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17. NEW 新考向·过程性学习 阅读下列文字，并完成证明.
如图,直线AB上有G,K两点,直线CD上有一点H,且H,F,K三点共线,点E在直线AB和直线CD之间,连接EG,EF,∠2=∠3,∠1+∠4=180°.求证:AB//CD.
证明:∵∠2=∠3(已知),
∴HK//EG (
∴∠1=
∵∠1+∠4=180°(已知),
∴
∴AB//CD(
如图,直线AB上有G,K两点,直线CD上有一点H,且H,F,K三点共线,点E在直线AB和直线CD之间,连接EG,EF,∠2=∠3,∠1+∠4=180°.求证:AB//CD.
证明:∵∠2=∠3(已知),
∴HK//EG (
内错角相等,两直线平行
).∴∠1=
$∠ AKH$
(两直线平行,同位角相等
).∵∠1+∠4=180°(已知),
∴
$∠ AKH$
+∠4=180°(等量代换
).∴AB//CD(
同旁内角互补,两直线平行
).答案
17.内错角相等,两直线平行 $∠ AKH$ 两直线平行,同位角相等 $∠ AKH$ 等量代换 同旁内角互补,两直线平行
解析
【分析】
要证明AB//CD，可通过推导AB、CD被第三条直线所截形成的同旁内角互补来完成证明。首先结合已知∠2=∠3先判定相关直线平行，再利用平行线的性质得到角的等量关系，最后结合∠1+∠4=180°转化得到同旁内角互补即可。
第一步：∠2和∠3是直线EG、HK被EF所截形成的内错角，内错角相等可推出两直线平行，得到EG//HK；
第二步：EG和HK平行，被AB所截可得同位角相等，即∠1等于∠AKH；
第三步：将∠1替换为∠AKH代入∠1+∠4=180°，通过等量代换得到∠AKH+∠4=180°，这两个角是AB、CD被KH所截的同旁内角，同旁内角互补即可判定AB//CD。
【解析】
证明:
∵∠2=∠3(已知),
∴HK//EG (内错角相等,两直线平行).
∴∠1= $\boldsymbol{∠AKH}$ (两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠4=180°(已知),
∴ $\boldsymbol{∠AKH}$ +∠4=180°(等量代换).
∴AB//CD(同旁内角互补,两直线平行).
【答案】
内错角相等,两直线平行；∠AKH；两直线平行,同位角相等；∠AKH；等量代换；同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线模块的基础典型题，核心考查平行线判定定理与性质定理的区分与应用，解题关键是准确识别不同截线对应的同位角、内错角、同旁内角，理清角的等量关系与直线平行关系的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明AB//CD，可通过推导AB、CD被第三条直线所截形成的同旁内角互补来完成证明。首先结合已知∠2=∠3先判定相关直线平行，再利用平行线的性质得到角的等量关系，最后结合∠1+∠4=180°转化得到同旁内角互补即可。
第一步：∠2和∠3是直线EG、HK被EF所截形成的内错角，内错角相等可推出两直线平行，得到EG//HK；
第二步：EG和HK平行，被AB所截可得同位角相等，即∠1等于∠AKH；
第三步：将∠1替换为∠AKH代入∠1+∠4=180°，通过等量代换得到∠AKH+∠4=180°，这两个角是AB、CD被KH所截的同旁内角，同旁内角互补即可判定AB//CD。
【解析】
证明:
∵∠2=∠3(已知),
∴HK//EG (内错角相等,两直线平行).
∴∠1= $\boldsymbol{∠AKH}$ (两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠4=180°(已知),
∴ $\boldsymbol{∠AKH}$ +∠4=180°(等量代换).
∴AB//CD(同旁内角互补,两直线平行).
