8. 如图，$∠ B = 50°$，$CG$ 平分 $∠ DCF$，$∠ DCG = 65°$. 求证：$AB // EF$.

8.证明:$\because CG$ 平分 $∠ DCF,∠ DCG=65°,\therefore ∠ DCF=2∠ DCG=130°.\therefore ∠ BCE=∠ DCF=130°.\because ∠ B=50°,\therefore ∠ B+∠ BCE=180°.\therefore AB// EF.$

【分析】
要证明AB//EF，可利用“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理推导。观察图形可知AB、EF被直线BD所截，形成同旁内角∠B和∠BCE，我们只需证明这两个角的和为180°即可：首先根据角平分线的定义，由CG平分∠DCF、∠DCG=65°求出∠DCF的度数，再利用对顶角相等的性质得到∠BCE的度数，最后计算∠B与∠BCE的和，验证是否满足互补的条件即可。
【解析】
证明：
∵ CG平分∠DCF，∠DCG=65°，
∴ ∠DCF=2∠DCG=130°，
∵ ∠BCE与∠DCF是对顶角，
∴ ∠BCE=∠DCF=130°，
∵ ∠B=50°，
∴ ∠B+∠BCE=50°+130°=180°，
∴ AB//EF（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
证明:$\because CG$ 平分 $∠ DCF,∠ DCG=65°,\therefore ∠ DCF=2∠ DCG=130°.\therefore ∠ BCE=∠ DCF=130°.\because ∠ B=50°,\therefore ∠ B+∠ BCE=180°.\therefore AB// EF.$
【知识点】
角平分线的定义，对顶角的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于基础的平行线证明题型，解题的核心是结合已知条件，借助角平分线、对顶角的性质得到平行线判定所需的角度关系，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$a// b$，$∠ 1=60°$，则$∠ 2$的度数为（）

A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$

9.D

【分析】
解题时首先观察已知条件：直线a平行于b，已知∠1的度数，要求∠2的度数。首先回忆平行线的性质，两直线平行时同位角、内错角相等，同旁内角互补；其次观察角的位置关系，先找到与∠1是同位角、且与∠2互为邻补角的角，先通过平行线性质得到该角的度数，再结合邻补角的和为180°即可计算出∠2的度数。
【解析】
设与∠1为同位角、且与∠2相邻的角为∠3。
∵ $a// b$，
∴ $∠ 3 = ∠ 1 = 60°$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ 2$与$∠ 3$互为邻补角，即$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$，
∴ $∠ 2 = 180° - ∠ 3 = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别同位角、邻补角的位置关系，结合相关性质即可快速求解，是几何基础类的常规题型。
【难度系数】
0.9

10.如图，$l_1 // l_2$，$l_3 // l_4$。若$∠ 1=70°$，则$∠ 2$的度数为（）

A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$

10.B

【分析】
解题时首先观察已知条件：两组直线分别平行，已知∠1的度数求∠2，需结合平行线的性质推导角的数量关系。第一步先利用$l_1 // l_2$的性质，将∠1的度数转移到与$l_1$相交形成的同位角上；第二步再利用$l_3 // l_4$的性质，得到该同位角与∠2互补，进而计算出∠2的度数。
【解析】
设$l_1$与$l_3$相交所形成的与∠1同位的角为∠3。
∵ $ l_1 // l_2 $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ 3 = ∠ 1 = 70° $。
又
∵ $ l_3 // l_4 $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ 2 + ∠ 3 = 180° $。
代入∠3的度数计算：$ ∠ 2 = 180° - 70° = 110° $。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平行线中同位角、同旁内角的数量关系，通过角的转移建立已知角和未知角的联系即可求解。
【难度系数】
0.85

