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19.如图，正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点A，点A在第二象限，过点A作 $ AH ⊥ x $ 轴，垂足为H。已知点A的横坐标为－3，且 $ △ AOH $ 的面积为4.5。
（1）求该正比例函数的表达式。
（2）将正比例函数 $ y = kx $ 的图象向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数表达式。
（1）求该正比例函数的表达式。
（2）将正比例函数 $ y = kx $ 的图象向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数表达式。
答案
19.解:(1)$\because$点A的横坐标为$-3$,且$△ AOH$的面积为4.5,$\therefore OH=3$,$\frac{1}{2}OH· AH=4.5$.$\therefore AH=3$.$\therefore$点A的坐标为$(-3,3)$.
$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点A,$\therefore -3k=3$,解得$k=-1$.$\therefore$正比例函数的表达式是$y=-x$. (2)$\because AH=3$,$\therefore$将正比例函数$y=-x$的图象向下平移3个单位长度后经过点H.$\therefore$平移后的函数表达式为$y=-x-3$.
$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点A,$\therefore -3k=3$,解得$k=-1$.$\therefore$正比例函数的表达式是$y=-x$. (2)$\because AH=3$,$\therefore$将正比例函数$y=-x$的图象向下平移3个单位长度后经过点H.$\therefore$平移后的函数表达式为$y=-x-3$.
解析
【分析】
（1）求解正比例函数表达式需要先得到函数图象上一个点的坐标。已知点A的横坐标为-3，由AH垂直x轴可得OH的长度为3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，也就是点A的纵坐标，再结合点A在第二象限确定A点的完整坐标，代入y=kx即可求出k值，得到正比例函数表达式。
（2）一次函数图象平移时斜率k不变，可先确定点H的坐标，设平移后的函数表达式为y=-x+b，代入H点坐标求出b即可；也可以根据平移“上加下减”的规律，结合平移距离直接写出平移后的表达式。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为$-3$，$AH⊥ x$轴，
∴$OH=3$。
又
∵$△ AOH$的面积为4.5，
∴$\frac{1}{2}OH· AH=4.5$，代入OH=3得$\frac{1}{2}×3× AH=4.5$，解得$AH=3$。
∵点A在第二象限，纵坐标为正，
∴点A的坐标为$(-3,3)$。
将A$(-3,3)$代入$y=kx$，得$-3k=3$，解得$k=-1$，
∴该正比例函数的表达式是$y=-x$。
(2) 由AH⊥x轴，点A横坐标为-3，可得点H坐标为$(-3,0)$。
正比例函数平移后k值不变，设平移后的函数表达式为$y=-x+b$，
将H$(-3,0)$代入得$0=-(-3)+b$，解得$b=-3$。
也可根据AH=3可知，将$y=-x$向下平移3个单位长度即可经过点H，由平移“上加下减”的规律得平移后表达式为$y=-x-3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x}$；（2）$\boldsymbol{y=-x-3}$
【知识点】
正比例函数解析式确定，一次函数图象平移，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于函数基础题，结合了三角形面积计算、坐标特征与函数的核心知识点，解题时需注意象限对坐标符号的影响，熟练掌握一次函数平移规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
（1）求解正比例函数表达式需要先得到函数图象上一个点的坐标。已知点A的横坐标为-3，由AH垂直x轴可得OH的长度为3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，也就是点A的纵坐标，再结合点A在第二象限确定A点的完整坐标，代入y=kx即可求出k值，得到正比例函数表达式。
（2）一次函数图象平移时斜率k不变，可先确定点H的坐标，设平移后的函数表达式为y=-x+b，代入H点坐标求出b即可；也可以根据平移“上加下减”的规律，结合平移距离直接写出平移后的表达式。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为$-3$，$AH⊥ x$轴，
∴$OH=3$。
又
∵$△ AOH$的面积为4.5，
∴$\frac{1}{2}OH· AH=4.5$，代入OH=3得$\frac{1}{2}×3× AH=4.5$，解得$AH=3$。
∵点A在第二象限，纵坐标为正，
∴点A的坐标为$(-3,3)$。
将A$(-3,3)$代入$y=kx$，得$-3k=3$，解得$k=-1$，
∴该正比例函数的表达式是$y=-x$。
(2) 由AH⊥x轴，点A横坐标为-3，可得点H坐标为$(-3,0)$。
正比例函数平移后k值不变，设平移后的函数表达式为$y=-x+b$，
将H$(-3,0)$代入得$0=-(-3)+b$，解得$b=-3$。
也可根据AH=3可知，将$y=-x$向下平移3个单位长度即可经过点H，由平移“上加下减”的规律得平移后表达式为$y=-x-3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x}$；（2）$\boldsymbol{y=-x-3}$
【知识点】
正比例函数解析式确定，一次函数图象平移，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题属于函数基础题，结合了三角形面积计算、坐标特征与函数的核心知识点，解题时需注意象限对坐标符号的影响，熟练掌握一次函数平移规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
20.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)的顶点A,C的坐标分别为$A(-4,5),C(-1,3)$.
