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二、填空题
11. 请写出一个图象经过原点的函数的表达式：
11. 请写出一个图象经过原点的函数的表达式：
$y=x$(答案不唯一)
.答案
11.$y=x$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出图象经过原点的函数表达式，首先明确：若函数图象经过原点，则原点坐标(0,0)满足该函数的表达式，即把x=0代入表达式时，y的计算结果为0即可。我们可以优先选择学过的简单函数类型，比如正比例函数，正比例函数的特征就是图象恒过原点，随便选取非零的比例系数就能得到符合要求的表达式。
【解析】
已知函数图象经过原点，即点(0,0)在函数图象上，将x=0、y=0代入函数表达式可成立即可。
例如选取正比例函数，其一般形式为$y=kx$（$k$为不为0的常数），此类函数恒过原点，取$k=1$，可得表达式$y=x$，符合要求。除此之外$y=2x$等合理表达式均正确，答案不唯一。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
函数图象与点的对应关系；正比例函数的性质
【点评】
本题为开放性基础题，考查对函数图象和表达式对应关系的理解，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数表达式”这一核心规律，即可轻松写出符合要求的答案，答案形式不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
要写出图象经过原点的函数表达式，首先明确：若函数图象经过原点，则原点坐标(0,0)满足该函数的表达式，即把x=0代入表达式时，y的计算结果为0即可。我们可以优先选择学过的简单函数类型，比如正比例函数，正比例函数的特征就是图象恒过原点，随便选取非零的比例系数就能得到符合要求的表达式。
【解析】
已知函数图象经过原点，即点(0,0)在函数图象上，将x=0、y=0代入函数表达式可成立即可。
例如选取正比例函数，其一般形式为$y=kx$（$k$为不为0的常数），此类函数恒过原点，取$k=1$，可得表达式$y=x$，符合要求。除此之外$y=2x$等合理表达式均正确，答案不唯一。
【答案】
$y=x$（答案不唯一）
【知识点】
函数图象与点的对应关系；正比例函数的性质
【点评】
本题为开放性基础题，考查对函数图象和表达式对应关系的理解，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数表达式”这一核心规律，即可轻松写出符合要求的答案，答案形式不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
12. 比较大小：$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
$＜$
$\frac{1}{3}$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
12.$＜$
解析
【分析】
要比较两个同分母分数的大小，只需比较它们分子的大小即可。首先结合无理数的估算知识确定$\sqrt{3}$的取值范围，再推导分子$\sqrt{3}-1$和$1$的大小关系，进而得到两个分数的大小关系。
【解析】
∵ 两个分数的分母均为3，同分母分数比较大小，分子越大，分数值越大，
∴ 只需比较分子$\sqrt{3}-1$和$1$的大小。
∵ $\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{3}-1 ＜ 2-1 =1$，
∴ $\frac{\sqrt{3}-1}{3} ＜ \frac{1}{3}$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的估算；同分母分数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的关键是将同分母分数比较大小转化为分子的大小比较，结合无理数的估算即可快速得出结论，也可通过直接计算近似值的方法判断大小，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
要比较两个同分母分数的大小，只需比较它们分子的大小即可。首先结合无理数的估算知识确定$\sqrt{3}$的取值范围，再推导分子$\sqrt{3}-1$和$1$的大小关系，进而得到两个分数的大小关系。
【解析】
∵ 两个分数的分母均为3，同分母分数比较大小，分子越大，分数值越大，
∴ 只需比较分子$\sqrt{3}-1$和$1$的大小。
∵ $\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{3}-1 ＜ 2-1 =1$，
∴ $\frac{\sqrt{3}-1}{3} ＜ \frac{1}{3}$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的估算；同分母分数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的关键是将同分母分数比较大小转化为分子的大小比较，结合无理数的估算即可快速得出结论，也可通过直接计算近似值的方法判断大小，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
13.如图,点$A(a,4)$在一次函数$y=-3x-5$的图象上,图象与$y$轴的交点为$B$,那么$△ AOB$的面积为
$7.5$
.答案
13.7.5
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①已知点A在一次函数图象上，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将A(a,4)代入一次函数解析式即可求出a的值，得到点A的横坐标；②一次函数与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入解析式即可求出点B的坐标，得到OB的长度；③△AOB的边OB在y轴上，以OB为底，点A到y轴的水平距离为高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将A(a,4)代入$y=-3x-5$，得：
