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1. 下列给出的点中，在第四象限的是 （
A.$(4,1)$
B.$(4,-1)$
C.$(-4,1)$
D.$(-4,-1)$
B
）A.$(4,1)$
B.$(4,-1)$
C.$(-4,1)$
D.$(-4,-1)$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确四个象限内点的坐标符号特征：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)。接下来只需逐一核对每个选项的横、纵坐标符号，匹配第四象限符号特征的即为正确答案。
【解析】
首先明确各象限内点的坐标符号规律：
1. 第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，即$(+,+)$
2. 第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，即$(-,+)$
3. 第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，即$(-,-)$
4. 第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，即$(+,-)$
逐一判断选项：
A选项$(4,1)$：横正纵正，属于第一象限，不符合要求
B选项$(4,-1)$：横正纵负，属于第四象限，符合要求
C选项$(-4,1)$：横负纵正，属于第二象限，不符合要求
D选项$(-4,-1)$：横负纵负，属于第三象限，不符合要求
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查对各象限内点的坐标符号规律的记忆，熟记规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确四个象限内点的坐标符号特征：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)。接下来只需逐一核对每个选项的横、纵坐标符号，匹配第四象限符号特征的即为正确答案。
【解析】
首先明确各象限内点的坐标符号规律：
1. 第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，即$(+,+)$
2. 第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，即$(-,+)$
3. 第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，即$(-,-)$
4. 第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，即$(+,-)$
逐一判断选项：
A选项$(4,1)$：横正纵正，属于第一象限，不符合要求
B选项$(4,-1)$：横正纵负，属于第四象限，符合要求
C选项$(-4,1)$：横负纵正，属于第二象限，不符合要求
D选项$(-4,-1)$：横负纵负，属于第三象限，不符合要求
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查对各象限内点的坐标符号规律的记忆，熟记规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 在实数$\sqrt{5},\frac{22}{7},0,\frac{π}{2},\sqrt{36},-1.414$中，有理数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。解题时先对能化简的数先化简，再逐个判断每个数所属类别，最后统计有理数的个数即可得到答案。
【解析】
根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于分数），逐个分析各数：
1. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $0$是整数，属于有理数；
4. $\frac{π}{2}$中π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$是无理数；
5. $\sqrt{36}=6$，6是整数，属于有理数；
6. $-1.414$是有限小数，属于有理数。
综上，有理数共有4个。
【答案】
D
【知识点】
有理数的概念,无理数的识别,算术平方根的计算
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的区分，易错点是未化简直接将$\sqrt{36}$判定为无理数，解题时需注意先对带根号的数化简后再判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。解题时先对能化简的数先化简，再逐个判断每个数所属类别，最后统计有理数的个数即可得到答案。
【解析】
根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于分数），逐个分析各数：
1. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
2. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $0$是整数，属于有理数；
4. $\frac{π}{2}$中π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$是无理数；
5. $\sqrt{36}=6$，6是整数，属于有理数；
6. $-1.414$是有限小数，属于有理数。
综上，有理数共有4个。
【答案】
D
【知识点】
有理数的概念,无理数的识别,算术平方根的计算
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的区分，易错点是未化简直接将$\sqrt{36}$判定为无理数，解题时需注意先对带根号的数化简后再判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3. 下列函数中，$y$随$x$的增大而增大的是(
A.$y=-5x$
B.$y=-5x+1$
C.$y=-x-5$
D.$y=x-5$
D
)A.$y=-5x$
B.$y=-5x+1$
C.$y=-x-5$