【答案】
内错角相等,两直线平行；∠AKH；两直线平行,同位角相等；∠AKH；等量代换；同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线模块的基础典型题，核心考查平行线判定定理与性质定理的区分与应用，解题关键是准确识别不同截线对应的同位角、内错角、同旁内角，理清角的等量关系与直线平行关系的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
18.如图,已知$AB// CD$,点E在直线CD上,BE与AD相交于点G,$∠C=∠ABE$.
(1)求证:$AC// BE$.
(2)若$∠C=65°,AD⊥BE$,求$∠ADC$的度数.
(1)求证:$AC// BE$.
(2)若$∠C=65°,AD⊥BE$,求$∠ADC$的度数.
答案
18.解:(1)证明:$AB// CD,\therefore ∠ FAB=∠ C.$ 又 $\because ∠ C=∠ ABE,\therefore ∠ FAB=∠ ABE.\therefore AC// BE.$ (2)$\because AD⊥ BE,\therefore ∠ EGD=90°.\because AC// BE,\therefore ∠ CAD=∠ EGD=90°.\because ∠ CAD+∠ C+∠ ADC=180°,\therefore ∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-65°-90°=25°.$
解析
【分析】
(1) 要证明$AC//BE$，需通过角的等量关系推导平行线判定条件。首先利用已知$AB//CD$的性质得到同位角相等，再结合题目给出的$∠ C=∠ ABE$做等量代换，得到内错角相等，即可推出两直线平行。
(2) 求$∠ ADC$的度数可借助三角形内角和计算：已知$∠ C=65°$，只需求出$∠ CAD$的度数。先由$AD⊥ BE$得到直角，再结合第一问证得的$AC//BE$，利用平行线性质得到$∠ CAD$为直角，最后代入三角形内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB//CD$，$\therefore ∠ FAB=∠ C$。
又$\because ∠ C=∠ ABE$，$\therefore ∠ FAB=∠ ABE$，
$\therefore AC//BE$。
(2) 解：$\because AD⊥ BE$，$\therefore ∠ EGD=90°$。
$\because AC//BE$，$\therefore ∠ CAD=∠ EGD=90°$。
$\because ∠ CAD+∠ C+∠ ADC=180°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-65°-90°=25°$。
【答案】
(1) 已证$AC//BE$；(2) $∠ ADC=25°$
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形内角和定理、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行线判定、性质的综合运用，解题时需结合已知条件逐步推导角的等量关系，对基础逻辑推理能力有一定要求，掌握平行线相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC//BE$，需通过角的等量关系推导平行线判定条件。首先利用已知$AB//CD$的性质得到同位角相等，再结合题目给出的$∠ C=∠ ABE$做等量代换，得到内错角相等，即可推出两直线平行。
(2) 求$∠ ADC$的度数可借助三角形内角和计算：已知$∠ C=65°$，只需求出$∠ CAD$的度数。先由$AD⊥ BE$得到直角，再结合第一问证得的$AC//BE$，利用平行线性质得到$∠ CAD$为直角，最后代入三角形内角和公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB//CD$，$\therefore ∠ FAB=∠ C$。
又$\because ∠ C=∠ ABE$，$\therefore ∠ FAB=∠ ABE$，
$\therefore AC//BE$。
(2) 解：$\because AD⊥ BE$，$\therefore ∠ EGD=90°$。
$\because AC//BE$，$\therefore ∠ CAD=∠ EGD=90°$。
$\because ∠ CAD+∠ C+∠ ADC=180°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-65°-90°=25°$。
【答案】
(1) 已证$AC//BE$；(2) $∠ ADC=25°$
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形内角和定理、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行线判定、性质的综合运用，解题时需结合已知条件逐步推导角的等量关系，对基础逻辑推理能力有一定要求，掌握平行线相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
19. 图1为北斗七星的位置图，如图2，将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G，将A,B,C,D,E,F首尾顺次连接，AF恰好经过点G，且点B,G,C在同一条直线上. 已知AF//DE，∠B=∠C+9°，∠CDE=∠E=105°.
(1)求∠F的度数.
