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1.(1)问题发现:如图1,直线AB//CD,连接BE,CE,可以发现∠BEC=∠B+∠C.
请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点E作EF//AB.
∴∠B=∠BEF(
∵AB//CD(已知),
∴EF//CD(
∴∠C=∠CEF.
∴∠BEF+∠CEF=∠B+
∴∠BEC=∠B+∠C(等量代换).
(2)拓展探究:如果点E运动到如图2所示的位置,其他条件不变.求证:∠B+∠C+∠BEC=360°.
请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点E作EF//AB.
∴∠B=∠BEF(
两直线平行，内错角相等
).∵AB//CD(已知),
∴EF//CD(
平行于同一条直线的两条直线平行
).∴∠C=∠CEF.
∴∠BEF+∠CEF=∠B+
∠C
.∴∠BEC=∠B+∠C(等量代换).
(2)拓展探究:如果点E运动到如图2所示的位置,其他条件不变.求证:∠B+∠C+∠BEC=360°.
答案
1.(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠C
(2)证明:过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 左侧).
∴∠B+∠BEF=180°.
∵AB//CD,
∴EF//CD.
∴∠C+∠CEF=180°.
∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.
∴∠B+∠C+∠BEC=360°.
(2)证明:过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 左侧).
∴∠B+∠BEF=180°.
∵AB//CD,
∴EF//CD.
∴∠C+∠CEF=180°.
∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.
∴∠B+∠C+∠BEC=360°.
解析
【分析】
(1) 本题属于平行线“猪蹄”型拐点基础题，解题思路为：过拐点E作平行于AB的辅助线EF，首先利用平行线内错角相等的性质得到∠B与∠BEF的等量关系，再依据平行公理的推论推出EF与CD平行，同理得到∠C与∠CEF的等量关系，最后通过角的和差与等量代换即可补全证明内容。
(2) 本题属于平行线“铅笔头”型拐点题，解题思路为：同样过拐点E作平行于AB的辅助线EF，先利用平行线同旁内角互补的性质得到∠B与∠BEF的和为180°，再推出EF与CD平行，得到∠C与∠CEF的和为180°，将两个等式相加后结合角的和差关系即可完成证明。
【解析】
(1) 过点E作EF//AB后，AB与EF平行，∠B和∠BEF是一组内错角，因此第一个空的依据是两直线平行，内错角相等；
已知AB//CD，且EF//AB，根据平行公理的推论，可得EF//CD，因此第二个空的依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
由∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，等式两边分别相加可得∠BEF+∠CEF=∠B+∠C，因此第三个空填∠C。
(2) 证明：过点E作EF//AB（点F在点E左侧），
∵EF//AB，
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB//CD（已知），
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
两式相加得：∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，
又
∵∠BEF+∠CEF=∠BEC，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°（等量代换）。
【答案】
(1) 两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠C
(2) 过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 左侧)，
∴∠B+∠BEF=180°，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°。
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；拐点辅助线作法
【点评】
本题是平行线拐点类的基础模型题，核心解题技巧是过拐点作已知直线的平行线，将未知的角度关系转化为平行线中内错角、同旁内角的对应关系，熟练掌握该方法可快速解决同类型角度推导问题。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于平行线“猪蹄”型拐点基础题，解题思路为：过拐点E作平行于AB的辅助线EF，首先利用平行线内错角相等的性质得到∠B与∠BEF的等量关系，再依据平行公理的推论推出EF与CD平行，同理得到∠C与∠CEF的等量关系，最后通过角的和差与等量代换即可补全证明内容。
(2) 本题属于平行线“铅笔头”型拐点题，解题思路为：同样过拐点E作平行于AB的辅助线EF，先利用平行线同旁内角互补的性质得到∠B与∠BEF的和为180°，再推出EF与CD平行，得到∠C与∠CEF的和为180°，将两个等式相加后结合角的和差关系即可完成证明。
【解析】
(1) 过点E作EF//AB后，AB与EF平行，∠B和∠BEF是一组内错角，因此第一个空的依据是两直线平行，内错角相等；
已知AB//CD，且EF//AB，根据平行公理的推论，可得EF//CD，因此第二个空的依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
由∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，等式两边分别相加可得∠BEF+∠CEF=∠B+∠C，因此第三个空填∠C。
(2) 证明：过点E作EF//AB（点F在点E左侧），
∵EF//AB，
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB//CD（已知），