(1)请在网格内建立符合题意的平面直角坐标系.
(2)请作出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$.
(3)写出点$B_1$的坐标,并求出$△ A_1B_1C_1$的面积.
(1)请在网格内建立符合题意的平面直角坐标系.
(2)请作出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$.
(3)写出点$B_1$的坐标,并求出$△ A_1B_1C_1$的面积.
答案
20.解:(1)图略. (2)图略. (3)$B_1(2,1)$.$S_{△ A_1B_1C_1}=3×4-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×3×2=12-4-1-3=4$.
解析
【分析】
1. 建立坐标系：已知A(-4,5)、C(-1,3)，以A点向右4个单位、向下5个单位的格点为坐标原点，分别画出水平向右为正方向的x轴、竖直向上为正方向的y轴即可。
2. 作关于y轴对称的图形：先确定原△ABC各顶点坐标，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，得到A₁、B₁、C₁的坐标，描点后依次连接即可。
3. 求B₁坐标和三角形面积：直接根据对称规律写出B₁坐标；格点三角形面积用割补法，将三角形放入外围矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出结果。
【解析】
(1) 以A点向右数4格、向下数5格的交点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系即可。
(2) 先确定原B点坐标为(-2,1)，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为相反数，得A₁(4,5)，B₁(2,1)，C₁(1,3)，在坐标系中描出这三个点，再依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 由对称规律可得B₁坐标为(2,1)；
用割补法求面积：
$S_{△A_1B_1C_1}=S_{外围矩形}-S_{三个外围直角三角形}$
$=3×4 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×3×2$
$=12 - 4 - 1 - 3$
$=4$
【答案】
(1) 图略；(2) 图略；(3) $B_1(2,1)$，$△A_1B_1C_1$的面积为4。
【知识点】
平面直角坐标系的建立，轴对称的坐标变化，割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标系搭建、轴对称图形作图和格点面积计算的核心技能，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律，以及割补法求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
1. 建立坐标系：已知A(-4,5)、C(-1,3)，以A点向右4个单位、向下5个单位的格点为坐标原点，分别画出水平向右为正方向的x轴、竖直向上为正方向的y轴即可。
2. 作关于y轴对称的图形：先确定原△ABC各顶点坐标，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，得到A₁、B₁、C₁的坐标，描点后依次连接即可。
3. 求B₁坐标和三角形面积：直接根据对称规律写出B₁坐标；格点三角形面积用割补法，将三角形放入外围矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出结果。
【解析】
(1) 以A点向右数4格、向下数5格的交点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系即可。
(2) 先确定原B点坐标为(-2,1)，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为相反数，得A₁(4,5)，B₁(2,1)，C₁(1,3)，在坐标系中描出这三个点，再依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 由对称规律可得B₁坐标为(2,1)；
用割补法求面积：
$S_{△A_1B_1C_1}=S_{外围矩形}-S_{三个外围直角三角形}$
$=3×4 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×3×2$
$=12 - 4 - 1 - 3$
$=4$
【答案】
(1) 图略；(2) 图略；(3) $B_1(2,1)$，$△A_1B_1C_1$的面积为4。
【知识点】
平面直角坐标系的建立，轴对称的坐标变化，割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标系搭建、轴对称图形作图和格点面积计算的核心技能，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标规律，以及割补法求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
21.学完勾股定理后,小宇对勾股定理产生了极大的兴趣,通过搜集资料,他整理了一篇有关勾股定理的数学学习笔记.下面是学习笔记的部分内容,请阅读并完成相应的任务.
