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1. 如图,在△ABC中,⊙O是△ABC的内切圆,连结OB,OC,过点O作EF//BC,分别交AB,AC于点E,F。若BE+CF=8,则EF的长为 (
A.4
B.5
C.8
D.16
C
)A.4
B.5
C.8
D.16
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等，可推导出△EBO和△FCO都是等腰三角形，得到EO=BE、OF=CF，最后通过线段和的关系即可求出EF的长度。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，
∴EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF，
∵BE+CF=8，
∴EF=8。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，实现线段的等量转化，将未知的EF长度转化为已知的BE+CF的和，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等，可推导出△EBO和△FCO都是等腰三角形，得到EO=BE、OF=CF，最后通过线段和的关系即可求出EF的长度。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，
∴EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF，
∵BE+CF=8，
∴EF=8。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，实现线段的等量转化，将未知的EF长度转化为已知的BE+CF的和，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5$,内切圆$\odot O$的半径为1,则$△ ABC$的周长为（
A.15
B.14
C.13
D.12
D
）A.15
B.14
C.13
D.12
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以借助直角三角形内切圆的相关性质推导计算。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。本题中Rt△ABC的内切圆与三边都相切，直角顶点C处的两条切线长都等于内切圆半径1，我们可以先设两条直角边长度分别为a、b，斜边AB为已知的5，通过切线长的关系先求出a+b的和，再加上斜边长度就能得到三角形的周长；也可以直接套用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（r为内切圆半径，a、b为直角边，c为斜边），代入已知数值直接计算a+b的和。
【解析】
设$BC=a$，$AC=b$，已知斜边$AB=c=5$，内切圆半径$r=1$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，将已知数值代入：
$1=\frac{a+b-5}{2}$
等式两边同乘2得：$2=a+b-5$
移项解得：$a+b=7$
因此$△ ABC$的周长为$a+b+c=7+5=12$。
也可通过切线长定理推导：直角顶点C处的两条切线长均为1，从A、B两点引出的切线长分别为$b-1$和$a-1$，二者之和等于AB的长度，即$(b-1)+(a-1)=5$，同样可得$a+b=7$，周长为12。
【答案】
D
【知识点】
1.切线长定理
2.直角三角形内切圆性质
3.三角形周长计算
【点评】
本题是三角形内切圆章节的典型基础题，核心考查内切圆相关性质的应用，解题关键是熟练掌握切线长定理或直角三角形内切圆半径公式，通过推导得出两直角边的和即可快速求出周长，考查的知识点比较基础，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以借助直角三角形内切圆的相关性质推导计算。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。本题中Rt△ABC的内切圆与三边都相切，直角顶点C处的两条切线长都等于内切圆半径1，我们可以先设两条直角边长度分别为a、b，斜边AB为已知的5，通过切线长的关系先求出a+b的和，再加上斜边长度就能得到三角形的周长；也可以直接套用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（r为内切圆半径，a、b为直角边，c为斜边），代入已知数值直接计算a+b的和。
【解析】
设$BC=a$，$AC=b$，已知斜边$AB=c=5$，内切圆半径$r=1$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，将已知数值代入：
$1=\frac{a+b-5}{2}$
等式两边同乘2得：$2=a+b-5$
移项解得：$a+b=7$
因此$△ ABC$的周长为$a+b+c=7+5=12$。
也可通过切线长定理推导：直角顶点C处的两条切线长均为1，从A、B两点引出的切线长分别为$b-1$和$a-1$，二者之和等于AB的长度，即$(b-1)+(a-1)=5$，同样可得$a+b=7$，周长为12。
【答案】
D
【知识点】
1.切线长定理
2.直角三角形内切圆性质
3.三角形周长计算
【点评】
本题是三角形内切圆章节的典型基础题，核心考查内切圆相关性质的应用，解题关键是熟练掌握切线长定理或直角三角形内切圆半径公式，通过推导得出两直角边的和即可快速求出周长，考查的知识点比较基础，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
3. 如图,若点O是△ABC的内心,∠A=70°,则∠BOC=
125°
。答案
3. 125°
解析
【分析】
解题首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三条内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB的度数，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的内心
∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
三角形内心的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题型，核心是掌握三角形内心是内角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理逐步推导角度即可，也可直接记住结论：当△ABC中∠A为α时，内心对应的∠BOC=$90°+\frac{α}{2}$，可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三条内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB的度数，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的内心
∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
