登录
1. 下列命题中,是定理的是（
A.对顶角相等
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.三边分别相等的两个三角形全等
A
）A.对顶角相等
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.三边分别相等的两个三角形全等
答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确公理（基本事实）和定理的核心区别：公理是长期实践总结得到、无需证明的真命题，是证明其他命题的原始依据；定理是通过逻辑推理被证明为正确的真命题。我们只需逐一判断每个选项属于公理还是定理，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 基本事实（公理）：公认的真命题，无需证明，直接作为证明其他命题的出发点；
2. 定理：从基本事实或其他真命题出发，经逻辑推理证明为真的命题。
逐个分析选项：
A. 对顶角相等：可通过“同角的补角相等”推理证明，属于定理；
B. 两点确定一条直线：是实践总结的基本事实，属于公理，不符合要求；
C. 两点之间线段最短：是实践总结的基本事实，属于公理，不符合要求；
D. 三边分别相等的两个三角形全等（SSS判定）：是教材规定的基本事实，属于公理，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 定理与公理的区分
2. 常见几何基本事实
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对公理和定理定义的理解，需要准确记忆教材中列出的基本事实，避免将公理和已证明的定理混淆。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确公理（基本事实）和定理的核心区别：公理是长期实践总结得到、无需证明的真命题，是证明其他命题的原始依据；定理是通过逻辑推理被证明为正确的真命题。我们只需逐一判断每个选项属于公理还是定理，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 基本事实（公理）：公认的真命题，无需证明，直接作为证明其他命题的出发点；
2. 定理：从基本事实或其他真命题出发，经逻辑推理证明为真的命题。
逐个分析选项：
A. 对顶角相等：可通过“同角的补角相等”推理证明，属于定理；
B. 两点确定一条直线：是实践总结的基本事实，属于公理，不符合要求；
C. 两点之间线段最短：是实践总结的基本事实，属于公理，不符合要求；
D. 三边分别相等的两个三角形全等（SSS判定）：是教材规定的基本事实，属于公理，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 定理与公理的区分
2. 常见几何基本事实
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对公理和定理定义的理解，需要准确记忆教材中列出的基本事实，避免将公理和已证明的定理混淆。
【难度系数】
0.7
2. 对于命题“如果$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，那么$∠ 1 = ∠ 2$”，能说明它是假命题的反例是（
A.$∠ 1 = 62°, ∠ 2 = 38°$
B.$∠ 1 = ∠ 2 = 40°$
C.$∠ 1 = 70°, ∠ 2 = 20°$
D.$∠ 1 = ∠ 2 = 45°$
C
）A.$∠ 1 = 62°, ∠ 2 = 38°$
B.$∠ 1 = ∠ 2 = 40°$
C.$∠ 1 = 70°, ∠ 2 = 20°$
D.$∠ 1 = ∠ 2 = 45°$
答案
2.C
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件（即∠1+∠2=90°），但不满足命题的结论（即∠1≠∠2）。解题时先逐一验证各选项中两个角的和是否为90°，再判断两个角是否不相等，符合这两个要求的就是正确反例。
【解析】
反例需同时满足两个条件：①满足命题的题设：∠1+∠2=90°；②不满足命题的结论：∠1≠∠2。
选项A：∠1+∠2=62°+38°=100°≠90°，不满足题设，不符合要求；
选项B：∠1+∠2=40°+40°=80°≠90°，不满足题设，不符合要求；
选项C：∠1+∠2=70°+20°=90°，满足题设，且∠1≠∠2，不满足结论，是能说明原命题为假命题的反例；
选项D：∠1+∠2=45°+45°=90°，满足题设，且∠1=∠2，满足原命题的结论，不是反例。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
假命题的判断；余角的概念
【点评】
本题核心是掌握假命题反例的判定标准，即反例要符合命题的已知条件，但不符合命题的最终结论，牢记这一判断逻辑就能快速准确完成这类题目。
【难度系数】
0.85
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要满足命题的条件（即∠1+∠2=90°），但不满足命题的结论（即∠1≠∠2）。解题时先逐一验证各选项中两个角的和是否为90°，再判断两个角是否不相等，符合这两个要求的就是正确反例。
【解析】
反例需同时满足两个条件：①满足命题的题设：∠1+∠2=90°；②不满足命题的结论：∠1≠∠2。
选项A：∠1+∠2=62°+38°=100°≠90°，不满足题设，不符合要求；
选项B：∠1+∠2=40°+40°=80°≠90°，不满足题设，不符合要求；
选项C：∠1+∠2=70°+20°=90°，满足题设，且∠1≠∠2，不满足结论，是能说明原命题为假命题的反例；
选项D：∠1+∠2=45°+45°=90°，满足题设，且∠1=∠2，满足原命题的结论，不是反例。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
假命题的判断；余角的概念
【点评】
本题核心是掌握假命题反例的判定标准，即反例要符合命题的已知条件，但不符合命题的最终结论，牢记这一判断逻辑就能快速准确完成这类题目。
【难度系数】
0.85
3. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果……那么……”的形式：.