对勾股定理的再认识
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”.我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.如图,这是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理,思路如下:大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^2$,另一种是等于四个直角三角形与中间小正方形的面积之和,即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,从而得到等式$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,化简便得结论$a^2+b^2=c^2$.这里用两种求法来表示同一个量,从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”……
任务:请参照小论文中的“双求法”解决下列问题:
(1)图1、图2的两个正方形网格的面积分别为$S_1,S_2$(两个网格单位长度不同),正方形$ABCD$、正方形$MNPQ$满足$S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}$.下列结论正确的是 (
A.$S_1=36$
B.$S_{正方形ABCD}=\frac{4}{9}S_1$
C.$S_{正方形MNPQ}=\frac{5}{9}S_2$
D.$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{10}$
(2)如图3,在$△ ABC$中,BD是边AC上的高,$AB=4,BC=8,AC=10$,求AD的长.
对勾股定理的再认识
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”.我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.如图,这是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理,思路如下:大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^2$,另一种是等于四个直角三角形与中间小正方形的面积之和,即$4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,从而得到等式$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,化简便得结论$a^2+b^2=c^2$.这里用两种求法来表示同一个量,从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”……
任务:请参照小论文中的“双求法”解决下列问题:
(1)图1、图2的两个正方形网格的面积分别为$S_1,S_2$(两个网格单位长度不同),正方形$ABCD$、正方形$MNPQ$满足$S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}$.下列结论正确的是 (
D
)A.$S_1=36$
B.$S_{正方形ABCD}=\frac{4}{9}S_1$
C.$S_{正方形MNPQ}=\frac{5}{9}S_2$
D.$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{10}$
(2)如图3,在$△ ABC$中,BD是边AC上的高,$AB=4,BC=8,AC=10$,求AD的长.
答案
21.解:(1)D (2)设$AD=x$,则$CD=10-x$.$\because BD$是边AC上的高,$\therefore BD⊥ AC$.$\therefore △ ABD$和$△ BCD$为直角三角形.$\therefore BD^2=AB^2-AD^2$,$BD^2=BC^2-CD^2$.$\therefore AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$.$\because AB=4$,$BC=8$,$\therefore 4^2-x^2=8^2-(10-x)^2$,解得$x=2.6$.$\therefore AD=2.6$.