三角形内心的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算类题型，核心是掌握三角形内心是内角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理逐步推导角度即可，也可直接记住结论：当△ABC中∠A为α时，内心对应的∠BOC=$90°+\frac{α}{2}$，可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知:Rt△ABC 的内切圆⊙I分别与斜边AB,直角边BC,CA相切于点D,E,F。若AD=3,BD=2,则Rt△ABC的面积为
6
。答案
4. 6
解析
【分析】
看到题目涉及三角形内切圆与各边的切线，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。由此可得AF=AD=3、BE=BD=2；再结合Rt△ABC的内切圆性质，可知内切圆与两条直角边围成正方形，因此设内切圆半径为r时，CF=CE=r，即可用r表示两条直角边AC=3+r、BC=2+r，斜边AB可直接求出为5；最后利用勾股定理列方程求解r，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：由切线长定理可得：
$AF = AD = 3$，$BE = BD = 2$，
设内切圆$\odot I$的半径为$r$，
∵$\odot I$与$AC$、$BC$分别切于点$F$、$E$，
∴$IF⊥ AC$，$IE⊥ BC$，
又
∵$∠ C=90°$，$IF=IE=r$，
∴四边形$IECF$是正方形，得$CF=CE=r$，
则$AC = AF + CF = 3 + r$，$BC = BE + CE = 2 + r$，
斜边$AB = AD + BD = 3+2=5$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：$(3+r)^2 + (2+r)^2 = 5^2$
展开整理得：$r^2 + 5r - 6 = 0$
解得$r=1$（$r=-6$不符合实际，舍去）
∴$AC=3+1=4$，$BC=2+1=3$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
6
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，解题核心是通过切线长定理建立边长关系，结合直角三角形的勾股定理求解未知量，熟练掌握切线长定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
看到题目涉及三角形内切圆与各边的切线，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。由此可得AF=AD=3、BE=BD=2；再结合Rt△ABC的内切圆性质，可知内切圆与两条直角边围成正方形，因此设内切圆半径为r时，CF=CE=r，即可用r表示两条直角边AC=3+r、BC=2+r，斜边AB可直接求出为5；最后利用勾股定理列方程求解r，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：由切线长定理可得：
$AF = AD = 3$，$BE = BD = 2$，
设内切圆$\odot I$的半径为$r$，
∵$\odot I$与$AC$、$BC$分别切于点$F$、$E$，
∴$IF⊥ AC$，$IE⊥ BC$，
又
∵$∠ C=90°$，$IF=IE=r$，
∴四边形$IECF$是正方形，得$CF=CE=r$，
则$AC = AF + CF = 3 + r$，$BC = BE + CE = 2 + r$，
斜边$AB = AD + BD = 3+2=5$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入得：$(3+r)^2 + (2+r)^2 = 5^2$
展开整理得：$r^2 + 5r - 6 = 0$
解得$r=1$（$r=-6$不符合实际，舍去）
∴$AC=3+1=4$，$BC=2+1=3$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
6
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，解题核心是通过切线长定理建立边长关系，结合直角三角形的勾股定理求解未知量，熟练掌握切线长定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
5.如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$。若等边三角形$ABC$的边长为6，求阴影部分的面积。
答案
5. $9\sqrt{3}-3π$
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分为等边三角形减去其内切圆后剩余的部分，因此可通过割补法计算面积，解题思路为：1. 先计算等边三角形ABC的面积；2. 再求出等边三角形内切圆的半径，进而计算内切圆的面积；3. 用等边三角形的面积减去内切圆的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：首先计算等边三角形ABC的面积：
已知等边三角形边长为6，其高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
接下来求内切圆$\odot O$的半径：
等边三角形的内心与重心重合，内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$，
因此内切圆半径$r=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
内切圆面积$S_{\odot O}=π r^2=π×(\sqrt{3})^2=3π$。
最后计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{\odot O}=9\sqrt{3}-3π$。
【答案】
$9\sqrt{3}-3π$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质；2. 等边三角形性质；3. 割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题，核心是通过割补法将阴影部分面积转化为规则图形的面积差，只要熟练掌握等边三角形的相关性质以及内切圆半径的计算方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，阴影部分为等边三角形减去其内切圆后剩余的部分，因此可通过割补法计算面积，解题思路为：1. 先计算等边三角形ABC的面积；2. 再求出等边三角形内切圆的半径，进而计算内切圆的面积；3. 用等边三角形的面积减去内切圆的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：首先计算等边三角形ABC的面积：
已知等边三角形边长为6，其高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
接下来求内切圆$\odot O$的半径：
等边三角形的内心与重心重合，内切圆半径为高的$\frac{1}{3}$，