.
.
答案
3.如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等
解析
【分析】
将命题改写成“如果……那么……”的形式，核心是先拆分原命题的题设（已知条件）和结论（由条件推出的结果）。原命题“全等三角形的对应角相等”中，已知条件是“两个三角形全等”，推导得出的结果是“这两个三角形的对应角相等”，按照“如果+题设，那么+结论”的格式整理，保证语句通顺、不改变原命题含义即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的组成部分，题设为“两个三角形全等”，结论为“这两个三角形的对应角相等”；
第二步：按照“如果……那么……”的规范格式组合题设和结论，得到改写后的命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等。
【答案】
如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等
【知识点】
1. 命题的结构
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查命题改写的方法，解题关键是准确区分命题的条件和结论，改写时要注意语句表述完整通顺，不能改变原命题的本意。
【难度系数】
0.9
将命题改写成“如果……那么……”的形式，核心是先拆分原命题的题设（已知条件）和结论（由条件推出的结果）。原命题“全等三角形的对应角相等”中，已知条件是“两个三角形全等”，推导得出的结果是“这两个三角形的对应角相等”，按照“如果+题设，那么+结论”的格式整理，保证语句通顺、不改变原命题含义即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的组成部分，题设为“两个三角形全等”，结论为“这两个三角形的对应角相等”；
第二步：按照“如果……那么……”的规范格式组合题设和结论，得到改写后的命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等。
【答案】
如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应角相等
【知识点】
1. 命题的结构
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查命题改写的方法，解题关键是准确区分命题的条件和结论，改写时要注意语句表述完整通顺，不能改变原命题的本意。
【难度系数】
0.9
4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为:丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而乙不比丙大.请你判断谁的年龄最小
（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
（
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先将题目中描述年龄关系的文字语言转化为用不等号表示的数学式子，再通过公共的中间量将所有不等关系串联起来，得到五人的年龄大小排序，即可直接判断出年龄最小的人。
【解析】
我们先逐个翻译题干的年龄关系：
1. 由“丙没有丁大”，可得：$\boxed{丙 ＜ 丁}$；
2. 由“乙比甲大”，可得：$\boxed{甲 ＜ 乙}$；
3. 由“戊不比丁小”，可得：$\boxed{丁 ≤ 戊}$；
4. 由“乙不比丙大”，可得：$\boxed{乙 ≤ 丙}$。
将上述不等关系串联，可得到五人年龄排序：$\boldsymbol{甲 ＜ 乙 ≤ 丙 ＜ 丁 ≤ 戊}$。
由此可知年龄最小的是甲。
【答案】
A
【知识点】
1. 逻辑推理 2. 不等关系表示
【点评】
本题是基础的逻辑推理类题型，解题核心是准确将文字描述转化为对应的不等关系，再串联得到完整的大小排序即可，难度较低，细心梳理条件就不会出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先将题目中描述年龄关系的文字语言转化为用不等号表示的数学式子，再通过公共的中间量将所有不等关系串联起来，得到五人的年龄大小排序，即可直接判断出年龄最小的人。
【解析】
我们先逐个翻译题干的年龄关系：
1. 由“丙没有丁大”，可得：$\boxed{丙 ＜ 丁}$；
2. 由“乙比甲大”，可得：$\boxed{甲 ＜ 乙}$；
3. 由“戊不比丁小”，可得：$\boxed{丁 ≤ 戊}$；
4. 由“乙不比丙大”，可得：$\boxed{乙 ≤ 丙}$。
将上述不等关系串联，可得到五人年龄排序：$\boldsymbol{甲 ＜ 乙 ≤ 丙 ＜ 丁 ≤ 戊}$。
由此可知年龄最小的是甲。
【答案】
A
【知识点】
1. 逻辑推理 2. 不等关系表示
【点评】
本题是基础的逻辑推理类题型，解题核心是准确将文字描述转化为对应的不等关系，再串联得到完整的大小排序即可，难度较低，细心梳理条件就不会出错。
【难度系数】
0.9
5.观察下列各式：$4=2^2 - 0^2$；$8=3^2 - 1^2$；$12=4^2 - 2^2$；$16=5^2 - 3^2$；…
你能否得到结论“所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差”？请说明理由。
你能否得到结论“所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差”？请说明理由。
答案
5.解:能.理由如下:设这两个自然数分别为 $k+1,k-1$($k$ 为正整数). $\because(k+1)^2-(k-1)^2=k^2+2k+1-(k^2-2k+1)=k^2+2k+1-k^2+2k-1=4k,\therefore$ 结论成立.