D.$y=x-5$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查一次函数的增减性，解题思路如下：首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数）的增减规律：$k$的正负决定了$y$随$x$的变化趋势，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。接下来只需逐一判断四个选项中一次项系数$k$的正负，找出$k＞0$的选项即为正确答案。
【解析】
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），其增减性由$k$的符号决定：
若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大；
若$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
逐一分析选项：
A. 函数$y=-5x$中，$k=-5＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
B. 函数$y=-5x+1$中，$k=-5＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
C. 函数$y=-x-5$中，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
D. 函数$y=x-5$中，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数增减性与一次项系数$k$的对应关系，牢记相关性质即可快速判断，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数的增减性，解题思路如下：首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数）的增减规律：$k$的正负决定了$y$随$x$的变化趋势，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。接下来只需逐一判断四个选项中一次项系数$k$的正负，找出$k＞0$的选项即为正确答案。
【解析】
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$），其增减性由$k$的符号决定：
若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大；
若$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小。
逐一分析选项：
A. 函数$y=-5x$中，$k=-5＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
B. 函数$y=-5x+1$中，$k=-5＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
C. 函数$y=-x-5$中，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
D. 函数$y=x-5$中，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数增减性与一次项系数$k$的对应关系，牢记相关性质即可快速判断，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
4.如图,在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A,在水塔O的东南方向24 m处有一建筑工地B,在A,B间修建一条笔直的供水管道,则管道的长为 (
A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.56 m
A
)A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.56 m
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先根据方向角的定义判断∠AOB的度数：东北方向和东南方向的夹角为90°，因此△AOB是直角三角形，OA、OB为两条直角边，已知两条直角边的长度，运用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是供水管道的长度。
【解析】
解：
∵点A在O的东北方向，点B在O的东南方向，
∴∠AOB = 45°+45°=90°，即△AOB是直角三角形，
又
∵OA=32m，OB=24m，
根据勾股定理可得：
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∴$AB = \sqrt{1600} = 40(m)$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角识别；勾股定理的应用
【点评】
本题是方向角与勾股定理结合的基础应用题，解题核心是先根据方向特征确定直角三角形，再代入勾股定理计算即可，考查知识的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先根据方向角的定义判断∠AOB的度数：东北方向和东南方向的夹角为90°，因此△AOB是直角三角形，OA、OB为两条直角边，已知两条直角边的长度，运用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是供水管道的长度。
【解析】
解：
∵点A在O的东北方向，点B在O的东南方向，
∴∠AOB = 45°+45°=90°，即△AOB是直角三角形，
又
∵OA=32m，OB=24m，
根据勾股定理可得：
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$
∴$AB = \sqrt{1600} = 40(m)$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角识别；勾股定理的应用
【点评】
本题是方向角与勾股定理结合的基础应用题，解题核心是先根据方向特征确定直角三角形，再代入勾股定理计算即可，考查知识的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算中，正确的是（
A.$2\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{a}$
B.$\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{15}÷ 2\sqrt{3}=3\sqrt{45}$
D.$-3\sqrt{3}=\sqrt{27}$
B