(2)计算∠B−∠CGF的度数是
(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC//AD？请说明理由.
(1)求∠F的度数.
(2)计算∠B−∠CGF的度数是
$114°$
.(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC//AD？请说明理由.
答案
19.解:(1)$\because AF// DE,\therefore ∠ F+∠ E=180°.\therefore ∠ F=180°-105°=75°.$ (2)$114°$ (3)当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时,$BC// AD$.理由:$\because AF// DE,\therefore ∠ GAD+∠ ADE=180°.\because ∠ ADE+∠ CGF=180°,\therefore ∠ GAD=∠ CGF.\therefore BC// AD.$
解析
【分析】
(1) 已知AF//DE，要求∠F的度数，可直接利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠E的度数进行计算。
(2) 要求∠B−∠CGF的度数，先通过平行线的性质推导∠C与∠CGF的关系，再结合已知∠B=∠C+9°，消去∠C即可得到两角的差值。
(3) 要判定BC//AD，结合AF//DE的已知条件，利用平行线的性质和判定定理，即可推导得出∠ADE与∠CGF需要满足的数量关系。
【解析】
(1) $\because AF// DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ F+∠ E=180°$。
已知$∠ E=105°$，$\therefore ∠ F=180°-105°=75°$。
(2) 过点C作$CH// AF$，$\because AF// DE$，$\therefore CH// AF// DE$。
由两直线平行，内错角相等得$∠ HCG=∠ CGF$；由两直线平行，同旁内角互补得$∠ HCD+∠ CDE=180°$。
已知$∠ CDE=105°$，$\therefore ∠ HCD=180°-105°=75°$，结合$∠ B=∠ C+9°$，可推导得$∠ B-∠ CGF=114°$。
(3) 当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$。
理由：$\because AF// DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ GAD+∠ ADE=180°$。
又$\because ∠ ADE+∠ CGF=180°$，$\therefore ∠ GAD=∠ CGF$（同角的补角相等）。
根据同位角相等，两直线平行，可得$BC// AD$。
【答案】
(1)$75°$；(2)$114°$；(3)当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；补角的性质
【点评】
本题结合北斗七星的生活背景考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时需要熟练掌握平行线的角的关系，结合已知条件合理推导角的等量关系，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 已知AF//DE，要求∠F的度数，可直接利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠E的度数进行计算。
(2) 要求∠B−∠CGF的度数，先通过平行线的性质推导∠C与∠CGF的关系，再结合已知∠B=∠C+9°，消去∠C即可得到两角的差值。
(3) 要判定BC//AD，结合AF//DE的已知条件，利用平行线的性质和判定定理，即可推导得出∠ADE与∠CGF需要满足的数量关系。
【解析】
(1) $\because AF// DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ F+∠ E=180°$。
已知$∠ E=105°$，$\therefore ∠ F=180°-105°=75°$。
(2) 过点C作$CH// AF$，$\because AF// DE$，$\therefore CH// AF// DE$。
由两直线平行，内错角相等得$∠ HCG=∠ CGF$；由两直线平行，同旁内角互补得$∠ HCD+∠ CDE=180°$。
已知$∠ CDE=105°$，$\therefore ∠ HCD=180°-105°=75°$，结合$∠ B=∠ C+9°$，可推导得$∠ B-∠ CGF=114°$。
(3) 当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$。
理由：$\because AF// DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ GAD+∠ ADE=180°$。
又$\because ∠ ADE+∠ CGF=180°$，$\therefore ∠ GAD=∠ CGF$（同角的补角相等）。
根据同位角相等，两直线平行，可得$BC// AD$。
【答案】
(1)$75°$；(2)$114°$；(3)当$∠ ADE+∠ CGF=180°$时，$BC// AD$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；补角的性质
【点评】
本题结合北斗七星的生活背景考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时需要熟练掌握平行线的角的关系，结合已知条件合理推导角的等量关系，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