解析
【分析】
观察已知等式可发现，等式左侧都是4的正整数倍，右侧是两个相差为2的自然数的平方差。要验证所有能被4整除的偶数都可表示为两个自然数的平方差，我们可以用字母表示一般情况：先将能被4整除的偶数写为4k（k为正整数），再设两个自然数分别为k+1和k-1，通过展开计算两数的平方差，验证结果是否等于4k，同时确认两个数为自然数即可得出结论。
【解析】
解：能得到该结论，理由如下：
设k为正整数，两个自然数分别为$k+1$和$k-1$。
展开计算两数的平方差：
$\begin{aligned}(k+1)^2-(k-1)^2&=k^2+2k+1-(k^2-2k+1)\\&=k^2+2k+1-k^2+2k-1\\&=4k\end{aligned}$
4k是能被4整除的偶数，且$k+1$、$k-1$均为自然数，因此所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差。
【答案】
能，理由：设两个自然数分别为$k+1$、$k-1$（$k$为正整数），则$(k+1)^2-(k-1)^2=4k$，故所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差。
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 整式化简 3. 规律探究
【点评】
本题从特殊等式出发考查归纳推理能力，需要学生结合已知规律抽象出一般代数形式，再通过整式运算验证结论，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.6
观察已知等式可发现，等式左侧都是4的正整数倍，右侧是两个相差为2的自然数的平方差。要验证所有能被4整除的偶数都可表示为两个自然数的平方差，我们可以用字母表示一般情况：先将能被4整除的偶数写为4k（k为正整数），再设两个自然数分别为k+1和k-1，通过展开计算两数的平方差，验证结果是否等于4k，同时确认两个数为自然数即可得出结论。
【解析】
解：能得到该结论，理由如下：
设k为正整数，两个自然数分别为$k+1$和$k-1$。
展开计算两数的平方差：
$\begin{aligned}(k+1)^2-(k-1)^2&=k^2+2k+1-(k^2-2k+1)\\&=k^2+2k+1-k^2+2k-1\\&=4k\end{aligned}$
4k是能被4整除的偶数，且$k+1$、$k-1$均为自然数，因此所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差。
【答案】
能，理由：设两个自然数分别为$k+1$、$k-1$（$k$为正整数），则$(k+1)^2-(k-1)^2=4k$，故所有能被4整除的偶数都可以表示为两个自然数的平方差。
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 整式化简 3. 规律探究
【点评】
本题从特殊等式出发考查归纳推理能力，需要学生结合已知规律抽象出一般代数形式，再通过整式运算验证结论，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.6
6.如图，下列条件中，能判定$AD// BE$的是（
A.$∠ 1=∠ 3$
B.$∠ B=∠ 4$
C.$∠ D=∠ 5$
D.$∠ 2=∠ E$
D
）A.$∠ 1=∠ 3$
B.$∠ B=∠ 4$
C.$∠ D=∠ 5$
D.$∠ 2=∠ E$
答案
6.D
解析
【分析】
要判定$AD// BE$，需依据平行线的判定定理，找到$AD$、$BE$被第三条直线所截形成的相等的同位角、内错角，或互补的同旁内角。解题时需逐个分析选项中的两个角是哪两条直线被哪条截线所截得到的，判断其相等时能否推出$AD// BE$即可。
【解析】
A. $∠ 1$与$∠ 3$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的内错角，若$∠ 1=∠ 3$，可判定$AB// CD$，不符合题意；
B. $∠ B$与$∠ 4$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同位角，若$∠ B=∠ 4$，可判定$AB// CD$，不符合题意；
C. $∠ D$与$∠ 5$不是直线$AD$、$BE$被截形成的同位角或内错角，$∠ D=∠ 5$无法判定$AD// BE$，不符合题意；