）A.$2\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{a}$
B.$\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{15}÷ 2\sqrt{3}=3\sqrt{45}$
D.$-3\sqrt{3}=\sqrt{27}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需逐个分析每个选项，结合二次根式的化简、加减、乘除运算法则分别计算各选项的结果，再和选项给出的结论对比，判断对错即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据二次根式的性质化简，$2\sqrt{\dfrac{a}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2a}}{2}=\sqrt{2a}≠\sqrt{a}$，A错误；
B选项：先将二次根式化为最简二次根式再计算，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，B正确；
C选项：二次根式除法运算中系数和根式分别相除，$6\sqrt{15}÷2\sqrt{3}=(6÷2)×(\sqrt{15}÷\sqrt{3})=3\sqrt{5}≠3\sqrt{45}$，C错误；
D选项：算术平方根的结果为非负数，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠-3\sqrt{3}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查二次根式的性质和基本运算规则，做题时逐一计算每个选项的结果即可快速得出正确答案，注意运算过程中符号和化简的正确性。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题时需逐个分析每个选项，结合二次根式的化简、加减、乘除运算法则分别计算各选项的结果，再和选项给出的结论对比，判断对错即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据二次根式的性质化简，$2\sqrt{\dfrac{a}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2a}}{2}=\sqrt{2a}≠\sqrt{a}$，A错误；
B选项：先将二次根式化为最简二次根式再计算，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，B正确；
C选项：二次根式除法运算中系数和根式分别相除，$6\sqrt{15}÷2\sqrt{3}=(6÷2)×(\sqrt{15}÷\sqrt{3})=3\sqrt{5}≠3\sqrt{45}$，C错误；
D选项：算术平方根的结果为非负数，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠-3\sqrt{3}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查二次根式的性质和基本运算规则，做题时逐一计算每个选项的结果即可快速得出正确答案，注意运算过程中符号和化简的正确性。
【难度系数】
0.8
6.一个蓄水池有水50 m³，打开放水闸门放水，水池中水量和放水时间的关系如下表，下面说法不正确的是（
A.t是自变量，Q为t的函数
B.每分钟放水2 m³
C.放水25 min，水池里的水全部放完
D.水池中水量Q与放水时间t的关系式为$Q=48-2t$
D
）A.t是自变量，Q为t的函数
B.每分钟放水2 m³
C.放水25 min，水池里的水全部放完
D.水池中水量Q与放水时间t的关系式为$Q=48-2t$
答案
6.D
解析
【分析】
这是一道一次函数实际应用类题目，解题思路如下：首先观察表格中放水时间t和水池水量Q的变化规律，确定单位时间的放水量，再结合题干给出的初始蓄水量50m³，推导出Q与t的函数关系式，最后结合函数定义、关系式逐一判断每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
首先分析表格数据：放水时间t每增加1min，水池中水量Q减少2m³，可得每分钟放水量为2m³，已知水池初始蓄水量为50m³，因此水量Q和放水时间t的关系式为$\boldsymbol{Q=50-2t}$。
逐一判断选项：
A. 放水时间t是主动变化的量，为自变量，且每个确定的t值都对应唯一的Q值，符合函数的定义，因此Q是t的函数，该选项表述正确，不符合题意；
B. 由表格数据可知，t每增加1min，Q减少2m³，即每分钟放水2m³，该选项表述正确，不符合题意；
C. 当水池水全部放完时Q=0，代入关系式$Q=50-2t$，得$0=50-2t$，解得$t=25$，即放水25min水全部放完，该选项表述正确，不符合题意；
D. 结合初始水量50m³、每分钟放2m³，可得Q与t的关系式为$Q=50-2t$，选项中的$Q=48-2t$误将t=1时的水量当作初始水量，表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；列一次函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题难度不大，核心是从表格数据中提取变量的变化规律，注意结合题干给出的初始蓄水量推导关系式，不要误把表格中第一个t对应的水量当作初始量，同时要准确理解自变量、函数的基本概念。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数实际应用类题目，解题思路如下：首先观察表格中放水时间t和水池水量Q的变化规律，确定单位时间的放水量，再结合题干给出的初始蓄水量50m³，推导出Q与t的函数关系式，最后结合函数定义、关系式逐一判断每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
首先分析表格数据：放水时间t每增加1min，水池中水量Q减少2m³，可得每分钟放水量为2m³，已知水池初始蓄水量为50m³，因此水量Q和放水时间t的关系式为$\boldsymbol{Q=50-2t}$。
逐一判断选项：
A. 放水时间t是主动变化的量，为自变量，且每个确定的t值都对应唯一的Q值，符合函数的定义，因此Q是t的函数，该选项表述正确，不符合题意；
B. 由表格数据可知，t每增加1min，Q减少2m³，即每分钟放水2m³，该选项表述正确，不符合题意；
C. 当水池水全部放完时Q=0，代入关系式$Q=50-2t$，得$0=50-2t$，解得$t=25$，即放水25min水全部放完，该选项表述正确，不符合题意；