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
两式相加得：∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，
又
∵∠BEF+∠CEF=∠BEC，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°（等量代换）。
【答案】
(1) 两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠C
(2) 过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 左侧)，
∴∠B+∠BEF=180°，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°。
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；拐点辅助线作法
【点评】
本题是平行线拐点类的基础模型题，核心解题技巧是过拐点作已知直线的平行线，将未知的角度关系转化为平行线中内错角、同旁内角的对应关系，熟练掌握该方法可快速解决同类型角度推导问题。
【难度系数】
0.8
【拓展变式】 如图，$AB // CD$，$∠ BED = 110°$，$BF$ 平分$∠ ABE$，$DF$ 平分$∠ CDE$，则$∠ BFD=$
125°
。答案
125°
解析
【分析】
本题属于平行线间的“双拐点”问题，解题核心思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系。第一步先过点E作AB的平行线，结合AB//CD的条件，可推导得到∠ABE、∠BED、∠CDE三个角的和为360°，代入已知∠BED的度数即可求出∠ABE与∠CDE的和；第二步利用角平分线的定义，求出∠ABF与∠CDF的和；第三步过点F作AB的平行线，再次利用平行线的性质将∠BFD转化为∠ABF与∠CDF的和，即可得到最终结果。
【解析】
解：过点E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴EG//CD，
∴∠ABE + ∠BEG = 180°，∠CDE + ∠DEG = 180°，
两式相加得：$∠ ABE + ∠ BEG + ∠ DEG + ∠ CDE = 360°$，
即$∠ ABE + ∠ BED + ∠ CDE = 360°$，
∵$∠ BED = 110°$，
∴$∠ ABE + ∠ CDE = 360° - 110° = 250°$，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF = \frac{1}{2}∠ CDE$，
∴$∠ ABF + ∠ CDF = \frac{1}{2}(∠ ABE + ∠ CDE) = \frac{1}{2} × 250° = 125°$，
过点F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴FH//CD，
∴$∠ ABF = ∠ BFH$，$∠ CDF = ∠ DFH$，
∴$∠ BFD = ∠ BFH + ∠ DFH = ∠ ABF + ∠ CDF = 125°$。
【答案】
125°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线拐点问题的常规考法，解题的关键是掌握“过拐点作平行线”的辅助线作法，通过平行线的性质将未知角与已知角建立关联，结合角平分线的性质即可快速求解，熟练掌握该辅助线技巧能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间的“双拐点”问题，解题核心思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质转化角度关系。第一步先过点E作AB的平行线，结合AB//CD的条件，可推导得到∠ABE、∠BED、∠CDE三个角的和为360°，代入已知∠BED的度数即可求出∠ABE与∠CDE的和；第二步利用角平分线的定义，求出∠ABF与∠CDF的和；第三步过点F作AB的平行线，再次利用平行线的性质将∠BFD转化为∠ABF与∠CDF的和，即可得到最终结果。
【解析】
解：过点E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴EG//CD，
∴∠ABE + ∠BEG = 180°，∠CDE + ∠DEG = 180°，
两式相加得：$∠ ABE + ∠ BEG + ∠ DEG + ∠ CDE = 360°$，
即$∠ ABE + ∠ BED + ∠ CDE = 360°$，
∵$∠ BED = 110°$，
∴$∠ ABE + ∠ CDE = 360° - 110° = 250°$，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF = \frac{1}{2}∠ CDE$，
∴$∠ ABF + ∠ CDF = \frac{1}{2}(∠ ABE + ∠ CDE) = \frac{1}{2} × 250° = 125°$，
过点F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴FH//CD，
∴$∠ ABF = ∠ BFH$，$∠ CDF = ∠ DFH$，
∴$∠ BFD = ∠ BFH + ∠ DFH = ∠ ABF + ∠ CDF = 125°$。
【答案】
125°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线拐点问题的常规考法，解题的关键是掌握“过拐点作平行线”的辅助线作法，通过平行线的性质将未知角与已知角建立关联，结合角平分线的性质即可快速求解，熟练掌握该辅助线技巧能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
2.已知$AB// CD$，E为AB，CD之外任意一点.
(1)如图1，探究$∠ BED$与$∠ B$，$∠ D$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，探究$∠ CDE$与$∠ B$，$∠ BED$之间的数量关系，并说明理由.