因此内切圆半径$r=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
内切圆面积$S_{\odot O}=π r^2=π×(\sqrt{3})^2=3π$。
最后计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{\odot O}=9\sqrt{3}-3π$。
【答案】
$9\sqrt{3}-3π$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质；2. 等边三角形性质；3. 割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题，核心是通过割补法将阴影部分面积转化为规则图形的面积差，只要熟练掌握等边三角形的相关性质以及内切圆半径的计算方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$4×4$的正方形网格中,点A,B,C,D,H均在网格的格点上,下列结论中,错误的是 (
A.点H是$△ ABC$的外心
B.点H是$△ ABD$的内心
C.点H是$△ ADC$的外心
D.点H是$△ BCD$的外心
B
)A.点H是$△ ABC$的外心
B.点H是$△ ABD$的内心
C.点H是$△ ADC$的外心
D.点H是$△ BCD$的外心
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心概念：1.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等；2.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，性质是到三角形三条边的距离相等。我们可以先为网格建立平面直角坐标系，设小正方形边长为1，先通过勾股定理计算点H到各顶点的距离，判断外心相关的选项是否正确，再通过计算点H到三角形三边的距离判断内心相关选项是否正确。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$A(1,4)$，$B(0,1)$，$C(3,0)$，$D(4,1)$，$H(2,2)$。
1. 计算点H到各顶点的距离，根据勾股定理：
$HA=\sqrt{(2-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$HB=\sqrt{(2-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
$HC=\sqrt{(2-3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$HD=\sqrt{(2-4)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
所以$HA=HB=HC=HD$：
对$△ ABC$，H到A、B、C三点距离相等，故H是$△ ABC$的外心，A选项正确；
对$△ ADC$，H到A、D、C三点距离相等，故H是$△ ADC$的外心，C选项正确；
对$△ BCD$，H到B、C、D三点距离相等，故H是$△ BCD$的外心，D选项正确。
2. 判断B选项：三角形内心需要到三边距离相等，先求H到$△ ABD$的边BD的距离：BD在直线$y=1$上，故H到BD的距离为$2-1=1$；
再求直线AB的解析式：$A(1,4)$、$B(0,1)$，斜率$k=\frac{4-1}{1-0}=3$，方程为$y=3x+1$，即$3x-y+1=0$，根据点到直线的距离公式，$H(2,2)$到AB的距离为$\frac{|3×2 - 2 +1|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}≠1$，即H到AB和BD的距离不相等，故H不是$△ ABD$的内心，B选项错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心与内心的定义，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题将三角形的外心、内心判定与网格结合，需要熟练掌握外心、内心的性质，结合坐标法和相关公式进行验证，是三角形相关概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先明确两个核心概念：1.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等；2.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，性质是到三角形三条边的距离相等。我们可以先为网格建立平面直角坐标系，设小正方形边长为1，先通过勾股定理计算点H到各顶点的距离，判断外心相关的选项是否正确，再通过计算点H到三角形三边的距离判断内心相关选项是否正确。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$A(1,4)$，$B(0,1)$，$C(3,0)$，$D(4,1)$，$H(2,2)$。
1. 计算点H到各顶点的距离，根据勾股定理：
$HA=\sqrt{(2-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$HB=\sqrt{(2-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
$HC=\sqrt{(2-3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$HD=\sqrt{(2-4)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
所以$HA=HB=HC=HD$：
对$△ ABC$，H到A、B、C三点距离相等，故H是$△ ABC$的外心，A选项正确；
对$△ ADC$，H到A、D、C三点距离相等，故H是$△ ADC$的外心，C选项正确；
对$△ BCD$，H到B、C、D三点距离相等，故H是$△ BCD$的外心，D选项正确。
2. 判断B选项：三角形内心需要到三边距离相等，先求H到$△ ABD$的边BD的距离：BD在直线$y=1$上，故H到BD的距离为$2-1=1$；
再求直线AB的解析式：$A(1,4)$、$B(0,1)$，斜率$k=\frac{4-1}{1-0}=3$，方程为$y=3x+1$，即$3x-y+1=0$，根据点到直线的距离公式，$H(2,2)$到AB的距离为$\frac{|3×2 - 2 +1|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}≠1$，即H到AB和BD的距离不相等，故H不是$△ ABD$的内心，B选项错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心与内心的定义，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题将三角形的外心、内心判定与网格结合，需要熟练掌握外心、内心的性质，结合坐标法和相关公式进行验证，是三角形相关概念的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