11. 将两个完全相同的三角板按如图所示的方式放置，其中$∠ CAB=∠ DAB=30°$. 若直线$l_1 // l_2$，则图中$∠ 1$的度数为 （）

A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$

11.C

【分析】
解题时先从已知条件出发：首先两个三角板是完全相同的含30°角的直角三角板，可先求出三角板中60°的锐角；再结合$l_1 // l_2$、$BC ⊥ l_2$的条件，利用平行线的性质得到$l_1$与$BC$垂直，进而求出$l_1$与$AB$的夹角度数；最后利用三角形外角的性质，就能求出$∠ 1$的度数。
【解析】
设直线$l_1$与$AB$交于点$E$。
1. 由题意得，$△ ADB$和$△ ACB$是完全相同的直角三角板，$∠ D=∠ ACB=90°$，$∠ DAB=∠ CAB=30°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ ABC=∠ ABD=90°-30°=60°$。
2. 因为$l_1 // l_2$，$BC ⊥ l_2$，根据“垂直于平行线中一条直线的直线，也垂直于另一条直线”，可得$BC ⊥ l_1$，即$l_1$与$BC$的夹角为$90°$。
3. 由此可得$l_1$与$AB$的夹角$∠ AED=90°-∠ ABC=90°-60°=30°$，也可由$l_1 // l_2$，内错角相等得$∠ AED=∠ CAB=30°$，结果一致。
4. $∠ 1$是$△ ADE$的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$∠ 1=∠ DAB + ∠ AED=30°+30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过平行线、直角三角形的性质实现角度的转化，是平行线和三角形角度计算结合的典型习题，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

12.(教材P198复习题T10变式)如图所示,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,$∠1=∠2=50°,∠4=∠5$,则$∠3$的度数为（）

A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$120°$

12.A

【分析】
解题时首先明确两个平面镜是平行关系，根据平行线的内错角相等性质，可得到∠2与∠4相等，结合已知∠2的度数求出∠4的度数；再根据题目给出的∠4=∠5，得到∠5的度数；最后利用平角为180°的性质，可知∠4、∠3、∠5之和为180°，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵两个平面镜平行放置，
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
已知∠2=50°，
∴∠4=50°，
又
∵∠4=∠5，
∴∠5=50°，
根据平角的定义，∠4+∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-50°-50°=80°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题结合平面镜反射的实际场景考查基础几何知识，解题的突破口是利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合平角的定义计算未知角，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在$△ ABC$中,$DE// AB$,$DF// AC$,$∠ A=72°$,则$∠ EDF$的度数是 ()

A.$36°$
B.$40°$
C.$72°$
D.$60°$

13.C

【分析】
拿到这道题先梳理已知条件：题目给出两组平行线$DE//AB$、$DF//AC$，且已知$∠ A=72°$，要求$∠ EDF$的度数。我们可以从两个方向思考：一是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对角相等，$∠ A$和$∠ EDF$刚好是平行四边形的一组对角，可直接推导角度；二是借助平行线的同位角、内错角相等的性质，逐步传递角度关系，最终求出$∠ EDF$的度数。
【解析】
∵ $DE//AB$，$DF//AC$
∴ 四边形$AFDE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
根据平行四边形对角相等的性质，可得：
$∠ EDF=∠ A$
又
∵ $∠ A=72°$
∴ $∠ EDF=72°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查平行线和平行四边形的基础性质，解题时可以灵活选择推导方法，熟练掌握相关概念即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9

14.随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴.
如图所示，仿生机器狗平稳站立时，$AB // CD$，$∠ ABE=∠ CDE=140°$，此时$∠ BED$的度数为.