$4 = -3a -5$
移项计算得$3a = -9$，解得$a=-3$，即点A坐标为$(-3,4)$。
2. 求点B的坐标：
一次函数与y轴交点的横坐标为0，令$x=0$，代入$y=-3x-5$得$y=-5$，即点B坐标为$(0,-5)$，因此OB的长度为$|-5|=5$。
3. 计算△AOB的面积：
△AOB中，OB为底边，长度为5，高为点A到y轴的距离，即$|-3|=3$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
一次函数的图象性质，点与函数解析式的关系，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，解题关键是利用一次函数的性质求出对应点的坐标，再结合三角形面积公式计算，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤思考：①已知点A在一次函数图象上，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将A(a,4)代入一次函数解析式即可求出a的值，得到点A的横坐标；②一次函数与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入解析式即可求出点B的坐标，得到OB的长度；③△AOB的边OB在y轴上，以OB为底，点A到y轴的水平距离为高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将A(a,4)代入$y=-3x-5$，得：
$4 = -3a -5$
移项计算得$3a = -9$，解得$a=-3$，即点A坐标为$(-3,4)$。
2. 求点B的坐标：
一次函数与y轴交点的横坐标为0，令$x=0$，代入$y=-3x-5$得$y=-5$，即点B坐标为$(0,-5)$，因此OB的长度为$|-5|=5$。
3. 计算△AOB的面积：
△AOB中，OB为底边，长度为5，高为点A到y轴的距离，即$|-3|=3$，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
一次函数的图象性质，点与函数解析式的关系，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，解题关键是利用一次函数的性质求出对应点的坐标，再结合三角形面积公式计算，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
14.如图,一个三棱柱盒子底面三边的长分别为3 cm,4 cm,5 cm,盒子高为9 cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B,蚂蚁要爬行的最短路程是
$15$
cm.答案
14.15
解析
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，首先要将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径的形状，再结合勾股定理计算长度。本题中蚂蚁沿盒子表面爬行一周，展开三棱柱侧面后，A、B两点的连线就是最短路径，该路径与底面周长、盒子的高可构成直角三角形，用勾股定理即可求出路径长度。
【解析】
将三棱柱的侧面沿棱展开得到长方形，长方形的长为底面三角形的周长：$3+4+5=12\ \mathrm{cm}$，长方形的宽为盒子的高$9\ \mathrm{cm}$。
此时蚂蚁爬行的最短路程为长方形对角线的长度，根据勾股定理：
$l=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题，立体图形展开
【点评】
本题是表面最短路径的典型考题，核心考查立体转平面的转化思想，解题的关键是准确找到展开后直角三角形的两条直角边的长度，再用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
解决立体图形表面的最短路径问题，首先要将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径的形状，再结合勾股定理计算长度。本题中蚂蚁沿盒子表面爬行一周，展开三棱柱侧面后，A、B两点的连线就是最短路径，该路径与底面周长、盒子的高可构成直角三角形，用勾股定理即可求出路径长度。
【解析】
将三棱柱的侧面沿棱展开得到长方形，长方形的长为底面三角形的周长：$3+4+5=12\ \mathrm{cm}$，长方形的宽为盒子的高$9\ \mathrm{cm}$。
此时蚂蚁爬行的最短路程为长方形对角线的长度，根据勾股定理：
$l=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题，立体图形展开
【点评】
本题是表面最短路径的典型考题，核心考查立体转平面的转化思想，解题的关键是准确找到展开后直角三角形的两条直角边的长度，再用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=9$，射线$CD$与边$AB$交于点$D$，$E$，$F$分别为$AD$，$BD$的中点。设点$E$，$F$到射线$CD$的距离分别为$m$，$n$，则$m+n$的最大值为
$\frac{15}{2}$
。答案
15.$\frac{15}{2}$
解析
【分析】
解题时先利用中点的性质关联三角形面积，再通过面积公式建立待求的距离和与线段CD的关系，将求最值问题转化为求CD的最小值，最后结合垂线段最短和勾股定理求解。具体思路：1. 由E、F是中点，得出两个小三角形面积和等于△ABC面积的一半；2. 用点到直线的距离表示两个小三角形的面积，推导得到m+n和CD的反比例关系，即CD越小，m+n越大；3. 利用垂线段最短确定CD的最小值为AB边上的高，代入计算即可得到最大值。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
已知∠ACB=90°，AC=12，BC=9，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 12 × 9=54$。
