12.【问题提出】
(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D。若AB=15,AC=8,则AD的长为。

【问题解决】
(2)如图2,某工厂剩余一块△ABC形板材,其中AB=100 cm,BC=160 cm,AC=140 cm。为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置,并求出⊙O的半径。

12. (1)$\dfrac{120}{17}$
(2)
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆,
∴所求圆的圆心是△ABC的内心。如答图,作∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF,相交于点O,经计算$r=20\sqrt{3}$

【分析】
(1) 第(1)问中，已知直角三角形两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等面积法建立等式求出AD的长度。
(2) 第(2)问中，三角形内可裁出的最大圆形是三角形的内切圆，其圆心是三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，作出两个内角的角平分线，交点即为圆心O。求内切圆半径时，先作BC边上的高，通过勾股定理求出高的长度得到三角形面积，再结合“三角形面积=1/2×三角形周长×内切圆半径”的公式即可求出半径。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$，
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×15×8=60$，
又
∵AD⊥BC，
∴$S=\frac{1}{2}× BC× AD$，
即$\frac{1}{2}×17× AD=60$，解得$AD=\frac{120}{17}$。
(2) 三角形内面积最大的圆为三角形的内切圆，圆心是△ABC的内心，即三角形内角角平分线的交点：
作∠ABC和∠ACB的角平分线BE、CF，两线交点即为圆心O，如图所示。
求半径：过点A作AH⊥BC于点H，设$BH=x\ \mathrm{cm}$，则$CH=BC-BH=(160-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ABH和Rt△ACH中，$AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-CH^2$，
代入得：$100^2 - x^2 = 140^2 - (160-x)^2$，
展开化简得：$10000 - x^2 = 19600 - 25600 + 320x - x^2$，
消去$x^2$后解得$x=50$，
∴$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{100^2 - 50^2}=50\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，
△ABC的周长$L=AB+BC+AC=100+160+140=400\ \mathrm{cm}$，
根据内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}× L× r$，代入得$4000\sqrt{3}=\frac{1}{2}×400× r$，解得$r=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\dfrac{120}{17}$
(2) 圆心为△ABC的内心（∠ABC和∠ACB的平分线的交点），⊙O的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，作图见
【知识点】
1. 等面积法求线段长
2. 三角形内切圆性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合基础几何知识和实际应用场景设置问题，第一问侧重直角三角形性质的基础应用，第二问考查内切圆的作图与半径计算，既要求掌握基础几何作图方法，也需要灵活运用勾股定理、内切圆与三角形面积周长的关系解决计算问题，能有效锻炼几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6