(1)如图1，探究$∠ BED$与$∠ B$，$∠ D$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，探究$∠ CDE$与$∠ B$，$∠ BED$之间的数量关系，并说明理由.
答案
(1)$∠B=∠BED+∠D$. 理由:过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧),则 AB//CD//EF.
∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF.
∵∠BEF=∠BED+∠DEF,
∴∠B=∠BED+∠D.
(2)$∠CDE=∠B+∠BED$. 理由:过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧),则 AB//CD//EF.
∴∠B=∠BEF,∠CDE=∠DEF.
∵∠DEF=∠BEF+∠BED,
∴∠CDE=∠B+∠BED.
∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF.
∵∠BEF=∠BED+∠DEF,
∴∠B=∠BED+∠D.
(2)$∠CDE=∠B+∠BED$. 理由:过点 E 作 EF//AB(点 F 在点 E 右侧),则 AB//CD//EF.
∴∠B=∠BEF,∠CDE=∠DEF.
∵∠DEF=∠BEF+∠BED,
∴∠CDE=∠B+∠BED.
解析
【分析】
这两道小题都属于平行线中的“拐点”类问题，解题思路为：过拐点E作与AB平行的辅助线，根据平行公理的推论可得这条辅助线也与CD平行，再利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，将待探究的角转化为存在和差关系的角，进而推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 结论：$\boldsymbol{∠B=∠BED+∠D}$，理由如下：
过点E作$EF// AB$（点F在点E右侧），
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论可得$AB// CD// EF$，
由两直线平行，内错角相等，得：$∠BEF=∠B$，$∠D=∠DEF$，
又
∵$∠BEF=∠BED+∠DEF$，
等量代换可得：$∠B=∠BED+∠D$。
(2) 结论：$\boldsymbol{∠CDE=∠B+∠BED}$，理由如下：
过点E作$EF// AB$（点F在点E右侧），
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论可得$AB// CD// EF$，
由两直线平行，内错角相等，得：$∠B=∠BEF$，$∠CDE=∠DEF$，
又
∵$∠DEF=∠BEF+∠BED$，
等量代换可得：$∠CDE=∠B+∠BED$。
【答案】
(1) $∠ B = ∠ BED + ∠ D$
(2) $∠ CDE = ∠ B + ∠ BED$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线中典型的拐点类问题，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，将分散的角通过平行线的性质建立关联，再结合角的和差关系推导结论，掌握这种辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这两道小题都属于平行线中的“拐点”类问题，解题思路为：过拐点E作与AB平行的辅助线，根据平行公理的推论可得这条辅助线也与CD平行，再利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，将待探究的角转化为存在和差关系的角，进而推导出三个角的数量关系。
【解析】
(1) 结论：$\boldsymbol{∠B=∠BED+∠D}$，理由如下：
过点E作$EF// AB$（点F在点E右侧），
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论可得$AB// CD// EF$，
由两直线平行，内错角相等，得：$∠BEF=∠B$，$∠D=∠DEF$，
又
∵$∠BEF=∠BED+∠DEF$，
等量代换可得：$∠B=∠BED+∠D$。
(2) 结论：$\boldsymbol{∠CDE=∠B+∠BED}$，理由如下：
过点E作$EF// AB$（点F在点E右侧），
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论可得$AB// CD// EF$，
由两直线平行，内错角相等，得：$∠B=∠BEF$，$∠CDE=∠DEF$，
又
∵$∠DEF=∠BEF+∠BED$，
等量代换可得：$∠CDE=∠B+∠BED$。
【答案】
(1) $∠ B = ∠ BED + ∠ D$
(2) $∠ CDE = ∠ B + ∠ BED$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线中典型的拐点类问题，核心解题方法是过拐点作已知直线的平行线，将分散的角通过平行线的性质建立关联，再结合角的和差关系推导结论，掌握这种辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
【拓展变式】 传统文化·抖空竹 如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若$AB// CD$，$∠ EAB=70°$，$∠ ECD=110°$，则$∠ E=$
40°
。 答案
40°
解析
【分析】