2. 结合中点性质推导面积关系：
∵E是AD的中点，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$（等底同高的三角形面积相等）；
同理F是BD的中点，
∴$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$。
两式相加得：$S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=\frac{1}{2}(S_{△ ACD}+S_{△ BCD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=27$。
3. 建立m+n与CD的关系：
∵E到CD的距离为m，F到CD的距离为n，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2} × CD × m$，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2} × CD × n$，代入面积和得：
$\frac{1}{2} × CD × m + \frac{1}{2} × CD × n=27$，整理得$CD · (m+n)=54$，即$m+n=\frac{54}{CD}$。
4. 求CD的最小值：
根据点到直线的线段中垂线段最短，当CD⊥AB时，CD取最小值。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
此时$CD_{min}=\frac{2S_{△ ABC}}{AB}=\frac{2 × 54}{15}=\frac{36}{5}$。
5. 计算m+n的最大值：
将$CD_{min}$代入得$m+n$的最大值为$\frac{54}{\frac{36}{5}}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题巧妙运用面积转化思想，将未知的距离和问题转化为线段最值问题，对学生的逻辑推理和知识迁移能力有一定要求，解题的核心是找到m+n与线段CD的反比例关系。
【难度系数】
0.6
解题时先利用中点的性质关联三角形面积，再通过面积公式建立待求的距离和与线段CD的关系，将求最值问题转化为求CD的最小值，最后结合垂线段最短和勾股定理求解。具体思路：1. 由E、F是中点，得出两个小三角形面积和等于△ABC面积的一半；2. 用点到直线的距离表示两个小三角形的面积，推导得到m+n和CD的反比例关系，即CD越小，m+n越大；3. 利用垂线段最短确定CD的最小值为AB边上的高，代入计算即可得到最大值。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
已知∠ACB=90°，AC=12，BC=9，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 12 × 9=54$。
2. 结合中点性质推导面积关系：
∵E是AD的中点，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$（等底同高的三角形面积相等）；
同理F是BD的中点，
∴$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$。
两式相加得：$S_{△ CDE}+S_{△ CDF}=\frac{1}{2}(S_{△ ACD}+S_{△ BCD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=27$。
3. 建立m+n与CD的关系：
∵E到CD的距离为m，F到CD的距离为n，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2} × CD × m$，$S_{△ CDF}=\frac{1}{2} × CD × n$，代入面积和得：
$\frac{1}{2} × CD × m + \frac{1}{2} × CD × n=27$，整理得$CD · (m+n)=54$，即$m+n=\frac{54}{CD}$。
4. 求CD的最小值：
根据点到直线的线段中垂线段最短，当CD⊥AB时，CD取最小值。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
此时$CD_{min}=\frac{2S_{△ ABC}}{AB}=\frac{2 × 54}{15}=\frac{36}{5}$。
5. 计算m+n的最大值：
将$CD_{min}$代入得$m+n$的最大值为$\frac{54}{\frac{36}{5}}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题巧妙运用面积转化思想，将未知的距离和问题转化为线段最值问题，对学生的逻辑推理和知识迁移能力有一定要求，解题的核心是找到m+n与线段CD的反比例关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16. 计算:
(1) $\sqrt{48} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3}$.
(2) $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) × (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}$.
16. 计算:
(1) $\sqrt{48} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3}$.
(2) $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) × (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - \sqrt{16}$.
答案
16.解:(1)原式=$4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{13\sqrt{3}}{3}$.
(2)原式=$7-3-4=0$.
(2)原式=$7-3-4=0$.