14.$80°$

【分析】
本题是平行线背景下的角度计算问题，遇到平行线间存在拐点的题型，通用解题思路是过拐点作已知平行线的辅助线，构造符合平行线性质的角关系求解。首先过点E作EF//AB，根据平行公理的推论可得EF同时平行于CD，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别计算∠BEF和∠DEF的度数，二者相加即为∠BED的度数。
【解析】
过点E作$EF // AB$，
$\because AB // CD$（已知），
$\therefore EF // CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because AB // EF$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
将$∠ ABE=140°$代入得：$∠ BEF = 180° - 140° = 40°$。
同理，$\because CD // EF$，
$\therefore ∠ CDE + ∠ DEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
将$∠ CDE=140°$代入得：$∠ DEF = 180° - 140° = 40°$。
$\therefore ∠ BED = ∠ BEF + ∠ DEF = 40° + 40° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、角度计算
【点评】
本题是平行线相关的基础常考题，重点考察平行线间拐点问题的辅助线构造方法，熟练掌握平行线的性质和辅助线技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7

15. 如图，$AB// CD$，$∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ D$. 求证：$BE⊥ DE$.

15.证明:$\because ∠ 1=∠ B,∠ 2=∠ D,\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}(180°-∠ A),∠ 2=\frac{1}{2}(180°-∠ C).\therefore ∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(180°-∠ A)+\frac{1}{2}(180°-∠ C)=180°-\frac{1}{2}(∠ A+∠ C).\because AB// CD,\therefore ∠ A+∠ C=180°.\therefore ∠ 1+∠ 2=180°-\frac{1}{2}(∠ A+∠ C)=180°-90°=90°.$$\therefore ∠ BED=180°-(∠ 1+∠ 2)=90°,$即 $BE⊥ DE.$

【分析】
要证明$BE⊥DE$，本质是证明$∠BED=90°$。解题思路如下：①首先利用三角形内角和为$180°$的性质，结合已知$∠1=∠B$、$∠2=∠D$，分别用$∠A$和$∠C$表示出$∠1$和$∠2$；②再根据$AB// CD$的性质，得到同旁内角$∠A$和$∠C$互补，即$∠A+∠C=180°$；③代入计算$∠1+∠2$的度数，最后利用平角为$180°$求出$∠BED$的度数，即可判断垂直关系。
【解析】
证明:
$\because ∠1=∠B,∠2=∠D$,
$\therefore ∠1=\frac{1}{2}(180°-∠A),∠2=\frac{1}{2}(180°-∠C)$.
$\therefore ∠1+∠2=\frac{1}{2}(180°-∠A)+\frac{1}{2}(180°-∠C)=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠C)$.
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠A+∠C=180°$.
$\therefore ∠1+∠2=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠C)=180°-90°=90°$.
$\therefore ∠BED=180°-(∠1+∠2)=90°$,即$BE⊥DE$.
【答案】
$BE⊥DE$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；垂直的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是明确待证垂直本质是证90°角，结合三角形内角和、平行线的同旁内角互补性质逐步推导角度关系即可得证，属于几何综合的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

16.(2024·呼和浩特)如图,直线$l_1$和$l_2$被直线$l_3$和$l_4$所截,$∠1=∠2=130°,∠3=75°$,则$∠4$的度数为 ()

A.$75°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$130°$

16.B

【分析】
解题时首先观察已知角的位置关系，先利用∠1和∠2相等的条件，结合对顶角相等推出同位角相等，判定直线$l_1$和$l_2$平行；再根据平行线的性质得到对应角的等量关系，结合邻补角的性质即可计算出∠4的度数。
【解析】
∵对顶角相等，
∴∠2的对顶角$=∠2=130°$，
又
∵$∠1=130°$，
∴$∠1=∠2$的对顶角，二者是直线$l_1$、$l_2$被$l_3$所截的同位角，
∴$l_1// l_2$（同位角相等，两直线平行）。
∵$l_1// l_2$，直线$l_4$截$l_1$、$l_2$，
∴与∠3为内错角的角的度数为$75°$（两直线平行，内错角相等），该角与∠4互为邻补角，
∴$∠4=180°-75°=105°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用类题目，解题的核心是先通过角的数量关系判断直线平行，再利用平行线的角度关系求解未知角，熟练掌握平行线的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7