本题属于平行线间的“拐点”类角度计算问题，解题核心思路是过拐点作已知平行线的平行线，构造符合平行线性质的角的关系。首先过点E作EF平行于AB，利用平行公理的推论可得EF也平行于CD，再结合“两直线平行，同旁内角互补”分别求出∠AEF和∠CEF的度数，最后通过两个角的差即可得到∠E的度数。
【解析】
过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because AB// EF$，$∠ EAB=70°$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ AEF = 180° - 70° = 110°$。
$\because EF// CD$，$∠ ECD=110°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ CEF = 180° - 110° = 70°$。
$\therefore ∠ AEC = ∠ AEF - ∠ CEF = 110° - 70° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，重点考查“拐点”问题的辅助线作法，熟练掌握过拐点作平行线的方法，就能快速将待求角转化为平行线相关的特殊角进行求解。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间的“拐点”类角度计算问题，解题核心思路是过拐点作已知平行线的平行线，构造符合平行线性质的角的关系。首先过点E作EF平行于AB，利用平行公理的推论可得EF也平行于CD，再结合“两直线平行，同旁内角互补”分别求出∠AEF和∠CEF的度数，最后通过两个角的差即可得到∠E的度数。
【解析】
过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because AB// EF$，$∠ EAB=70°$，
$\therefore ∠ EAB + ∠ AEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ AEF = 180° - 70° = 110°$。
$\because EF// CD$，$∠ ECD=110°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ CEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ CEF = 180° - 110° = 70°$。
$\therefore ∠ AEC = ∠ AEF - ∠ CEF = 110° - 70° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，重点考查“拐点”问题的辅助线作法，熟练掌握过拐点作平行线的方法，就能快速将待求角转化为平行线相关的特殊角进行求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$AB// EF$，$BC⊥ CD$，则$∠α$，$∠β$，$∠\gamma$之间的关系是（
A.$∠β=∠α+∠\gamma$
B.$∠α+∠β+∠\gamma=180°$
C.$∠α+∠β-∠\gamma=90°$
D.$∠β+∠\gamma-∠α=90°$
C
）A.$∠β=∠α+∠\gamma$
B.$∠α+∠β+∠\gamma=180°$
C.$∠α+∠β-∠\gamma=90°$
D.$∠β+∠\gamma-∠α=90°$
答案
C
解析
【分析】
本题属于平行线间的“拐点”问题，解题的核心思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质将分散的角建立联系，再结合垂直的条件推导三个角的数量关系。首先我们过点C、D分别作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所有辅助线都与AB、EF平行，再利用“两直线平行，内错角相等”转化角，最后结合∠BCD=90°整理即可得到结论。
【解析】
过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$。
$\because AB// EF$，
$\therefore AB// CM// DN// EF$。
根据平行线的性质，可得：
$∠ α = ∠ BCM$（两直线平行，内错角相等），
$∠ \gamma = ∠ EDN$（两直线平行，内错角相等），
$∠ MCD = ∠ CDN$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ BCD=90°$，即$∠ BCM + ∠ MCD = 90°$。
又$\because ∠ β = ∠ CDN + ∠ EDN$，$\therefore ∠ CDN = ∠ β - ∠ EDN = ∠ β - ∠ \gamma$。
将$∠ BCM=∠ α$、$∠ MCD=∠ CDN=∠ β - ∠ \gamma$代入$∠ BCM + ∠ MCD = 90°$，可得：
$∠ α + ∠ β - ∠ \gamma = 90°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义
【点评】
本题是平行线拐点问题的经典题型，解题关键是掌握“过拐点作平行线”的辅助线做法，通过平行线的性质实现角的转化，结合已知的垂直条件即可快速推导出角的数量关系，熟练掌握该类辅助线的做法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间的“拐点”问题，解题的核心思路是过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的性质将分散的角建立联系，再结合垂直的条件推导三个角的数量关系。首先我们过点C、D分别作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所有辅助线都与AB、EF平行，再利用“两直线平行，内错角相等”转化角，最后结合∠BCD=90°整理即可得到结论。