解析
【分析】
(1) 本题是二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先把所有二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式即可。解题时先处理每一个根式：$\sqrt{48}$可以拆成$\sqrt{16×3}$化简，$\sqrt{\frac{1}{3}}$要做分母有理化，之后再将同类二次根式的系数相加减。
(2) 本题是二次根式的混合运算，观察到前半部分的乘积符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，先利用平方差公式简化乘法运算，再计算算术平方根，最后做减法即可得出结果。
【解析】
(1) 先化简每一项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\\&=\frac{12\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{13\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算乘法部分：
$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7-3=4$，
再计算$\sqrt{16}=4$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4-4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{13\sqrt{3}}{3}$；(2) $0$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考察二次根式的运算规则和整式乘法公式的迁移应用，计算时注意先化简再运算，能套用公式的优先用公式简化计算，可降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先把所有二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式即可。解题时先处理每一个根式：$\sqrt{48}$可以拆成$\sqrt{16×3}$化简，$\sqrt{\frac{1}{3}}$要做分母有理化，之后再将同类二次根式的系数相加减。
(2) 本题是二次根式的混合运算，观察到前半部分的乘积符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，先利用平方差公式简化乘法运算，再计算算术平方根，最后做减法即可得出结果。
【解析】
(1) 先化简每一项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\\&=\frac{12\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{13\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算乘法部分：
$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2=7-3=4$，
再计算$\sqrt{16}=4$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4-4\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{13\sqrt{3}}{3}$；(2) $0$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考察二次根式的运算规则和整式乘法公式的迁移应用，计算时注意先化简再运算，能套用公式的优先用公式简化计算，可降低出错率。
【难度系数】
0.8
17. 小明和小亮在操场上打羽毛球，一不小心羽毛球落在树上，羽毛球离地面4.1米，身高1.5米的小亮搬来了一架长为5米的梯子架在树干上，梯子底端离树干3米远，小亮爬上梯子去拿羽毛球，如图所示.小亮能拿到羽毛球吗？为什么？
答案
17.解:由题意可得,梯子顶端距离地面的高度为$\sqrt{5^2-3^2}=4$(米).因为$4+1.5=5.5＞4.1$,所以小亮能拿到羽毛球.
解析
【分析】
要判断小亮能不能拿到羽毛球，核心是比较小亮能够到的最大高度和羽毛球的离地高度。首先我们可以从实际场景中抽象出直角三角形：竖直的树干、水平的地面、倾斜的梯子刚好构成直角三角形，其中梯子是斜边，梯子底端到树干的距离是一条直角边。我们先利用勾股定理算出另一条直角边，也就是梯子顶端到地面的高度，再结合小亮的身高算出他能达到的总高度，最后和羽毛球高度4.1米对比就能得出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子、树干、地面构成直角三角形，梯子长5米为斜边，梯子底端离树干的距离3米为其中一条直角边。
根据勾股定理，梯子顶端距离地面的高度为：
$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$（米）
小亮身高1.5米，站在梯子上时他能够到的高度至少为$4+1.5=5.5$米。
因为$5.5＞4.1$，所以小亮能拿到羽毛球。
【答案】
小亮能拿到羽毛球。梯子顶端距离地面的高度为$\sqrt{5^2-3^2}=4$米，$4+1.5=5.5＞4.1$，因此小亮可以拿到羽毛球。
【知识点】
勾股定理，实际问题建模，实数大小比较
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的应用类题目，需要学生先将实际场景抽象为直角三角形模型，再运用勾股定理计算相关边长，最后结合实际条件判断结果，能够有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断小亮能不能拿到羽毛球，核心是比较小亮能够到的最大高度和羽毛球的离地高度。首先我们可以从实际场景中抽象出直角三角形：竖直的树干、水平的地面、倾斜的梯子刚好构成直角三角形，其中梯子是斜边，梯子底端到树干的距离是一条直角边。我们先利用勾股定理算出另一条直角边，也就是梯子顶端到地面的高度，再结合小亮的身高算出他能达到的总高度，最后和羽毛球高度4.1米对比就能得出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子、树干、地面构成直角三角形，梯子长5米为斜边，梯子底端离树干的距离3米为其中一条直角边。
根据勾股定理，梯子顶端距离地面的高度为：
$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$（米）
小亮身高1.5米，站在梯子上时他能够到的高度至少为$4+1.5=5.5$米。
因为$5.5＞4.1$，所以小亮能拿到羽毛球。
【答案】
小亮能拿到羽毛球。梯子顶端距离地面的高度为$\sqrt{5^2-3^2}=4$米，$4+1.5=5.5＞4.1$，因此小亮可以拿到羽毛球。
【知识点】
勾股定理，实际问题建模，实数大小比较
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的应用类题目，需要学生先将实际场景抽象为直角三角形模型，再运用勾股定理计算相关边长，最后结合实际条件判断结果，能够有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
18.某地气象资料表明，当地暴雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计：$t^2 = \frac{d^3}{900}$，其中d(km)是暴雨区域的直径。
（1）如果暴雨区域的直径为9 km，那么这场暴雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场暴雨持续了1 h，那么这场暴雨区域的直径大约是多少？（已知$\sqrt[3]{900} \approx 9.65$，结果精确到0.1 km）
（1）如果暴雨区域的直径为9 km，那么这场暴雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场暴雨持续了1 h，那么这场暴雨区域的直径大约是多少？（已知$\sqrt[3]{900} \approx 9.65$，结果精确到0.1 km）
答案
18.解:(1)当$d=9$时,$t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{81}{100}.\because t＞0,\therefore t=\sqrt{\frac{81}{100}}=0.9$.