D. $∠ 2$与$∠ E$是直线$AD$、$BE$被直线$AE$所截的内错角，若$∠ 2=∠ E$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AD// BE$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的核心是准确区分不同角对应的截线和被截直线，避免因混淆角的位置关系错选答案。
【难度系数】
0.7
要判定$AD// BE$，需依据平行线的判定定理，找到$AD$、$BE$被第三条直线所截形成的相等的同位角、内错角，或互补的同旁内角。解题时需逐个分析选项中的两个角是哪两条直线被哪条截线所截得到的，判断其相等时能否推出$AD// BE$即可。
【解析】
A. $∠ 1$与$∠ 3$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的内错角，若$∠ 1=∠ 3$，可判定$AB// CD$，不符合题意；
B. $∠ B$与$∠ 4$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同位角，若$∠ B=∠ 4$，可判定$AB// CD$，不符合题意；
C. $∠ D$与$∠ 5$不是直线$AD$、$BE$被截形成的同位角或内错角，$∠ D=∠ 5$无法判定$AD// BE$，不符合题意；
D. $∠ 2$与$∠ E$是直线$AD$、$BE$被直线$AE$所截的内错角，若$∠ 2=∠ E$，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AD// BE$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的核心是准确区分不同角对应的截线和被截直线，避免因混淆角的位置关系错选答案。
【难度系数】
0.7
7.如图，已知直线$EF⊥MN$，垂足为$F$，且$∠1=140°$，则当$∠2=$
$50°$
时，$AB// CD$. 答案
7.$50°$
解析
【分析】
要使$AB// CD$，需满足两条直线被$MN$所截的同位角相等，我们可逆向推导所需的角的数量关系：①先根据邻补角的性质，由$∠ 1$的度数求出$AB// CD$时对应的同位角的度数；②再结合$EF⊥ MN$得到的直角，用直角减去同位角的度数即可求出$∠ 2$的大小。
【解析】
1. 求$∠ 1$的邻补角度数：
$∠ 1$与$∠ DFN$互为邻补角，根据平角为$180°$，可得：
$∠ DFN=180°-∠ 1=180°-140°=40°$
2. 结合平行线的性质求$∠ BFN$：
若$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ BFN=∠ DFN=40°$
3. 结合垂直的定义求$∠ 2$：
已知$EF⊥ MN$，所以$∠ EFN=90°$，即$∠ 2+∠ BFN=90°$，代入$∠ BFN=40°$得：
$∠ 2=90°-40°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线性质与角度计算的结合题型，解题时可从结论出发逆向寻找满足平行的角度条件，再结合已知角度计算，注意找准两条平行直线被截线所形成的对应同位角。
【难度系数】
0.7
要使$AB// CD$，需满足两条直线被$MN$所截的同位角相等，我们可逆向推导所需的角的数量关系：①先根据邻补角的性质，由$∠ 1$的度数求出$AB// CD$时对应的同位角的度数；②再结合$EF⊥ MN$得到的直角，用直角减去同位角的度数即可求出$∠ 2$的大小。
【解析】
1. 求$∠ 1$的邻补角度数：
$∠ 1$与$∠ DFN$互为邻补角，根据平角为$180°$，可得：
$∠ DFN=180°-∠ 1=180°-140°=40°$
2. 结合平行线的性质求$∠ BFN$：
若$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ BFN=∠ DFN=40°$
3. 结合垂直的定义求$∠ 2$：
已知$EF⊥ MN$，所以$∠ EFN=90°$，即$∠ 2+∠ BFN=90°$，代入$∠ BFN=40°$得：
$∠ 2=90°-40°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线性质与角度计算的结合题型，解题时可从结论出发逆向寻找满足平行的角度条件，再结合已知角度计算，注意找准两条平行直线被截线所形成的对应同位角。
【难度系数】
0.7
