又
∵OB=OB，
∴△OBD≌△OBF（AAS），
∴∠BOF=∠BOD=73°，
∴∠DOF=∠BOD+∠BOF=73°+73°=146°。
2. 求∠C：
∵E为切点，
∴OE⊥AC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵四边形ODCE内角和为360°，
∴∠C=360°-∠DOE-∠ODC-∠OEC=360°-120°-90°-90°=60°。
3. 求∠A：
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOD=73°，
∴∠OBD=90°-73°=17°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×17°=34°，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-34°-60°=86°。
【答案】
146；60；86
【知识点】
三角形内切圆性质；多边形内角和；角平分线性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，核心考查内心的性质与切线的性质，只要熟练掌握相关性质，结合内角和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，且内切圆的半径垂直于三角形的对应边。第一步求∠DOF：利用OB是∠ABC的角平分线，结合OD⊥BC、OF⊥AB，可证△OBD和△OBF全等，得到∠BOF=∠BOD，即可求出∠DOF；第二步求∠C：在四边形ODCE中，已知两个直角和∠DOE的度数，利用四边形内角和为360°即可计算∠C；第三步求∠A：先在Rt△OBD中求出∠OBD的度数，进而得到∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠A。
【解析】
1. 求∠DOF：
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F为切点，
∴OD⊥BC，OF⊥AB，OB平分∠ABC，
∴∠ODB=∠OFB=90°，∠OBD=∠OBF，
又
∵OB=OB，
∴△OBD≌△OBF（AAS），
∴∠BOF=∠BOD=73°，
∴∠DOF=∠BOD+∠BOF=73°+73°=146°。
2. 求∠C：
∵E为切点，
∴OE⊥AC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵四边形ODCE内角和为360°，
∴∠C=360°-∠DOE-∠ODC-∠OEC=360°-120°-90°-90°=60°。
3. 求∠A：
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOD=73°，
∴∠OBD=90°-73°=17°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×17°=34°，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-34°-60°=86°。
【答案】
146；60；86
【知识点】
三角形内切圆性质；多边形内角和；角平分线性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，核心考查内心的性质与切线的性质，只要熟练掌握相关性质，结合内角和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连结OB,IA。若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为
20°
。答案
9. 20°
解析
【分析】
解题时先从已知的内心性质入手：内心是三角形角平分线的交点，因此IA平分∠BAC，可先由∠CAI的度数求出∠BAC的度数；再结合外心的性质，利用圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠BOC的度数；最后由于OB、OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可算出∠OBC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵点I是△ABC的内心，IA是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAI，
已知∠CAI=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°。
2. 求∠BOC的度数：
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
3. 求∠OBC的度数：
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴OB=OC，△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB，
由三角形内角和为180°得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是理清内心、外心对应的角度关系，掌握角度转化的逻辑即可顺利求解，考查了对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的内心性质入手：内心是三角形角平分线的交点，因此IA平分∠BAC，可先由∠CAI的度数求出∠BAC的度数；再结合外心的性质，利用圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠BOC的度数；最后由于OB、OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可算出∠OBC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵点I是△ABC的内心，IA是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAI，
已知∠CAI=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°。
2. 求∠BOC的度数：
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
3. 求∠OBC的度数：
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴OB=OC，△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB，
由三角形内角和为180°得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是理清内心、外心对应的角度关系，掌握角度转化的逻辑即可顺利求解，考查了对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=13$，$BC=10$，点$O$在中线$AD$上，$\odot O$与$AC$相切于点$E$。
(1)求证：$\odot O$与$AB$相切。
(2)若$\odot O$经过点$D$，求$\odot O$的半径。
(1)求证：$\odot O$与$AB$相切。
(2)若$\odot O$经过点$D$，求$\odot O$的半径。
答案
10. (1)如答图,连结OE,过点O作OF⊥AB于点F。
∵⊙O与AC相切于点E,
∴OE⊥AC。
∵AB=AC,点O在中线AD上,
∴AO平分∠BAC,
∴OF=OE,
∴⊙O与AB相切
(2)$r=\dfrac{AD· BC}{AB+AC+BC}=\dfrac{10}{3}$,过程略
解析
【分析】
(1)要证明⊙O与AB相切，根据切线的判定规则，需证明点O到AB的距离等于⊙O的半径。已知⊙O与AC相切于E，可得OE⊥AC且OE是半径，结合AD是等腰△ABC的中线，可知AD平分∠BAC，利用角平分线的性质即可证得点O到AB的距离等于OE，进而得到结论。
(2)求⊙O的半径，先利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出中线AD的长度，再结合⊙O过D且AD⊥BC可得BC也是⊙O的切线，即⊙O是△ABC的内切圆，利用面积法：△ABC的面积等于三个以O为顶点、分别以三角形三边为底的小三角形面积之和，列方程即可求出半径。
【解析】
(1)证明：如答图，连结OE，过点O作OF⊥AB于点F。
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，OE是⊙O的半径。
∵AB=AC，点O在中线AD上，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AO平分∠BAC。