【解析】
过点C作$CM// AB$，过点D作$DN// AB$。
$\because AB// EF$，
$\therefore AB// CM// DN// EF$。
根据平行线的性质，可得：
$∠ α = ∠ BCM$（两直线平行，内错角相等），
$∠ \gamma = ∠ EDN$（两直线平行，内错角相等），
$∠ MCD = ∠ CDN$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ BCD=90°$，即$∠ BCM + ∠ MCD = 90°$。
又$\because ∠ β = ∠ CDN + ∠ EDN$，$\therefore ∠ CDN = ∠ β - ∠ EDN = ∠ β - ∠ \gamma$。
将$∠ BCM=∠ α$、$∠ MCD=∠ CDN=∠ β - ∠ \gamma$代入$∠ BCM + ∠ MCD = 90°$，可得：
$∠ α + ∠ β - ∠ \gamma = 90°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义
【点评】
本题是平行线拐点问题的经典题型，解题关键是掌握“过拐点作平行线”的辅助线做法，通过平行线的性质实现角的转化，结合已知的垂直条件即可快速推导出角的数量关系，熟练掌握该类辅助线的做法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 观察图形：
已知$a// b$，在图1中，可得$∠1+∠2=$
在图2中，可得$∠1+∠2+∠ P_1=$
按照以上规律，则$∠1+∠2+∠ P_1+\dots+∠ P_n=$
已知$a// b$，在图1中，可得$∠1+∠2=$
180
$°$，在图2中，可得$∠1+∠2+∠ P_1=$
360
$°$……按照以上规律，则$∠1+∠2+∠ P_1+\dots+∠ P_n=$
180(n+1)
$°$答案
180 360 180(n+1)
解析
【分析】
首先根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可直接得出图1中∠1+∠2的度数；对于存在拐点的图形，采用“过拐点作平行线”的常用辅助线方法，将图形拆分为多组平行线被截的结构，利用同旁内角互补计算角度和；最后通过前几个图形的角度和总结规律，推导n个拐点时的总角度和即可。
【解析】
1. 图1中：
∵$a// b$，∠1与∠2是同旁内角，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠1+∠2=180°$；
2. 图2中：
过点$P_1$作直线$P_1M// a$，
∵$a// b$，
∴$P_1M// b$，
则∠1与$∠AP_1M$是同旁内角，和为$180°$，∠2与$∠BP_1M$是同旁内角，和为$180°$，
∴$∠1+∠ AP_1M+∠ BP_1M+∠2=180°×2=360°$，即$∠1+∠2+∠ P_1=360°$；
3. 规律推导：
观察可得，图1有0个拐点，角度和为$180°×(0+1)$；图2有1个拐点，角度和为$180°×(1+1)$；图3有2个拐点，角度和为$180°×(2+1)$……
以此类推，当存在n个拐点$P_1、P_2、\dots、P_n$时，角度和为$180°×(n+1)$，即$180(n+1)°$。
【答案】
$180$；$360$；$180(n+1)$
【知识点】
平行线的性质；拐点问题；规律探究
【点评】
本题重点考查平行线中拐点问题的处理方法，核心技巧是过拐点作已知直线的平行线，将复杂角度拆分转化为同旁内角求和，再通过从特殊到一般的思路归纳规律，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可直接得出图1中∠1+∠2的度数；对于存在拐点的图形，采用“过拐点作平行线”的常用辅助线方法，将图形拆分为多组平行线被截的结构，利用同旁内角互补计算角度和；最后通过前几个图形的角度和总结规律，推导n个拐点时的总角度和即可。
【解析】
1. 图1中：
∵$a// b$，∠1与∠2是同旁内角，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠1+∠2=180°$；
2. 图2中：
过点$P_1$作直线$P_1M// a$，
∵$a// b$，
∴$P_1M// b$，
则∠1与$∠AP_1M$是同旁内角，和为$180°$，∠2与$∠BP_1M$是同旁内角，和为$180°$，
∴$∠1+∠ AP_1M+∠ BP_1M+∠2=180°×2=360°$，即$∠1+∠2+∠ P_1=360°$；
3. 规律推导：
观察可得，图1有0个拐点，角度和为$180°×(0+1)$；图2有1个拐点，角度和为$180°×(1+1)$；图3有2个拐点，角度和为$180°×(2+1)$……
以此类推，当存在n个拐点$P_1、P_2、\dots、P_n$时，角度和为$180°×(n+1)$，即$180(n+1)°$。
【答案】
$180$；$360$；$180(n+1)$
【知识点】
平行线的性质；拐点问题；规律探究
【点评】
本题重点考查平行线中拐点问题的处理方法，核心技巧是过拐点作已知直线的平行线，将复杂角度拆分转化为同旁内角求和，再通过从特殊到一般的思路归纳规律，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