D. 结合初始水量50m³、每分钟放2m³，可得Q与t的关系式为$Q=50-2t$，选项中的$Q=48-2t$误将t=1时的水量当作初始水量，表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；列一次函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题难度不大，核心是从表格数据中提取变量的变化规律，注意结合题干给出的初始蓄水量推导关系式，不要误把表格中第一个t对应的水量当作初始量，同时要准确理解自变量、函数的基本概念。
【难度系数】
0.7
7.用描点法画一次函数图象时,某同学列了如下表格,有一组数据是错误的,这组错误的数据是 (
A.$(1,-1)$
B.$(2,-5)$
C.$(-1,1)$
D.$(-2,3)$
A
)A.$(1,-1)$
B.$(2,-5)$
C.$(-1,1)$
D.$(-2,3)$
答案
7.A
解析
【分析】
一次函数的解析式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），所有在一次函数图象上的点的坐标都满足该解析式。解题时可先选取两组数据，用待定系数法求出k和b，得到函数解析式，再将剩下的两组数据代入解析式验证，不满足解析式的就是错误数据。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
先选取$(-2,3)$和$(-1,1)$两组数据代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 3 \\-k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k = -2$
将$k=-2$代入$-k + b = 1$，得：$2 + b = 1$，解得$b=-1$
因此该一次函数解析式为$y=-2x-1$。
接下来验证剩余两组数据：
1. 当$x=1$时，代入解析式得$y=-2×1 -1 = -3$，与表格中$y=-1$不符，说明该组数据错误；
2. 当$x=2$时，代入解析式得$y=-2×2 -1 = -5$，与表格中$y=-5$一致，说明该组数据正确。
因此错误的数据是$(1,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入验证判断点是否在函数图象上。
【难度系数】
0.7
一次函数的解析式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），所有在一次函数图象上的点的坐标都满足该解析式。解题时可先选取两组数据，用待定系数法求出k和b，得到函数解析式，再将剩下的两组数据代入解析式验证，不满足解析式的就是错误数据。
【解析】
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
先选取$(-2,3)$和$(-1,1)$两组数据代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 3 \\-k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k = -2$
将$k=-2$代入$-k + b = 1$，得：$2 + b = 1$，解得$b=-1$
因此该一次函数解析式为$y=-2x-1$。
接下来验证剩余两组数据：
1. 当$x=1$时，代入解析式得$y=-2×1 -1 = -3$，与表格中$y=-1$不符，说明该组数据错误；
2. 当$x=2$时，代入解析式得$y=-2×2 -1 = -5$，与表格中$y=-5$一致，说明该组数据正确。
因此错误的数据是$(1,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再通过代入验证判断点是否在函数图象上。
【难度系数】
0.7
8. 关于一次函数$y=-(m^2 +1)x -2$，下列结论错误的是（
A.函数图象是一条直线
B.函数图象过定点$(0,-2)$
C.函数图象经过第二、三、四象限
D.当$x＞0$时，$y＞-2$
D
）A.函数图象是一条直线
B.函数图象过定点$(0,-2)$
C.函数图象经过第二、三、四象限
D.当$x＞0$时，$y＞-2$
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先利用平方的非负性确定一次项系数k的符号：m²≥0，因此m²+1恒为正数，可得k=-(m²+1)＜0，已知常数项b=-2＜0，再结合一次函数的相关性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
解：由题意得，
∵m²≥0，
∴m²+1≥1＞0，
∴一次函数的一次项系数k=-(m²+1)＜0，常数项b=-2＜0。
A. 一次函数的图象是一条直线，该结论正确，不符合题意；
B. 将x=0代入函数解析式，得y=-(m²+1)×0 -2=-2，因此函数图象过定点(0,-2)，该结论正确，不符合题意；
C. 一次函数中k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限，该结论正确，不符合题意；
D.
∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，当x=0时y=-2，因此当x＞0时，y＜-2，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题关键是先根据平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合一次函数的图象、增减性等性质逐一判断选项，掌握一次函数系数与图象的对应关系是核心。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的图象与性质，解题思路如下：首先利用平方的非负性确定一次项系数k的符号：m²≥0，因此m²+1恒为正数，可得k=-(m²+1)＜0，已知常数项b=-2＜0，再结合一次函数的相关性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
解：由题意得，
∵m²≥0，
∴m²+1≥1＞0，
∴一次函数的一次项系数k=-(m²+1)＜0，常数项b=-2＜0。
A. 一次函数的图象是一条直线，该结论正确，不符合题意；
B. 将x=0代入函数解析式，得y=-(m²+1)×0 -2=-2，因此函数图象过定点(0,-2)，该结论正确，不符合题意；
C. 一次函数中k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限，该结论正确，不符合题意；
D.
∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，当x=0时y=-2，因此当x＞0时，y＜-2，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题关键是先根据平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合一次函数的图象、增减性等性质逐一判断选项，掌握一次函数系数与图象的对应关系是核心。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90°$,分别以三角形各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当$AC=3,BC=4$时,阴影部分的面积为 (
A.$10π$
B.$6π$
C.6
D.12
C
)A.$10π$
B.$6π$
C.6
D.12
答案
9.C
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积计算问题，直接求解月牙形面积难度较大，可采用割补法转化为规则图形面积计算：①首先根据勾股定理求出斜边AB的长度；②分别计算以AC、BC、AB为直径的三个半圆的面积，结合勾股定理可发现两个小半圆的面积和等于大半圆的面积；③阴影部分面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形ABC的面积，再减去以AB为直径的大半圆的面积，代入后半圆面积可相互抵消，直接得到阴影面积等于三角形面积即可求解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
分别计算三个半圆的面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{8}$
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}π×(\frac{4}{2})^2=2π$
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{8}$
直角三角形$ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$
阴影部分面积为两个小半圆面积加三角形面积减去大半圆面积，即：
$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{△ ABC}-S_3=\frac{9π}{8}+2π+6-\frac{25π}{8}=6$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；半圆面积计算
【点评】
本题为经典的希波克拉底月牙问题，解题核心是利用勾股定理推导三个半圆的面积关系，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的直角三角形面积计算，体现了数学中的转化思想，避开了复杂的曲面面积运算。
【难度系数】
0.7
本题是不规则阴影面积计算问题，直接求解月牙形面积难度较大，可采用割补法转化为规则图形面积计算：①首先根据勾股定理求出斜边AB的长度；②分别计算以AC、BC、AB为直径的三个半圆的面积，结合勾股定理可发现两个小半圆的面积和等于大半圆的面积；③阴影部分面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形ABC的面积，再减去以AB为直径的大半圆的面积，代入后半圆面积可相互抵消，直接得到阴影面积等于三角形面积即可求解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
分别计算三个半圆的面积：
以$AC$为直径的半圆面积：$S_1=\frac{1}{2}π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{8}$
以$BC$为直径的半圆面积：$S_2=\frac{1}{2}π×(\frac{4}{2})^2=2π$
以$AB$为直径的半圆面积：$S_3=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{8}$
直角三角形$ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$
阴影部分面积为两个小半圆面积加三角形面积减去大半圆面积，即：
$S_{阴影}=S_1+S_2+S_{△ ABC}-S_3=\frac{9π}{8}+2π+6-\frac{25π}{8}=6$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；半圆面积计算
【点评】
本题为经典的希波克拉底月牙问题，解题核心是利用勾股定理推导三个半圆的面积关系，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则的直角三角形面积计算，体现了数学中的转化思想，避开了复杂的曲面面积运算。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A_1 $ 的坐标为$(1,2)$,以点 $ O $ 为圆心,$ OA_1 $ 的长为半径画弧,交直线 $ y=\frac{1}{2}x $ 于点 $ B_1 $;过点 $ B_1 $ 作 $ B_1A_2 // y $ 轴交直线 $ y=2x $ 于点 $ A_2 $,以点 $ O $ 为圆心,$ OA_2 $ 的长为半径画弧,交直线 $ y=\frac{1}{2}x $ 于点 $ B_2 $;过点 $ B_2 $ 作 $ B_2A_3 // y $ 轴交直线 $ y=2x $ 于点 $ A_3 $,以点 $ O $ 为圆心,$ OA_3 $ 的长为半径画弧,交直线 $ y=\frac{1}{2}x $ 于点 $ B_3 $……按此规律进行下去,点 $ B_{2025} $ 的坐标为 (