解析
【分析】
(1) 解题核心是利用“双求法”的等量转化思想，结合割补法表示正方形面积。首先分别推导正方形ABCD与S₁、正方形MNPQ与S₂的面积关系，再结合两个正方形面积相等的条件，逐一验证选项：A选项S₁由网格单位长度决定，无固定值；B选项可通过割补法得正方形ABCD面积为$\frac{5}{9}S_1$，不符合选项表述；C选项同理得正方形MNPQ面积为$\frac{1}{2}S_2$，不符合选项表述；D选项结合两个正方形面积相等的条件推导可得比例正确。
(2) 解题核心是利用公共边BD构建等量关系。BD是两个直角三角形的公共直角边，可分别在Rt△ABD和Rt△BCD中用勾股定理表示BD²，建立关于AD的方程求解。首先设AD为x，用含x的式子表示CD，再代入勾股定理的表达式解方程即可。
【解析】
(1) 设S₁的单位小正方形面积为k，S₁由3×3个单位小正方形组成，故$S_1=9k$。用割补法求正方形ABCD的面积：
$S_{正方形ABCD}=S_1 - 4×\frac{1}{2}×1k×2k=9k-4k=5k=\frac{5}{9}S_1$
设S₂的单位小正方形面积为m，同理可得$S_{正方形MNPQ}=\frac{1}{2}S_2$
已知$S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}$，则$\frac{5}{9}S_1=\frac{1}{2}S_2$，化简得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{10}$，只有D选项表述正确。
(2) 设$AD=x$，则$CD=10-x$
∵BD是AC边上的高，
∴$∠ADB=∠CDB=90°$，△ABD和△BCD均为直角三角形
由勾股定理得：
在Rt△ABD中，$BD^2=AB^2-AD^2$
在Rt△BCD中，$BD^2=BC^2-CD^2$
联立得$AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$
代入$AB=4,BC=8$得：
$4^2 - x^2 = 8^2 - (10-x)^2$
展开计算：$16 - x^2 = 64 - 100 + 20x - x^2$
整理得$20x=52$，解得$x=2.6$
【答案】
(1)D；(2)$AD=2.6$
【知识点】
勾股定理；方程思想；面积法
【点评】
本题以勾股定理的经典证明方法为背景，既考查了网格中图形面积的计算能力，又考查了利用公共边构建等量关系求解线段长度的应用能力，突出了等量转化思想在几何解题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
(1) 解题核心是利用“双求法”的等量转化思想，结合割补法表示正方形面积。首先分别推导正方形ABCD与S₁、正方形MNPQ与S₂的面积关系，再结合两个正方形面积相等的条件，逐一验证选项：A选项S₁由网格单位长度决定，无固定值；B选项可通过割补法得正方形ABCD面积为$\frac{5}{9}S_1$，不符合选项表述；C选项同理得正方形MNPQ面积为$\frac{1}{2}S_2$，不符合选项表述；D选项结合两个正方形面积相等的条件推导可得比例正确。
(2) 解题核心是利用公共边BD构建等量关系。BD是两个直角三角形的公共直角边，可分别在Rt△ABD和Rt△BCD中用勾股定理表示BD²，建立关于AD的方程求解。首先设AD为x，用含x的式子表示CD，再代入勾股定理的表达式解方程即可。
【解析】
(1) 设S₁的单位小正方形面积为k，S₁由3×3个单位小正方形组成，故$S_1=9k$。用割补法求正方形ABCD的面积：
$S_{正方形ABCD}=S_1 - 4×\frac{1}{2}×1k×2k=9k-4k=5k=\frac{5}{9}S_1$
设S₂的单位小正方形面积为m，同理可得$S_{正方形MNPQ}=\frac{1}{2}S_2$
已知$S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}$，则$\frac{5}{9}S_1=\frac{1}{2}S_2$，化简得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{10}$，只有D选项表述正确。
(2) 设$AD=x$，则$CD=10-x$
∵BD是AC边上的高，
∴$∠ADB=∠CDB=90°$，△ABD和△BCD均为直角三角形
由勾股定理得：
在Rt△ABD中，$BD^2=AB^2-AD^2$
在Rt△BCD中，$BD^2=BC^2-CD^2$
联立得$AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$
代入$AB=4,BC=8$得：
$4^2 - x^2 = 8^2 - (10-x)^2$
展开计算：$16 - x^2 = 64 - 100 + 20x - x^2$
整理得$20x=52$，解得$x=2.6$
【答案】
(1)D；(2)$AD=2.6$
【知识点】
勾股定理；方程思想；面积法
【点评】
本题以勾股定理的经典证明方法为背景，既考查了网格中图形面积的计算能力，又考查了利用公共边构建等量关系求解线段长度的应用能力，突出了等量转化思想在几何解题中的重要作用。
【难度系数】
0.7