∵OF⊥AB，OE⊥AC，O在∠BAC的角平分线上，
∴OF=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵OF⊥AB，且OF等于⊙O的半径，
∴⊙O与AB相切。
(2)解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
∵⊙O经过点D，且AD⊥BC，OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。
设⊙O的半径为r，此时⊙O是△ABC的内切圆，根据面积法：
$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
∵$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$，
$S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × AB × r + \frac{1}{2} × BC × r + \frac{1}{2} × AC × r = \frac{1}{2} r (AB + BC + AC)$，
代入得：$\frac{1}{2} × r × (13 + 10 + 13) = 60$，
整理得$36r = 120$，解得$r = \frac{10}{3}$。
【答案】
(1)证明过程见解析，
(2)⊙O的半径为$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，灵活运用等腰三角形三线合一、角平分线的性质，同时借助面积法可以快速求解内切圆的半径，对学生的几何逻辑推理能力和计算能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
(1)要证明⊙O与AB相切，根据切线的判定规则，需证明点O到AB的距离等于⊙O的半径。已知⊙O与AC相切于E，可得OE⊥AC且OE是半径，结合AD是等腰△ABC的中线，可知AD平分∠BAC，利用角平分线的性质即可证得点O到AB的距离等于OE，进而得到结论。
(2)求⊙O的半径，先利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出中线AD的长度，再结合⊙O过D且AD⊥BC可得BC也是⊙O的切线，即⊙O是△ABC的内切圆，利用面积法：△ABC的面积等于三个以O为顶点、分别以三角形三边为底的小三角形面积之和，列方程即可求出半径。
【解析】
(1)证明：如答图，连结OE，过点O作OF⊥AB于点F。
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，OE是⊙O的半径。
∵AB=AC，点O在中线AD上，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AO平分∠BAC。
∵OF⊥AB，OE⊥AC，O在∠BAC的角平分线上，
∴OF=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵OF⊥AB，且OF等于⊙O的半径，
∴⊙O与AB相切。
(2)解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
∵⊙O经过点D，且AD⊥BC，OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。
设⊙O的半径为r，此时⊙O是△ABC的内切圆，根据面积法：
$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
∵$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$，
$S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × AB × r + \frac{1}{2} × BC × r + \frac{1}{2} × AC × r = \frac{1}{2} r (AB + BC + AC)$，
代入得：$\frac{1}{2} × r × (13 + 10 + 13) = 60$，
整理得$36r = 120$，解得$r = \frac{10}{3}$。
【答案】
(1)证明过程见解析，
(2)⊙O的半径为$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，灵活运用等腰三角形三线合一、角平分线的性质，同时借助面积法可以快速求解内切圆的半径，对学生的几何逻辑推理能力和计算能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
11.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=10,⊙O与梯形ABCD的各边都相切,且⊙O的面积为16π,则点B到CD的距离为
$\dfrac{64}{5}$
。答案
11. $\dfrac{64}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：①先根据圆的面积求出内切圆的半径，进而得到梯形的高；②利用圆外切四边形对边和相等的性质，得到梯形上下底的和，再结合等腰梯形的性质和勾股定理求出下底BC的长度；③最后通过面积法，利用△BCD的两种面积表达形式，列等式求出点B到CD的距离。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，
∵⊙O的面积为$16π$，
∴$π r^2=16π$，解得$r=4$。
∵⊙O是梯形ABCD的内切圆，且$AD// BC$，
∴梯形的高等于⊙O的直径，即高为$2r=8$。
∵圆外切四边形对边和相等，且$AB=CD=10$，
∴$AB+CD=AD+BC$，即$AD+BC=10+10=20$。
过点D作$DF⊥ BC$于F，则$DF=8$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴$BC-AD=2FC=12$。
联立$\begin{cases}AD+BC=20\\BC-AD=12\end{cases}$，解得$BC=16$。
设点B到CD的距离为$h$，$△ BCD$的面积可表示为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}× CD× h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×16×8=\frac{1}{2}×10× h$，
化简得$64=5h$，解得$h=\frac{64}{5}$。
【答案】
$\dfrac{64}{5}$
【知识点】
圆外切四边形性质、等腰梯形性质、面积法求高
【点评】
本题是圆与四边形结合的典型题型，解题的核心是熟练运用圆外切四边形的性质建立上下底的数量关系，再结合勾股定理求出底边长，利用面积法可以快速求出点到直线的距离，简化计算过程。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①先根据圆的面积求出内切圆的半径，进而得到梯形的高；②利用圆外切四边形对边和相等的性质，得到梯形上下底的和，再结合等腰梯形的性质和勾股定理求出下底BC的长度；③最后通过面积法，利用△BCD的两种面积表达形式，列等式求出点B到CD的距离。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，
∵⊙O的面积为$16π$，
∴$π r^2=16π$，解得$r=4$。
∵⊙O是梯形ABCD的内切圆，且$AD// BC$，
∴梯形的高等于⊙O的直径，即高为$2r=8$。
∵圆外切四边形对边和相等，且$AB=CD=10$，
∴$AB+CD=AD+BC$，即$AD+BC=10+10=20$。
过点D作$DF⊥ BC$于F，则$DF=8$，
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴$BC-AD=2FC=12$。
联立$\begin{cases}AD+BC=20\\BC-AD=12\end{cases}$，解得$BC=16$。
设点B到CD的距离为$h$，$△ BCD$的面积可表示为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}× CD× h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×16×8=\frac{1}{2}×10× h$，
化简得$64=5h$，解得$h=\frac{64}{5}$。
【答案】
$\dfrac{64}{5}$
【知识点】
圆外切四边形性质、等腰梯形性质、面积法求高
【点评】
本题是圆与四边形结合的典型题型，解题的核心是熟练运用圆外切四边形的性质建立上下底的数量关系，再结合勾股定理求出底边长，利用面积法可以快速求出点到直线的距离，简化计算过程。
【难度系数】
0.6