A.$ (2^{2024},2^{2025}) $
B.$ (2^{2023},2^{2024}) $
C.$ (2^{2024},2^{2023}) $
D.$ (2^{2025},2^{2024}) $
D
)A.$ (2^{2024},2^{2025}) $
B.$ (2^{2023},2^{2024}) $
C.$ (2^{2024},2^{2023}) $
D.$ (2^{2025},2^{2024}) $
答案
10.D
解析
【分析】首先从已知的$A_1$坐标出发，按照题目给出的操作步骤，依次计算前几个$B$点的坐标，观察坐标的变化规律，总结出$B_n$的坐标通用表达式，最后将$n=2025$代入表达式即可得到答案。解题时要注意：①平行于$y$轴的直线上所有点横坐标相等；②同圆的半径相等，即$OB_n=OA_n$；③点在函数图像上则坐标满足函数解析式。
【解析】
1. 求$B_1$坐标
已知$A_1(1,2)$，由勾股定理得$OA_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$B_1$在直线$y=\frac{1}{2}x$上，设$B_1(x_1,\frac{1}{2}x_1)$，且$OB_1=OA_1=\sqrt{5}$，则：
$x_1^2+(\frac{1}{2}x_1)^2=(\sqrt{5})^2$，解得$x_1=2$（横坐标为正，舍去负解），$\frac{1}{2}x_1=1$，即$B_1(2,1)$。
2. 求$B_2$坐标
因为$B_1A_2// y$轴，所以$A_2$横坐标与$B_1$相同为2，代入$y=2x$得$A_2$纵坐标为$2×2=4$，即$A_2(2,4)$，$OA_2=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
设$B_2(x_2,\frac{1}{2}x_2)$，$OB_2=OA_2=2\sqrt{5}$，则：
$x_2^2+(\frac{1}{2}x_2)^2=(2\sqrt{5})^2$，解得$x_2=4$，$\frac{1}{2}x_2=2$，即$B_2(4,2)$。
3. 求$B_3$坐标
$B_2A_3// y$轴，$A_3$横坐标为4，代入$y=2x$得纵坐标为$2×4=8$，即$A_3(4,8)$，$OA_3=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
同理可得$B_3(8,4)$。
4. 总结规律
观察得：$B_1(2^1,2^0)$，$B_2(2^2,2^1)$，$B_3(2^3,2^2)$，可推出$B_n$的坐标为$(2^n,2^{n-1})$。
5. 求$B_{2025}$坐标
当$n=2025$时，$2^n=2^{2025}$，$2^{n-1}=2^{2024}$，即$B_{2025}(2^{2025},2^{2024})$。
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标规律，勾股定理
【点评】本题属于规律探究类问题，解题核心是通过计算前几个点的坐标归纳出通用规律，考查学生的逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】0.3
【解析】
1. 求$B_1$坐标
已知$A_1(1,2)$，由勾股定理得$OA_1=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$B_1$在直线$y=\frac{1}{2}x$上，设$B_1(x_1,\frac{1}{2}x_1)$，且$OB_1=OA_1=\sqrt{5}$，则：
$x_1^2+(\frac{1}{2}x_1)^2=(\sqrt{5})^2$，解得$x_1=2$（横坐标为正，舍去负解），$\frac{1}{2}x_1=1$，即$B_1(2,1)$。
2. 求$B_2$坐标
因为$B_1A_2// y$轴，所以$A_2$横坐标与$B_1$相同为2，代入$y=2x$得$A_2$纵坐标为$2×2=4$，即$A_2(2,4)$，$OA_2=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
设$B_2(x_2,\frac{1}{2}x_2)$，$OB_2=OA_2=2\sqrt{5}$，则：
$x_2^2+(\frac{1}{2}x_2)^2=(2\sqrt{5})^2$，解得$x_2=4$，$\frac{1}{2}x_2=2$，即$B_2(4,2)$。
3. 求$B_3$坐标
$B_2A_3// y$轴，$A_3$横坐标为4，代入$y=2x$得纵坐标为$2×4=8$，即$A_3(4,8)$，$OA_3=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
同理可得$B_3(8,4)$。
4. 总结规律
观察得：$B_1(2^1,2^0)$，$B_2(2^2,2^1)$，$B_3(2^3,2^2)$，可推出$B_n$的坐标为$(2^n,2^{n-1})$。
5. 求$B_{2025}$坐标
当$n=2025$时，$2^n=2^{2025}$，$2^{n-1}=2^{2024}$，即$B_{2025}(2^{2025},2^{2024})$。
【答案】D
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标规律，勾股定理
【点评】本题属于规律探究类问题，解题核心是通过计算前几个点的坐标归纳出通用规律，考查学生的逻辑推理能力和归纳总结能力。
【难度系数】0.3