答:这场暴雨大约能持续0.9 h. (2)把$t=1$代入$t^2=\frac{d^3}{900}$,得$\frac{d^3}{900}=1$,解得$d=\sqrt[3]{900}\approx9.65\approx9.7(\mathrm{km})$.答:这场暴雨区域的直径大约是9.7 km.
答:这场暴雨大约能持续0.9 h. (2)把$t=1$代入$t^2=\frac{d^3}{900}$,得$\frac{d^3}{900}=1$,解得$d=\sqrt[3]{900}\approx9.65\approx9.7(\mathrm{km})$.答:这场暴雨区域的直径大约是9.7 km.
解析
【分析】
这道题是公式代入求值的实际应用问题，解题思路清晰：（1）第一问已知暴雨区域直径d的数值，直接将d代入给定公式，算出t²的结果后，结合时间t为正数的实际意义，对t²取算术平方根就能得到暴雨持续时间；（2）第二问已知暴雨持续时间t的数值，将t代入公式后先整理得出d³的数值，再对结果开立方，结合题目给出的立方根近似值，按要求保留精度即可得到暴雨区域的直径。
【解析】
（1）把$d=9$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}=\frac{81}{100}$
由于暴雨持续时间$t＞0$，因此$t=\sqrt{\frac{81}{100}}=0.9\ \mathrm{h}$。
（2）把$t=1$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$1^2=\frac{d^3}{900}$，即$\frac{d^3}{900}=1$
整理得$d^3=900$，由于暴雨区域直径$d＞0$，因此$d=\sqrt[3]{900}$。
已知$\sqrt[3]{900} \approx 9.65$，精确到0.1km可得$d\approx9.7\ \mathrm{km}$。
【答案】
（1）0.9 h；（2）9.7 km
【知识点】
代数式求值，算术平方根运算，立方根运算
【点评】
本题结合气象实际场景考查代数运算的应用，核心是掌握代数式代入求值的方法，运算时要结合实际意义对开方结果取正值，同时需严格按照题目要求处理近似值的精度。
【难度系数】
0.8
这道题是公式代入求值的实际应用问题，解题思路清晰：（1）第一问已知暴雨区域直径d的数值，直接将d代入给定公式，算出t²的结果后，结合时间t为正数的实际意义，对t²取算术平方根就能得到暴雨持续时间；（2）第二问已知暴雨持续时间t的数值，将t代入公式后先整理得出d³的数值，再对结果开立方，结合题目给出的立方根近似值，按要求保留精度即可得到暴雨区域的直径。
【解析】
（1）把$d=9$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$t^2=\frac{9^3}{900}=\frac{729}{900}=\frac{81}{100}$
由于暴雨持续时间$t＞0$，因此$t=\sqrt{\frac{81}{100}}=0.9\ \mathrm{h}$。
（2）把$t=1$代入公式$t^2 = \frac{d^3}{900}$，得：
$1^2=\frac{d^3}{900}$，即$\frac{d^3}{900}=1$
整理得$d^3=900$，由于暴雨区域直径$d＞0$，因此$d=\sqrt[3]{900}$。
已知$\sqrt[3]{900} \approx 9.65$，精确到0.1km可得$d\approx9.7\ \mathrm{km}$。
【答案】
（1）0.9 h；（2）9.7 km
【知识点】
代数式求值，算术平方根运算，立方根运算
【点评】
本题结合气象实际场景考查代数运算的应用，核心是掌握代数式代入求值的方法，运算时要结合实际意义对开方结果取正值，同时需严格按照题目要求处理近似值的精度。
【难度系数】
0.8
